12. Konvergence trigonometrických řad#
Definice normalizovaného periodického rozšíření funkce#
Trigonometrická řada : \(\dfrac{a_0}{2} + \sum\limits^{\infty}_{n=1} a_n \cos{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} + b_n \sin{ \left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right) } = ?\)
Pokud tato řada konverguje, je její součet funkce \(l-\)periodická. Je-li funkce \(f\) \(l-\)periodická definovaná na \(\mathbb R\), pak lze volit \(a\in \mathbb R\) libovolné a konstruovat Fourierovu řadu na libovolném intervalu \(\langle a, a+l \rangle\) \(\Longrightarrow\) koeficienty \(a_n, b_n\) nezávisí na volbě \(a\in\mathbb R\). Fourierovy koeficienty závisí pouze na hodnotách \(f\) v intervalu \(\langle a, a+l \rangle\).
Definujeme normalizované periodické prodloužení.
Definition 49
Pro funkci \(f\) definovanou na \(\langle a, a+l \rangle\), kde \(a\in \mathbb R\), \(l> 0\), které mají \(\forall x \in (a,a+l) \) jednostranné limity a \(\exists \lim\limits_{x\to a_+}f(x), \lim\limits_{x\to {a+l}_-}f(x) \), lze definovat
Tomu říkáme normalizované periodické prodloužení funkce \(f\) z \(\langle a , a+l\rangle \) na \(\mathbb R\)
Remark 52
\(\forall x \in (a,a+l)\), kde je \(f\) spojitá, platí \(\tilde f(x) = f(x)\). Pokud \(f\) není spojitá v \(x\in (a,a+l)\), pak předpokládám, že má v \(x\) konečný skok a \(\tilde f(x) = \) aritmetickému průměru limit zleva a zprava funkce \(f\) v bodě \(a\).
Example 18
\(f(x) = \left\{ \begin{matrix} \pi - x & x\in \langle -\pi, 0\rangle \\ 0 & x\in (0, \pi\rangle \end{matrix} \right.\)
Definition 50
Funkce \(f\) je po částech spojitá na \(\langle a,b\rangle\) \(\Longleftrightarrow\) má v \(\langle a,b\rangle\) konečný počet bodů nespojitosti - buď odstranitelné, nebo konečné skoky.
Remark 53
Každá funkce po částech spojitá na \(\langle a,b\rangle\) je na \(\langle a,b\rangle\) omezená a má jednostranné limity v každém bodě.
Remark 54
Pro každou funkci \(f\) po částech spojitou na \(\langle a,b\rangle\), kde \(a\in \mathbb R\), \(l>0\), lze konstruovat její normalizované periodické prodloužení \(\tilde f\) z \(\langle a,b\rangle\) na \(\mathbb R\).
Theorem 59
Fourierova trigonometrická řada funkce \(\tilde f\) pro \(\langle a, a+l\rangle\) se shoduje s Fourierovou trigonometrickou řadou funkce \(f\) na \(\langle a, a+l\rangle\).
Důkaz:
\(f\) a \(\tilde f\) se na \(\langle a, a+l\rangle\) liší pouze v konečně mnoha bodech \(\Longrightarrow\) \(a_n,b_n\) jsou stejné pro obě funkce.
Věty o konvergenci Fourierových trigonometrických řad#
Theorem 60 (O bodové konvergenci)
Nechť \(f\) a \(f'\) jsou po částech spojité na \(\langle a , a+l\rangle\). Potom Fourierova trigonometrická řada funkce \(f\) na \(\langle a , a+l\rangle\) v bodech spojitosti funkce \(f\) konverguje k hodnotě \(f(x)\). V bodech \(x_k\), ve kterých je funkce \(f\) nespojitá, konverguje Fourierova trigonometrická řada k hodnotě \(\dfrac{1}{2} \left( \lim\limits_{x\to {x_k}^+}f(x) +\lim\limits_{x\to {x_k}^-}f(x) \right) \, x_k\in ( a , a+l)\), \(\dfrac{1}{2} \left( \lim\limits_{x\to {a}^+}f(x) +\lim\limits_{x\to {a+l}^-}f(x) \right) \, x_k=a\).
Stručněji, pokud \(f\) a \(f'\) jsou po částech spojité na \(\langle a , a+l\rangle\), pak
pro \(x\in \mathbb R\)
Důkaz:
Rest1 - Nebyl
Theorem 61 (O stejnoměrné konvergenci)
Nechť \(f\) je spojitá na \(\langle a , a+l\rangle\) a \(f'\) je po částech spojitá na \(\langle a , a+l\rangle\) a \(f(a)= f(a+l)\) (spojitost krajních bodů). Potom Fourierova trigonometrická řada funkce \(f \rightrightarrows \) na \(\mathbb R\) k \(\tilde f\).
Důkaz:
Rest1 - Nebyl
Theorem 62 (O lokální stejnoměrné konvergenci)
Nechť \(f\) a \(f'\) je po částech spojitá na \(\langle a , a+l\rangle\) (na kraji může být skok, ale konečný). Potom Fourierova řada funkce \(f\) konverguje stejnoměrně k funkci \(f\) na každém uzavřeném podintervalu intervalu \(\langle a , a+l\rangle\), na kterém nemá funkce \(f\) nespojitost (ani v krajních bodech).
Důkaz:
Rest1
Definition 51
Řekneme, že \(f\) lze rozvinout do trigonometrické řady, pokud existuje řada tvaru \(\dfrac{a_0}{2} + \sum\limits^{\infty}_{n=1} a_n \cos{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} + b_n \sin{ \left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right) }\), jejíž součet \(s(x) = f(x) \, \forall x \in\mathbb R\).
Theorem 63
Nechť \(f\) splňuje :
\(f\) je definovaná na \(\mathbb R\) a \(l-\)periodická (tj. \(\exists l>0 \ldots \forall x \in \mathbb R \, f(x+l) = f(x)\)).
\(f\) je po částech spojitá na \(\langle a, a+l\rangle\) pro nějaké \(a\in \mathbb R\) a \(\forall \) bod nespojitosti \(x_0\in \mathbb R\) platí \(f(x_0) = \dfrac{1}{2} \left( \lim\limits_{x\to {x_0}^+}f(x) +\lim\limits_{x\to {x_0}^-}f(x) \right)\) - zajišťuje i krajní body.
\(f'\) je po částech spojitá na \(\langle a, a+l\rangle\). Potom \(f\) lze rozvinout do trigonometrické řady za kterou lze volit Fourierovu trigonometrickou řadu funkce \(f\) pro \(\langle a, a+l\rangle\).
Důkaz:
Za výše uvedených předpokladků \(f(x)=\tilde f(x) \, \forall x\in \mathbb R\) a ještě věta o bodové konvergenci.
Remark 55
Do trigonometrické Fourierovy řady lze rozvinout o mnoho víc funkcí než do mocninné řady. Pro mocninné řady jsou potřeba spojité derivace všech řádů, do trigonometrické řady stačí \(f\) a \(f'\) po části spojité \(\Longrightarrow\) velmi velké využité ve fyzice.
Remark 56 (Důsledek)
Nechť \(f\) je \(l-\)periodická a definovaná na \(\mathbb R\) a spojitá na \(\langle a, a+l\rangle\), kde \(a\in \mathbb R\), \(l>0\). Nechť dále \(f(a) = f(a+l)\) a \(f'\) je po částech spojitá na \(\langle a, a+l\rangle\). Potom \(\dfrac{a_0}{2} + \sum\limits^{\infty}_{n=1} a_n \cos{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} + b_n \sin{ \left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right) } \rightrightarrows f(x)\) na \(\mathbb R\).
Důkaz:
Rest1