5. Konstrukce míry#

Definition 13 (Borelovská množina)

Borelovskými množinami v \(\mathbb R^n\) rozumíme borelovský uzávěr soustavy všech otevřených množin.

Theorem 14

Mezi borelovské množiny v \(\mathbb R^n\) patří:

  • otevřené množiny

  • uzavřené množiny

  • konečné množiny

  • spočetné množiny

  • intervaly v \(\mathbb R^n\)

Důkaz:

Rest1 - nebylo

Definition 14 (Množinové funkce a jejich vlastnosti)

\(\mathcal A\) je nějaká soustava množin. Pokud \(F:\mathcal A \mapsto \mathbb R\), pak říkáme, že \(F\) je reálná množinová funkce.
Řekneme, že množinové funkce \(F:\mathcal A \mapsto \overline{\mathbb R}\) je na soustavě \(\mathcal A\):

  • aditivní, právě tehdy když \(\forall X,Y\in\mathcal A\) a \(X\bigcap Y = \emptyset: \quad X\bigcup Y \in \mathcal A \quad \mapsto \quad F(X\bigcup Y)= F(X) + F(Y)\).

  • \(\sigma-\)aditivní, právě tehdy když pro každou nekonečnou (spočetnou) disjunktní posloupnost \((X_n)_{n\in\mathbb N} \) platí, že \(\forall n \in \mathbb N \quad X_n\in \mathcal A \wedge X= \bigcup_\limits{n\in\mathbb N}X_n\), pak \(F(X) = \sum^{\infty}_{n=1}F(X_n)\).

  • monotónní, právě tehdy když \(\forall X,Y\in\mathcal A\) a \(X\subset Y\), pak \(F(X) \leq F(Y)\).

  • nezáporná, právě tehdy když \(\forall X \in \mathcal A \quad F(X)\geq 0\).

Definition 15 (Míra)

Řekneme, že množinová funkce \(F: \mathcal A \mapsto \overline{\mathbb R}\) je mírou \(\mathcal A\), právě tehdy když:

  1. \(\emptyset \in D_F\).

  2. \(F(\emptyset)=0\).

  3. \(\forall X\in \mathcal A; \quad F(X) \geq 0\).

  4. \(\forall X,Y \in \mathcal A:\quad X\bigcap Y = \emptyset, X\bigcup Y \in \mathcal A \Rightarrow F(X\bigcup Y) = F(X) + F(Y)\).

  5. \(\forall X,Y\in \mathcal A : \quad X\subset Y \Rightarrow F(X)\leq F(Y)\).

Remark 11

Množiny z \(\mathcal A\) nazýváme \(F-\)měřitelné a množiny nepatřící do \(\mathcal A\) nazýváme \(F-\)neměřitelné.
Množinu \(X\in\mathcal A\) nazveme \(F-\)nulovou, právě tehdy když \(F(X) = 0\). Řekneme, že \(F\) je reálná míra, právě tehdy když \(F\) je míra a \(F:\mathcal A \mapsto \mathbb R^+_0\).
Míra \(F\) je \(\sigma-\)aditivní, právě tehdy když \(F\) je \(\sigma-\)aditivní množinová funkce na množině \(\mathcal A\).
Míra \(F\) (\(F: \mathcal A \mapsto \overline{\mathbb R}\)) je na soustavě \(\mathcal A\) úplná, právě tehdy když \(\forall X\in \mathcal A\) je \(F(X)=0\) a \(Y\subset X \rightarrow F(Y)=0\) nebo ekvivaletně \(F(X) = 0\, \wedge \, Y\subset X \rightarrow Y \in \mathcal A\).

Zavedení míry na soustavě \(\mathcal H_n\)#

Definition 16 (symbol \(\mathcal H_n\))

Nechť \(n\in\mathbb N\), symbolem \(\mathcal H_n\) označíme soustavu

\[ \mathcal H_n = \{\emptyset \} \cup \bigcup \{ \langle\alpha_1;\beta_1)\times\langle\alpha_2;\beta_2)\ldots\times\langle\alpha_n;\beta_n):\, -\infty < \alpha_k < \beta_k < \infty \quad \forall k \in \widehat n\} \]

obsahující prázdnou množinu a všechny omezené polouzavřené \(n-\)rozměrné intervaly v \(\mathbb R^n\).

Theorem 15

\(\mathcal H_n\) je polokruh.

Důkaz:

Rest2 - nebylo

Theorem 16

Nechť \(\varphi:\mathbb R\mapsto \mathbb R\) je neklesající reálná funkce definovaná na množině relných čísel. Definujeme-li pro interval \(<\alpha;\beta)\subset\mathbb R\) množinovou fukci \(F\) předpisem \(F(<\alpha;\beta)) = \varphi(\beta) - \varphi(\alpha) \), \(F(\emptyset)=0\). Pak je \(F\) reálnou míra na \(\mathcal H_1\).

Důkaz:

Rest3 - nebylo

Definition 17

Funkci \(\varphi\) z předchozí věty nazýváme vytvořující funkcí míry \(F\) na polokruhu \(\mathcal H_1\), nebo též je generátorem míry \(F\).

Theorem 17

Nechť \(F_1, \ldots, F_n\) jsou reálné míry \(\mathcal H_1\). Definujeme-li pro \( H= H_1\times \ldots\times H_n \in \mathcal H_n\) množinovou funkci \(F:\mathcal H_n\mapsto \mathbb R\) předpisem \(F(H) = \prod\limits^{n}_{k=1}F_k(H_k)\), pak \(F\) je reálná míra na \(\mathcal H_n\).

Důkaz:

Rest4 - nebylo

Example 12

pro \(\varphi_k(x) = x \quad \forall k \in \widehat n\) můžeme definovat:

\[\begin{split} F(X) = \left\{ \begin{matrix} \prod\limits^{n}_{k=1}(\beta_k - \alpha_k) & \text{pro}\quad X = \overset{n}{ \underset{k=1}{\times}}<\alpha_k;\beta_k) \\ 0 & \text{pro} \quad X=\emptyset \end{matrix} \right. \end{split}\]

  • tzv. klasická \(n-\)dimenzionální míra.

  • Ostatní míry jsou abstraktní.

Abstraktní Lebesgeova míra#

Definition 18

Pro \(n\in\mathbb N\) označíme \(\mathcal S_n\) soustavu všech spočetných sjednocení množin z \(\mathcal H_n\), tj. pro \(X\in\mathcal S_n\, \Leftrightarrow \, \exists H_1,H_2,\ldots \in \mathcal H_n\) tak, že \(X = \bigcup\limits^{\infty}_{k=1}H_k\).

Remark 12

množiny \((H_k)_{k\in\mathbb N}\) mohou být disjunktní.

Theorem 18

Soustava \(\mathcal S_n\) obsahuje všechny otevřené intervaly \(\mathbb R^n\), je \(\sigma-\)aditivní, ale není to ani okruh ani polokruh.

Důkaz:

Rest5

Remark 13

\(\mathcal S_n\) není okruh ani polokruh. Pokud ano, tak by \(\mathcal S_n\) s \(X,Y \in \mathcal S_n\) musel obsahovat i \(X\backslash Y\) tedy i uzavřenou množinu a 1-prvkové množiny. Jednoprvkové množiny ale nelze zapsat jako \(<\alpha;\beta)\) a ani jako spočetné sjednocení intervalů \(<\alpha_k;\beta_k) \, \rightarrow\) není to polokruh.

Remark 14 (Lemma o rozsáhlosti soustavy \(\mathcal S_n\))

Soustava \(\mathcal S_n\) obsahuje všechny otevřené množiny z \(\mathbb R^n\).

Důkaz:

Rest6

Theorem 19 (o přenosu míry z \(\mathcal H_n\) na \(\mathcal S_n\))

Nechť \(F\) je \(\sigma-\)aditivní míra na \(\mathcal H_n\). Pak existuje právě 1 \(\sigma-\)aditivní míra \(\mu_\sigma\) na \(\mathcal S_n\) tak, že \(\mu_\sigma(X) = F(X) \quad \forall X\in \mathcal H_n\).

Důkaz:

Rest7

Remark 15

Míra \(\mu_\sigma\) z předešlé věty je rozšířením míry \(F\) z \(\mathcal H_n\) na \(\mathcal S_n\), není však ideální:

  • \(\mathcal S_n\) není ani polokruh

  • \(\mu_\sigma \) neumí měřit uzavřené množiny

Definition 19 (Vnější míra)

Nechť \(\mu_\sigma\) je \(\sigma-\)aditivní míra na \(\mathcal S_n\). Pak pro libovolné \(X\subset \mathbb R^n\) položme \(\mu_\sigma^{(ex)}(X)=\inf\{ \mu_\sigma(T) \,\vert\, T\in \mathcal S_n \,\And\, X\subset T \}\). Funkci \(\mu_\sigma^{(ex)} : 2^{\mathbb R^n}\mapsto \overline{\mathbb R} \) nazýváme vnější míra generovaná mírou \(\mu_\sigma\).

Remark 16

Množinová funkce \(\mu_\sigma^{(ex)} : 2^{\mathbb R^n}\mapsto \overline{\mathbb R}\) je nezáporná, monotónní a \(\forall X\in \mathcal S_n\) splňuje \(\mu_\sigma^{(ex)}(X) = \mu_\sigma(X)\), ale není na \(2^{\mathbb R^n}\) aditivní \(\rightarrow\,\) \(\mu_\sigma^{(ex)} \) není míra na \(2^{\mathbb R^n}\).
Problém je, že množinová funkce, která by byla nezáporná, aditivní a monotónní na \(2^{\mathbb R^n}\) neexistuje. \(\mu_\sigma^{(ex)}\) má příliš bohatý definiční obor, který je potřeba vhodně zúžit tak, aby restrikce \(\mu_\sigma^{(ex)}\) byla mírou.

Definition 20 (Měřitelná množina)

Nechť \(\mu_\sigma\) je \(\sigma-\)aditivní míra na \(\mathcal S_n\) a \(\mu_\sigma^{(ex)}\) je vnější mírou generovanou \(\mu_\sigma\).
Řekneme, že \(X\subset \mathbb R^n\) je \(\mu-\)měřitelná právě tehdy když, \(\forall \varepsilon >0 \quad \exists \delta\in\mathcal S_n\) taková, že \(X\subset \delta \, \wedge\, \mu_\sigma^{(ex)}(\delta\backslash X) < \varepsilon\).
Soustavu všech měřitelných množin značíme \(m_\mu\) nebo \(m_{\mu_n}\) (pokud chci zdůraznit dimenzi).

Theorem 20 (Základní věta teorie Lebesgueovy míry)

Je-li \(\mu_\sigma\) \(\sigma-\)aditivní míra na \(\mathcal S_n\), která je reálná na \(\mathcal H_n\), pak \(m_{\mu}\) je \(\sigma-\)algebra.

Důkaz:

Rest8 - nebyl

Theorem 21

\(m_\mu\) obsahuje všechny otevřené a uzavřené podmnožiny v \(\mathbb R^n\), \(\mathcal S_n \subset m_\mu\). Soustava \(m_\mu\) obsahuje také všechny intervaly a borelovské množiny.

Důkaz:

Rest9 - nebyl