10. Obecné Fourierovy řady#
Remark 34 (Opakování z minulého semestru)
Prostor \(V\), \(\text{dim} V = d\in\mathbb N\) (\(\mathbb R^d, \mathbb C^d, \ldots\)).
Skalární součin: \(\langle x \vert y \rangle\) \(V\times V \mapsto T\).
linearita v prvním argumentu: \(\forall x,y,z \in V \quad \alpha \in T \) \(\langle \alpha x + y \vert z \rangle = \alpha\langle x \vert z \rangle + \langle y \vert z \rangle\).
antilinearita: \(\forall x,y \in V\) \(\langle x \vert y \rangle = \overline{\langle y\vert x \rangle}\)
Pozitivní definitnost: \(\forall x \in V\quad\langle x \vert x \rangle \geq 0 \quad \wedge \quad \langle x \vert x \rangle = 0 \Leftrightarrow x=0\).
Příklad: na \(\mathbb C^d: \, \langle x \vert y \rangle = \sum\limits^d_{i=1}x_i\overline{y_i}\)
Norma: \(\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x \vert x \rangle} : V \mapsto \mathbb R\).
homogenita: \(\forall \alpha \in T \quad \forall x \in V \quad \Vert\alpha x \Vert = \vert \alpha\vert \Vert x\Vert.\)
Minkovského nerovnost: \(x,y \in v \quad \Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert\)
nulovost a nezápornost: \(\Vert x \Vert \geq 0 \quad \forall x \in V \quad \wedge \quad \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Metrika \(\rho\): \(\rho(x,y) = \Vert x-y \Vert\).
trojúhelníková nerovnost: \(\forall x,y,z \in V\) \(\rho(x,z)\leq \rho(x,y) + \rho(y,z)\)
symetrie: \(\forall x,y \in V\) \(\rho(x,y) = \rho(y,x)\)
nulovst a nezápornost: \(\forall x,y\in V \quad \rho(x,y) \geq 0 \quad \wedge \quad \rho(x,y)= 0 \Leftrightarrow x=y\)
Limita ve vektorovém prostoru \(V\): \(x_n\overset{V}{\mapsto}x\) pro \(n \mapsto \infty \Leftrightarrow\) \(\lim\limits_{n\mapsto \infty}\rho(x,y) = 0 \quad \Leftrightarrow\) \(\lim\limits_{n\mapsto \infty}\Vert x_n - x \Vert = 0 \quad \Leftrightarrow\) \(\forall \varepsilon > 0, \, \exists n_0 \in \mathbb R, \, \forall n \in \mathbb N, \, n\geq n_0, \, \Vert x_n - x \Vert < \varepsilon \)
Scharzova-Cauchyova-Bunjakovského nerovnost: \(\forall x,y \in V \quad \vert \langle x \vert y \rangle \vert \leq \Vert x\Vert \Vert y \Vert\).
Theorem 51
\(\left.\begin{matrix} x_n \mapsto x \\ y_n \mapsto y \end{matrix}\right\}\) v \(V\) \(\Longrightarrow\) \(\langle x_n \vert y_n \rangle \underset{n\to \infty}{\mapsto} \langle x \vert y \rangle\)
Důkaz:
Rest1
Definition 45
Systém vektorů \((x_i)^{k}_{i=1}\) je ortogonální (OG) \(\Longleftrightarrow\) \(\langle x_i \vert x_j \rangle = 0 \, \forall i,j\in\widehat k (i \neq j)\).
Systém vektorů \((x_i)^{k}_{i=1}\) je ortonomální (ON) \(\Longleftrightarrow\) \(\langle x_i \vert x_j \rangle = \delta_{ij} \, \forall i,j\in\widehat k\).
\((x_i)^k_{i=1}\) ON \(\rightarrow\) \(k\leq d\) pro \(k=d\) máme ON bázi prostoru \(V\).
Nechť \((x_1, \ldots, x_d)\) je OG báze \(V\), \(\text{dim} V = d \in \mathbb N\), \(x\in V\) libovolná \(\Longrightarrow\) \(\exists \alpha_1,\ldots \alpha_d\in T\) \(x= \sum\limits^d_{i=1}\alpha_i x_i \) \(\overset{\langle . \vert x_j \rangle}{\Longrightarrow}\) \(\langle x \vert x_j \rangle = \langle \sum\limits^d_{i=1}\alpha_i x_i \vert x_j \rangle \Longrightarrow \quad \alpha_j = \dfrac{\langle x \vert x_j \rangle}{\Vert x_j \Vert^2}\).
\(\Vert x \Vert^2 = ... = \sum\limits^d_{i=1}\dfrac{\vert \langle x \vert x_i \rangle\vert^2}{\Vert x_i \Vert^2}\).\
Toto celé zobecníme pro prostor \(\mathcal H\) nekonečné dimenze se skalárním součinem.
OG báze bude nahrazena úplným systémem OG vektorů \((x_i)^{\infty}_{i=1}\)
\(\langle x_i \vert x_j \rangle = \delta_{ij}\Vert x_i \Vert^2 +\) každý vektor z \(\mathcal H\) je (nekonečnou) lineární kombinací vektorů z OG systému. Přesněji řečeno neexistuje \(x\neq 0\) takové, že \(\langle x \vert x_i \rangle = 0 \, \forall i \in \mathbb N,\) jinými slovy neexistuje nenulový vektor kolmý na všechny \((x_i)^{\infty}_{i=1}\).
Zatím: nechť \((x_i)^{\infty}_{i=1}\) je libovolný OG systém vektorů z \(\mathcal H\) a \(x = \sum\limits^{\infty}_{i=1}\alpha_ix_i \in H\) (ve smyslu: \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^{n}_{i=1}\alpha_ix_i = x \) v \(\mathcal H\)).
Theorem 52
\(x = \sum\limits^{\infty}_{i=1}\alpha_ix_i \) a \((x_i)^{\infty}_{i=1}\) je OG systém \(\Longrightarrow\) \(\alpha_i =\dfrac{\langle x \vert x_i \rangle}{\Vert x_i \Vert^2}\).
Důkaz:
Rest1
Definition 46
Koeficienty \(\alpha_i = \dfrac{\langle x \vert x_i \rangle}{\Vert x_i \Vert^2}\) se nazývají Fourierovy koeficienty prvku \(x\) vzhledem k OG systému \((x_i)^{\infty}_{i=1}\).
Řada \(\sum\limits^{\infty}_{k=1}\alpha_kx_k\) je Fourierovou řadou prvku \(x\) vzhledem k OG systému \((x_k)^{\infty}_{k=1}\).
\(S_n(x) =\sum\limits^{n}_{k=1}\alpha_kx_k\) je \(n-\)tý částečný součet Fourierovy řady.
Theorem 53 (O nejlepší aproximaci)
Nechť \(T_n = \sum\limits^{n}_{k=1}c_kx_k\), kde \(c_k\) jsou libovolná čísla. Potom:
\(\Vert x - S_n(x)\Vert^2 = \Vert x \Vert^2 - \sum\limits^{n}_{k=1}\vert\alpha_k\vert^2 \Vert x_k \Vert^2\).
\(\Vert x - T_n \Vert^2 =\Vert x - S_n(x) \Vert^2 + \sum\limits^{n}_{k=1}\vert \alpha_k - c_k \vert^2 \Vert x_k \Vert^2\). Odtud plyne \(\Vert x - T_n \Vert^2 \geq \Vert x - S_n(x)\Vert^2\) a rovnost nastává \(\leftrightarrow\) \(\alpha_k = c_k \quad \forall k \in \widehat n\).
Důkaz:
Rest1
Remark 35 (Důsledky)
\(S_n(x)\) aproximuje \(x\) nejlépe mezi všemi lineárními kombinacemi prvních \(n\) vektorů \(x_1\ldots x_n\) OG systému \((x_i)^{\infty}_{i=0}\). Minimum \(\Vert x - T_n \Vert ^2\) se nabývá právě pro \(\alpha_k = c_k \).
\(0 \leq \Vert x - S_n(x) \Vert^2 = \Vert x \Vert^2 - \sum\limits^{n}_{k=1} \vert \alpha_k\vert^2 \Vert x_k \Vert^2\) \(\Longrightarrow\) \(\forall n \in \mathbb N \quad \sum\limits^{n}_{k=1}\vert \alpha_k\vert^2 \Vert x_k \Vert^2 \leq \Vert x \Vert^2\) - Besselova nerovnost.
Z Bessela plyne, že číselná řada \(\sum\limits^{\infty}_{k=1}\vert \alpha_k\vert^2 \Vert x_k \Vert^2\) konverguje. Konverguje však \(\sum\limits^{n}_{k=1} \alpha_k x_k\) v \(\mathcal H\)?
Remark 36
BC pro konvergenci v \(\mathcal H\) platí pro tzv. úplné prostory.
OG systém \((x_k)^{\infty}_{k=1}\) je úplný \(\Longleftrightarrow\) \(\langle x\vert x_k\rangle = 0 \quad \forall k \in \mathbb N \implies x =0\).
BC podmínka pro \(\sum\limits^{n}_{k=1} \alpha_k x_k\) v \(\mathcal H: \) \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_0\in \mathbb R, \, \forall n \in \mathbb N, n> n_0, \forall p \in \mathbb N \quad \left\Vert \sum\limits^{n+p}_{k=n+1} \alpha_k x_k \right\Vert^2 < \varepsilon^2 \). \(\left\Vert \sum\limits^{n+p}_{k=n+1} \alpha_k x_k \right\Vert^2 = \sum\limits^{n+p}_{k=n+1} \vert \alpha_k \vert^2 \Vert x_k\Vert^2 < \varepsilon^2\), kde prostřední výraz je úsek konvergentní číselné řady.
Remark 37 (Důsledek)
Pokud \(\mathcal H\) je úplný a \((x_i)^{\infty}_{i}\) je OG systém \(x\in \mathcal H\) a \((\alpha_k)^{\infty}_{k=1}\) jsou Fourierovy koeficienty prvku \(x\) vzhledem k \((x_i)^{\infty}_{i}\), pak \(\sum\limits^{\infty}_{k=1}\alpha_k x_k\) konverguje v \(\mathcal H\).
!!! Nemusí však \(\sum\limits^{\infty}_{k=1}\alpha_k x_k\) konvergovat k \(x\). !!!
Za jakých okolní to, ale platí? \(S_n(x) = \sum\limits^{n}_{k=1}\alpha_k x_k \underset{n\to \infty}{\mapsto} x \) v \(\mathcal H\)
\(\Longleftrightarrow\) \(\Vert x- S_n(x)\Vert^2 \underset{n\to \infty}{\mapsto} 0\) \(\Longleftrightarrow\) \(\Vert x \Vert^2 - \sum\limits^{n}_{k=1} \vert \alpha_k \vert^2 \Vert x_k \Vert^2 \underset{n\to \infty}{\mapsto} 0\) \(\Longleftrightarrow\) \(\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits^{n}_{k=1} \vert \alpha_k \vert^2 \Vert x_k \Vert^2 = \Vert x\Vert^2 \) \(\Longleftrightarrow\) \(\sum\limits^{\infty}_{k=1} \vert \alpha_k \vert^2 \Vert x_k \Vert^2 = \Vert x\Vert^2\), což je Parsevalova rovnost.
Theorem 54
Následující podmínky jsou ekvivalentní pro úplný prostor:
\((x_k)^{\infty}_{k=1}\) je úplný .
\(S_n(x) \underset{n\to \infty}{\mapsto} x \) v \(\mathcal H\) \(\forall x\in \mathcal H\).
\(\forall x \in \mathcal H\) platí Parsevalova rovnost.
Důkaz:
Rest1