1. Věty o implicitních funkcích

Definition 1

Implicitně zadaná funkce je funkce zadaná rovnicí, např. \(F(x,y)=0\).

Example 1

Rovnice \(x^2+y^2 - 1 = 0\) je rovnice kružnice a zadává obecně 2 spojité funkce tvaru

\[ y_{1,2}(x) = \pm \sqrt{1-x^2}, \]

pro libovolné \(x\in\langle -1,1\rangle\).

Example 2

Rovnice \(x^2+y^2 = 0\) je splněna pouze pro \(x=y=0\), tj. zadává pouze jediný bod.

Example 3

Rovnice \(x^2+y^2 + 1 = 0\) nemá řešení v \(\mathbb R^2\).

Example 4

Rovnice \(|xy|-xy = 0\) je splněna pro všechny body \([x,y]\) z prvního a třetího kvadrantu.

Poučení z předchozích příkladů - 1 rovnice o 2 neznámých nemusí vždy zadávat křivku.

1. přednáška má následující 2 cíle:

• Poznat, za jakých předpokladů definuje rovnice \(F(x,y)=0\) spojitou funkci.

• Umět vyšetřit derivace implicitně zadané funkce bez toho, že bychom uměli najít explicitní vyjádření \(y=f(x)\) řešením rovnice \(F(x,y)=0\).

Následující věta poskytuje kritérium, jak poznat, že rovnice \(F(x,y)=0\) definuje v okolí bodu \([x_0, y_0]\in\mathbb R^2\) implicitně definovanou funkci.

Theorem 1 (O implicitní funkci v \(\mathbb R^2\))

Nechť \(G\subset\mathbb R^2\) je otevřená množina a nechť \(F:G\to\mathbb R\) je třídy \(C^1(G)\). Je-li \({\bf x}_0=[x_0,y_0]\in G\) takový, že \(F(x_0,y_0)=0\) a \(\frac{\partial F}{\partial y}({\bf x_0})\neq 0\), pak existuje okolí \(X\) bodu \(x_0\), okolí \(Y\) bodu \(y_0\) a právě 1 spojitá funkce \(f:X\to Y\) taková, že

\[ y_0 = f(x_0) \qquad\mathrm{a}\qquad F(x, f(x))=0\qquad \forall x\in X. \]

Funkce \(f\) je navíc diferencovatelná v každém bodě \(x\in X\) a platí

\[ f'(x) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x))}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x))}. \]

Důkaz:

Viz přednáška.

Remark 1

Jak si zapamatovat (odvodit) vzorec pro derivaci implicitně zadané funkce? Předpokládejme, že už víme, že rovnice \(F(x,y)=0\) zadává na okolí bodu \([x_0,y_0]\) funkci \(f\). Platí tedy \(F(x,f(x))=0\) pro všechna \(x\) z nějakého okolí bodu \(x_0\). Zderivujme poslední rovnost podle \(x\). S využitím řetězového pravidla dostaneme

\[ \frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x)) + \frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x))f'(x) = 0, \]

odkud již snadno vyjádříme

\[ f'(x) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x))}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x))}. \]

Všimněme si, že dle pokud jsou splněny předpoklady věty o implicitní funkci, pak \(\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,f(x_0))\neq 0\) a derivace je dobře definována (nedělíme nulou).

Example 5

Vyšetřeme pomocí věty o implicitních funkcích, v okolí kterých bodů zadává rovnice kružnice

\[ x^2 + y^2 - 1 = 0 \]

graf spojité funkce.

Nejprve vypočteme \(\frac{\partial F}{\partial y}(x,y) = 2y\). Tato derivace se nerovná nule, právě když \(y\neq 0\). Z věty o implicitní funkci plyne, že pro všechny body \([x_0,y_0]\) jednotkové kružnice, pro které \(y_0\neq 0\) existuje okolí \(X\) bodu \(x_0\) tak, že na němž rovnice kružnice zadává spojitou funkci definovanou implicitně rovnicí \(x^2+y^2-1=0\) s hodnotami v okolí \(y_0\). Zjevně se jedná o jednu z funkcí \(y=\pm\sqrt{1-x^2}\), kde znaménko je voleno dle znaménka \(y_0\).

V okolí bodů \([-1,0]\) a \([1,0]\) rovnice kružnice nezadává graf spojité funkce, protože pro každé \(x\) lze v okolí těchto bodů najít 2 různá \(y\). Tyto body jsou tedy tzv. kritické body.

Remark 2

Pokud má \(F\) na množině \(G\) spojité parciální derivace dle \(x\) a \(y\) až do řádu \(m\), tj. jeli \(F\in C^m(G)\), pak i implicitně zadaná funkce \(f\) je \(m\) krát spojitě diferencovatelná na okolí \(X\) bodu \(x_0\), tj. \(f\in C^m(X)\). Vyšší derivace \(f\) lze napočítávat opakovaným derivováním vztahu \(F(x,f(x))=0\) podle \(x\).

Example

Například výpočet 2. derivace probíhá v následujících krocích:

• Generující rovnice: \(\qquad F(x,f(x)) = 0\).

• První derivace:

\[ \frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x)) + \frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) f'(x) = 0. \]

• Druhá derivace:

\[\begin{align*} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,f(x)) &+ \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x,f(x)) f'(x) + \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x,f(x)) f'(x)\\ &+ \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x,f(x)) (f'(x))^2 + \frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) f''(x) = 0, \end{align*}\]

odkud po úpravě dostaneme vyjádření druhé derivace ve tvaru

\[ f''(x) = -\frac{\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,f(x)) + 2\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x,f(x)) f'(x) + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x,f(x)) (f'(x))^2}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x))}, \]

kde jsme využili záměnost druhých smíšených parciálních derivací.

Větu o implicitních funkcích lze snadno zobecnit na případ jedné rovnice pro funkce více proměnných.

Theorem 2 (O implicitních funkci více proměnných)

Nechť \(G\subset\mathbb R^{n+1}\) je otevřená množina a nechť \(F:G\to\mathbb R\) je třídy \(C^1(G)\). Je-li \([{\bf x_0},y_0]\in G\) takový, že \(F({\bf x_0},y_0)=0\) a \(\frac{\partial F}{\partial y}({\bf x_0},y_0)\neq 0\), pak existují okolí \(X\) bodu \({\bf x_0}\), okolí \(Y\) bodu \(y_0\) a právě 1 spojitá funkce \(f:X\to Y\) taková, že

\[ y_0 = f({\bf x_0}) \qquad\mathrm{a}\qquad F({\bf x}, f({\bf x}))=0\qquad \forall {\bf x}\in X. \]

Funkce \(f\) je navíc diferencovatelná v každém bodě \({\bf x}\in X\) a platí

(1)\[ \frac{\partial f}{\partial x_k}({\bf x}) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x_k}({\bf x},f({\bf x}))}{\frac{\partial F}{\partial y}({\bf x},f({\bf x}))}. \]

Důkaz:

Dokazuje se analogicky jako předchozí věta. Zde ukážeme jen odvození vzorce pro parciální derivace \(\frac{\partial f}{\partial x_k}.\) Rozepišme výraz \(F({\bf x}, y)=0\) po složkách:

\[ F(x_1,\dots,x_n, y) = F(x_1,\dots,x_n,f(x_1,\dots,x_n)) = 0 \qquad \forall {\bf x}=[x_1,\dots,x_n]\in X. \]

Zderivujeme-li poslední rovnici parciálně dle \(x_k\), pak s využitím řetězového pravidla odvodíme

\[ \frac{\partial F}{\partial x_k}({\bf x},f({\bf x})) + \frac{\partial F}{\partial y}({\bf x},f({\bf x})) \frac{\partial f}{\partial x_k}({\bf x}) = 0, \]

odkud již snadno plyne (1).

Větu o implicitní funkci lze zobecnit na případ, kdy je zadána celá sada implicitních funkcí pomocí soustavy rovnic. Uvažujme soustavu \(m\) rovnic o \(n+m\) neznámých tvaru \({\bf F}({\bf x},{\bf y}) = {\bf 0}\), kterou můžeme rozepsat do složek jako

(2)\[\begin{align} F_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m) &= 0,\\ F_2(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m) &= 0,\\ &\vdots\\ F_m(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m) &= 0, \end{align}\]

kde \({\bf x}=[x_1,\dots,x_n]\in X\subset\mathbb R^n\) a \({\bf y}=[y_1,\dots,y_m]\in Y\subset\mathbb R^m\).

Definition 2

Funkcemi zadanými implicitně na oblasti \(G\subset X\) nazýváme takové funkce \(f_1,\dots,f_m:G\to\mathbb R\) takové, že

\[ F_i({\bf x},f_1({\bf x}),\dots,f_m({\bf x})) = 0\qquad \forall {\bf x}\in G,~\forall i\in\widehat{m}. \]

Tuto rovnost lze též zapsat zkráceně vektorově jako \({\bf F}({\bf x},{\bf f}({\bf x})) = {\bf 0}\).

Theorem 3 (O implicitních funkcích)

Nechť \(G\subset\mathrm R^{n+m}\) je otevřená množina a \({\bf F}:\mathrm R^{n+m}\to\mathrm R^m\) je třídy \(C^1(G)\) (tj. \(F_i\) mají spojité parciální derivace podle všech proměnných na \(G\)). Je-li \([{\bf x}_0, {\bf y}_0]\in G\) takový bod, že

\[ {\bf F}({\bf x}_0, {\bf y}_0) = {\bf 0} \]

a zároveň

\[ \det\left(\frac{\partial(F_1,\dots,F_m)}{\partial (y_1,\dots,y_m)}\right)({\bf x}_0, {\bf y}_0)\neq 0, \]

pak existují okolí \(X\subset \mathbb R^n\) bodu \({\bf x}_0\), okolí \(Y\subset \mathbb R^m\) bodu \({\bf y}_0\) a právě jedno spojité zobrazení \({\bf f}:X\to Y\) takové, že

\[ {\bf F}({\bf x},{\bf f}({\bf x})) = {\bf 0},\qquad \forall {\bf x}\in X \]

a

\[{\bf f}({\bf x}_0) = {\bf y}_0.\]

Složky funkce \({\bf f}\) mají spojité parciální derivace podle všech proměnných (tj. \(f_i\in C^1(X)\) pro všechna \(i\in\widehat{m}\)) a platí

(3)\[\begin{split} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\bf x) = \frac{-1}{\Delta} \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1}({\bf x},{\bf y}) & \dots & \frac{\partial F_1}{\partial y_{i-1}}({\bf x},{\bf y}) & \frac{\partial F_1}{\partial x_j}({\bf x},{\bf y}) & \frac{\partial F_1}{\partial y_{i+1}}({\bf x},{\bf y}) & \dots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m}({\bf x},{\bf y})\\ % \frac{\partial F_2}{\partial y_1}({\bf x},{\bf y}) & \dots & \frac{\partial F_2}{\partial y_{i-1}}({\bf x},{\bf y}) & \frac{\partial F_2}{\partial x_j}({\bf x},{\bf y}) & \frac{\partial F_2}{\partial y_{i+1}}({\bf x},{\bf y}) & \dots & \frac{\partial F_2}{\partial y_m}({\bf x},{\bf y})\\ % \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots\\ % \frac{\partial F_m}{\partial y_1}({\bf x},{\bf y}) & \dots & \frac{\partial F_m}{\partial y_{i-1}}({\bf x},{\bf y}) & \frac{\partial F_m}{\partial x_j}({\bf x},{\bf y}) & \frac{\partial F_m}{\partial y_{i+1}}({\bf x},{\bf y}) & \dots & \frac{\partial F_m}{\partial y_m}({\bf x},{\bf y})\\ \end{vmatrix} \end{split}\]

kde \(\Delta = \det\left(\frac{\partial F_i}{\partial y_j}({\bf x},{\bf y})\right)\neq 0\).

Důkaz:

Důkaz existence je složitější, používá Banachovu větu o pevném bodě.

Zde odvodíme opět jen vzorec pro výpočet parciální derivace \(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\). Zderivujeme-li rovnost \({\bf F}({\bf x},{\bf f}({\bf x})) = {\bf 0}\) podle \(x_j\), dostaneme pro \(i\)-tou složku (\(i\in\widehat{m}\)):

\[ \frac{\partial F_i}{\partial x_j}({\bf x},{\bf f}({\bf x})) + \sum\limits_{k=1}^m \frac{\partial F_i}{\partial y_k}({\bf x},{\bf f}({\bf x}))\frac{\partial f_k}{\partial x_j}({\bf x}) = 0, \]

odkud

\[ \sum\limits_{k=1}^m \frac{\partial F_i}{\partial y_k}({\bf x},{\bf f}({\bf x}))\frac{\partial f_k}{\partial x_j}({\bf x}) = -\frac{\partial F_i}{\partial x_j}({\bf x},{\bf f}({\bf x})). \]

Tuto soustavu lineárních algebraických rovnic lze přepsat maticově jako

\[\begin{split} \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1}&\dots&\frac{\partial F_1}{\partial y_m}\\ \vdots& &\vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1}&\dots&\frac{\partial F_m}{\partial y_m}\\ \end{pmatrix} ({\bf x},{\bf f}({\bf x})) \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_j}\\ \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_j}\\ \end{bmatrix} ({\bf x}) = -\begin{bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_j}\\ \vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_j}\\ \end{bmatrix} ({\bf x},{\bf f}({\bf x})). \end{split}\]

Tato soustava má právě jedno řešení, neboť determinant matice soustavy je právě \(\Delta\neq 0\), přičemž \(i\)-tou složku řešení lze získat pomocí Cramerova pravidla, tj.

\[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}({\bf x}) = -\frac{\Delta_i}\Delta, \]

kde \(\Delta_i\) je determinant matice, která vznikne nahrazením \(i\)-tého sloupce matice soustavy pravou stranou, čímž vznikne přesně vzorec (3).