3. Extrémy funkcí více proměnných#
Dokončení 2. přednášky - další příklady běžných transformací#
Example 9 (Polární souřadnice)
Máme parametrizaci \(x=\rho\cdot\sin\varphi; \quad y=\rho\cdot\cos\varphi\). Spočítáme si \(\det \left(\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \varphi)}\right)= \begin{vmatrix}
\cos\varphi & -\rho\sin\varphi \\
\sin\varphi & \rho\cdot \cos\varphi
\end{vmatrix} = \rho >0\).
Je to regulární a prosté na množině \((\rho,\varphi)\in M=(0;+\infty)\times(-\pi;\pi)\). Na větším intervalu to již není prosté.
Example 10 (Cylindrické souřadnice)
Máme parametrizaci \(x=\rho\cdot\sin\varphi; \quad y=\rho\cdot\cos\varphi; \quad z=h\). Spočítáme si \(\det \left(\dfrac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \varphi, h)}\right)= \begin{vmatrix}
\cos\varphi & -\rho\sin\varphi &0\\
\sin\varphi & \rho\cdot \cos\varphi &0\\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho >0\).
Je to regulární a prosté na množině \((\rho,\varphi,h)\in M=(0;+\infty)\times(-\pi;\pi)\times\mathbb R\).
Example 11 (Sférické souřadnice)
Máme parametrizaci \(x=\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\theta; \quad y=\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta;\quad z=\rho\cdot\cos\theta\). Spočítáme si
Je to regulární a prosté na množině \((\rho,\varphi,\theta)\in M=(0;+\infty)\times(-\pi;\pi)\times\left(0;\pi\right)\). Na větším intervalu to již není prosté.
Lokální extrémy funkce více proměnných#
Definition 4 (Typy extrémů)
Nechť \(f:\Omega\subset\mathbb R^n \mapsto \mathbb R\) je reálná funkce na definovaná na otevřené množině \(\Omega\subset\mathbb R^n\).
Řekneme, že funckce \(f\) má v bodě \(a\in \Omega\):
lokální maximum \(\Leftrightarrow \) \(\exists U_a \quad \forall x\in U_a \quad f(x) \leq f(a)\).
ostré lokální maximum \(\Leftrightarrow \) \(\exists U_a \quad \forall x\in U_a\backslash\{a\} \quad f(x) < f(a)\).
lokální minimum \(\Leftrightarrow \) \(\exists U_a \quad \forall x\in U_a \quad f(x) \geq f(a)\).
ostré lokální minimum \(\Leftrightarrow \) \(\exists U_a \quad \forall x\in U_a\backslash\{a\} \quad f(x) > f(a)\).
(ostrý) lokální extrém \(\Leftrightarrow \) \(f\) má v bodě \(a\) (ostré) lokální minimum nebo maximum.
Theorem 7 (Nutná podmínka pro extrém)
Nechť \(f : \Omega\subset\mathbb R^n \mapsto \mathbb R\) má v bodě \(a\) lokální extrém. Potom existuje-li \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\) pro nějaké \(i\in\widehat{n}\), \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=0\).
Speciálně, pokud \(f\) je diferencovatelná v bodě \(a\), platí \(\nabla f(a) = \vec 0\).
Je-li \(f\) diferencovatelná na množině \(\Omega\) a navíc \(2\times\) diferencovatelná v bodě \(a\) a \(f\) má v bodě \(a\) lokální minimum/maximum, pak \(\nabla^2 f(a)\) je PSD/NSD.
Důkaz:
Rest1.
Definition 5 (Kritický bod)
Nechť \(f\) je diferencovatelná v bodě \(a\in \Omega\), kde \(\Omega \subset \mathbb R^n\) je otevřená množina. Pokud \(\nabla f(a) = \vec 0\), pak \(a\) je kritický (stacionální) bod funkce \(f\).
Remark 5
Implikaci nelze obrátit - například \(f(x) = x^3\) ma v bodě 0 stacionární bod, ale není v tomto bodě extrém.
Theorem 8 (Postačující podmínka pro extrém)
Nechť \(\Omega\subset\mathbb R^n \) je otevřená množina a \(f:\Omega \mapsto\) je diferencovatelná na \(\Omega\) a \(\nabla f(a)=\vec 0 \quad a \in \Omega\).
Existuje-li \(\nabla^2f(a)\) a je PD, pak \(f\) má v bodě \(a\) ostré lokální minimum.
Existuje-li \(\nabla^2f(a)\) a je ND, pak \(f\) má v bodě \(a\) ostré lokální maximum.
Existuje-li \(\nabla^2f(a)\) a je IND, pak \(f\) má v bodě \(a\) nemá extrém (má v něm sedlo)
Je-li \(f\in C^2(\Omega)\), \(\nabla f(a) = \vec 0\) a \(\exists U_a \quad \forall x \in U_a \,\) je \(\nabla^2f(x)\) PSD/ NSD, pak má \(f\) v \(a\) lokální minimum/maximum, pokud \(\forall x \in U_a\backslash\{a\}\,\) je \(\nabla^2f(x) \, \) PD/ND, pak je lokální extrém ostrý.
Důkaz:
Rest2.
Vázané extrémy#
Hledáme extrémy funkce \(f:\Omega \subset \mathbb R^n \mapsto \mathbb R \) zúžené na množině \(M = \{ x\in \Omega \vert \,g(x) = 0 \}\), kde \(g:\Omega \subset \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^m \) je zadaná vektorová funkce (tzv. vazby) a \(n > m\).
Definition 6 (Lokální extrémy vzhledem k množině)
Nechť \(f : \Omega\subset\mathbb R^n \mapsto \mathbb R\) a \(M\subset\Omega\). Řekneme, že \(f\) má v bodě \(a\):
lokální maximum vzhledem k množině M, právě tehdy když \(\exists U_a \subset \Omega \quad \forall x \in U_a \bigcap M \quad f(x)\leq f(a)\).
ostré lokální maximum vzhledem k množině M, právě tehdy když \(\exists U_a \subset \Omega \quad \forall x \in U_a \bigcap M\backslash\{a\} \quad f(x)< f(a)\).
lokální minimum vzhledem k množině M, právě tehdy když \(\exists U_a \subset \Omega \quad \forall x \in U_a \bigcap M \quad f(x)\geq f(a)\).
ostré lokální minimum vzhledem k množině M, právě tehdy když \(\exists U_a \subset \Omega \quad \forall x \in U_a \bigcap M\backslash\{a\} \quad f(x)> f(a)\).
Remark 6
pro \(m=1\), zadává rovnice \(g(x)=0\) v okolí bodu \(a\), pro který platí \(g(a)=0\) a \(\nabla g(a) \neq 0\), nadplochu v \(\mathbb R^n\). Připomeňme, že vektor \(\nabla g(a)\) ukazuje směr největšího růstu funkce \(g\) v bodě \(a\), a tedy každý vektor \(\bf v\in\mathbb R^n\) kolmý na \(\nabla g(a)\) je tečný vektor k nadploše dané rovnicí \(g(x)=0\) v bodě \(a\).
Lze tedy definovat \(T_{a}(M)\) tečný prostor v bodě \(a\) k množině \(M = \{ x\in\Omega \,\vert\,g(x) =0 \}\) předpisem \(T_a(M) = \left[ \nabla g(a) \right]^\bot \) (ortogonální doplněk).
pro \(m\geq 1: \quad M=\bigcap\limits_{j=1}^{m}(M_j)\), kde \(M_j = \{ x\in\Omega \,\vert\, g_j(x)=0 \} \), pak \(T_{a}(M) = \bigcap\limits_{j=1}^{m}T_a(M_j) = \text{Ker}\left( \dfrac{\partial g}{\partial x}(a) \right)\), kde vnitřek jádra je Jacobiho matice g. Bázi \(T_a(M)\) nalezneme řešením soustavy LAR \(\nabla g_i(a)\cdot v = 0\), kde \(i\in m \). Budeme předpokládat, že \(\left(\nabla g_j(a)\right)^m_{j=1}\,\) jsou LN \(\quad \Longleftrightarrow \quad\) \(h\left( \dfrac{\partial g}{\partial x}(a) \right)= m <n \) (pokud by nebyly LN, tak mohu nějaký sloupec vyškrtnout).