6. Dokončení budování míry a abstraktní Lebesgueův integrál#

Dokončení konstrukce míry#

Theorem 22 (Základní věta teorie Lebesgueovy míry II.)

Je-li \(\mu_\sigma\) \(\sigma-\)aditivní míra na \(\mathcal S_n\), která je reálná na \(\mathcal H_n\) pak vnější míra \(\mu_\sigma^{(ex)}\) je \(\sigma\)-aditivní mírou na \(m_\mu\).

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Definition 21

Restrikce vnější míry \(\mu_\sigma^{(ex)}\) na \(\sigma-\)algebru \(m_\sigma\) označím \(\mu\), tj. \(\left.\mu = \mu_\sigma^{(ex)}\right\vert_{m_\mu}\). Zobrazení \(\mu:m_\mu \mapsto \overline{\mathbb R}\) nazýváme (abstraktní) Lebesgueovou mírou a množinu \(m_\mu\) nazvu Lebesgueovou \(\sigma-\)algebrou.

Definition 22

Řekneme, že míra \(F: \mathcal A \mapsto \overline{\mathbb R}\) je ideální míra na \(\mathcal A\), pokud \(\mathcal A\) je \(\sigma-\)algebra, \(F\) je \(\sigma-\)aditivní na \(\mathcal A\) a \(F\) je úplná na \(\mathcal A\).

Theorem 23

Lebesgueova míra \(\mu\) y předchozí věty je ideální mírou na \(m_\mu\).

Důkaz:

Rest2 - nebyl

Definition 23 (Klasická Lebesgueova míra)

Lebesgueovu míru \(\mu\) generovanou vytvořujícími funkcemi \(\varphi_k(x)=x\) nazýváme klasickou Lebesgueovou mírou, začíme ji \(\lambda_n\), případně \(\lambda\). Příslušnou Lebesgueovu \(\sigma-\)algebru značíme \(m_\lambda\).

(Abstraktní) Lebesgueův integrál#

Definition 24 (Prostor s úplnou mírou)

Nechť \(E\) je pevně zvolená množina (přes ní se bude integrovat) a nechť \(\mu\) je ideální Lebesgueova míra na \(\sigma-\)algebře \(m_\mu \subset 2^E\). Potom trojici \(\left\{ E, m_\mu,\mu \right\}\) nazýváme prostor s úplnou mírou.
Speciálně: \(\left\{ E \subset \mathbb R^n, m_\lambda,\lambda_n \right\}\) nazýváme klasický prostor s úplnou mírou.

Definition 25 (Měřitelná funkce)

Řekneme, že funkce \(f:\mathbb E \mapsto \overline{\mathbb R}\) je \(\mu-\)měřitelná jestliže pro \(\forall c\in \mathbb R\) platí \(\{ x\in\mathbb E \,:\, f(x) > c \}\in m_\mu\).
Množinu všech \(\mu-\)měřitelných funkcí na množině \(\mathbb E\) označíme \(\Lambda_\mu(\mathbb E)\), případně \(\Lambda_\mu\).

Theorem 24

Nechť \(f: \mathbb E \mapsto \overline{\mathbb R}\). Následující vlastnosti jsou ekvivalentní:

  1. \(f\) je měřitelná na \(\mathbb E\)

  2. \(\forall c \in \mathbb R \quad \{ x\in \mathbb E \,: \, f(x)\geq c \} \in m_\mu\)

  3. \(\forall c \in \mathbb R \quad \{ x\in \mathbb E \,: \, f(x) < c \} \in m_\mu\)

  4. \(\forall c \in \mathbb R \quad \{ x\in \mathbb E \,: \, f(x)\leq c \} \in m_\mu\)

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Theorem 25

Nechť \(E \subset \mathbb R^n\). Potom každá spojitá funkce \(g: E\mapsto \mathbb R\) je \(\mu-\)měřitelná v libovolném prostoru \(\left\{ E, m_\mu,\mu \right\}\) s úplnou mírou \(\mu\), tj. \(g\in \Lambda_\mu(E)\).

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Definition 26 (Skoro všude)

Nechť \(V\) je výroková formule, která má smysl pro \(\forall x\in E\) a nechť \(A\subset E\). Řekneme, že \(V\) platí pro \(\mu-\)skoro všude \(x\in A\) (respektivě pro skoro všechna \(x\in A\)) \(\Leftrightarrow\) \(\mu (\{ x\in A \,: \, V(x) \,\text{neplatí} \})=0\).

Example 13

Například skoro každé reálné číslo je iracionální.

Definition 27 (\(\mu-\)ekvivalentní funkce)

Nechť \(f,g:E \mapsto \overline{\mathbb R}\) jsou funkce a \(A \subset E\) je libovolná množina. Pokud \(\forall\)skoro všude \(x\in A\) platí \(f(x)=g(x)\) pak říkáme, že \(f\) a \(g\) jsou na \(A\) \(\mu-\)ekvivalentní a píšeme \(f\sim g\) na \(A\).

Theorem 26

Nechť \(f,g\in \Lambda_\mu(E)\) a \(d\in\mathbb R\). Potom množiny

  • \(\left\{ x\in E \, : \, f(x) \geq g(x) \right\}\in m_\mu\)

  • \(\left\{ x\in E \, : \, f(x) > g(x) \right\}\in m_\mu\)

  • \(\left\{ x\in E \, : \, f(x) \leq g(x) \right\}\in m_\mu\)

  • \(\left\{ x\in E \, : \, f(x) < g(x) \right\}\in m_\mu\)

  • \(\left\{ x\in E \, : \, f(x) = d \right\}\in m_\mu\)

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Abstraktní Lebesgueův integrál#

Konstrukce proběhne ve 3 krocích:

  1. definujeme \(\int_E f \text{d}\mu\) pro funkce které jsou po částech konstantní.

  2. rozšíříme definici \(\int_E f \text{d}\mu\) na nezáporné funkce.

  3. rozšíříme definici \(\int_E f \text{d}\mu\) na obecné funkce.

První krok#

Definition 28

Řekneme, že funkce \(f:E\mapsto \mathbb R\) je jednoduchá, jestliže \(f\in \Lambda_\mu(E) \,\wedge \, f(E)\) je konečná množina.
Řekneme, že \(f:E\mapsto \overline{\mathbb R}\). Množinu \(supp\,f:=\{ x\in E \,\vert\, f(x)\neq 0 \}\) nazýváme nosičem funkce \(f\).
Řekneme, že \(f\) je finitní \(\Leftrightarrow\) \(\mu(supp\,f)< \infty\)

Definition 29

Základním systém systémem funkcí \(Z_\mu\) rozumíme množinu všech jednoduchých a finitních funkcí \(f:E \mapsto \mathbb R^{+}_{0}\).

Definition 30 (Lebesgueův integrál z funkcí ze \(Z_\mu\))

Nechť \(f\in Z_\mu\), jestliže \(f(E)\backslash\{0\} = \emptyset\) pak klademe

\[ \int_E f \text{d}\mu = 0 = \int_E f(x) \text{d}\mu(x). \]

Pokud \(f(E)\backslash\{0\} = \{ d_1,\ldots,d_m \} \quad m\in \mathbb N\), \(d_1,\ldots,d_m >0\) a jsou navzájem různá čísla, pak označíme \(A_k = f^{-1}(d_k)\in m_\mu\) a definujeme \(\int_E f \text{d}\mu := \sum\limits^{m}_{k=1}d_k \mu(A_k)\).

Druhý krok#

Definition 31

Označme \(Z^{+}_{\mu}:= \{ f: E\mapsto \mathbb R^{+}_{0}\,\vert \, \exists(f_n)\in Z_\mu\, \forall x\in E \, f_n(x) \nearrow f(x) \}\).

Pro funkce \(f\in Z_\mu^{+}\) definujeme \(\int_E f\text{d}\mu\) tak, že zvolíme posloupnost \((f_n)\in Z_\mu\), pro kterou \(f_n\) bodově na množině \(E\) konverguje zdola k \(f\) a položíme \(\int_E f\text{d}\mu = \lim\limits_{n \mapsto \infty}\int_E f_n\text{d}\mu\).

Remark 17

Lze ukázat, že hodnota \(\int_E f\text{d}\mu\) nezávisí na volbě \((f_n)\).

Třetí krok#

Není-li funkce \(f:E \mapsto \overline{\mathbb R}\) nezáporná, pak definuji \(\left.\begin{matrix} f^{+}(x) = \max\{ f(x);0\} & \ldots \text{horní}\\ f^{-}(x) = \max\{-f(x);0\} & \ldots \text{dolní} \end{matrix} \right\}\) řez funkce.

Platí tedy, že \(f(x) = f^{+}(x)-f^{-}(x)\) a \(\vert f(x)\vert = f^{+}(x)+f^{-}(x)\).

Definition 32

Nechť \(f:E\mapsto \overline{\mathbb R}\). Pokud \(f^{-}(x),f^{+}\in Z^{+}_{\mu}(E)\) a má-li výraz \(\int_E f^+\text{d}\mu - \int_E f^-\text{d}\mu\) smysl, pak definuji

\[ \int_E f\text{d}\mu := \int_E f^+\text{d}\mu - \int_E f^-\text{d}\mu \]

abstraktní Lebesgueův integrál funkce \(f\) přes množinu \(E\) podle míry \(\mu\).
Množinu funkcí, pro které existuje abstraktní Lebesgueův integrál přes \(E\) označíme \(\mathcal L^*(E,\mu)\).
Pokud \(f\in \mathcal L^*(E,\mu) \) a navíc \(\int_E f\text{d}\mu\) je konečný, pak říkáme, že \(f\) je Lebesgueovsky integrovatelná \(\Leftrightarrow\) \(\int_E f\text{d}\mu\) konverguje.
Množinu Lebesgueovsky integrovatelných funkcí značíme \(\mathcal L(E,\mu)\).

Vlastnosti Lebesgueova integrálu#

Theorem 27

\(f\in\mathcal L^*(E,\mu)\) a \(f\sim g\) na \(E\). Potom \(g\in \mathcal L^*(E,\mu)\) a \(\int_E f\text{d}\mu = \int_E g\text{d}\mu\).

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Theorem 28 (Linearita Lebesgueova integrálu)

Pro libovolné \(f,g\in \mathcal L(E,\mu)\) a \(c\in \mathbb R\) platí

\[\begin{align*} \int_E (f+g)\text{d}\mu &= \int_E f\text{d}\mu + \int_E g\text{d}\mu, \\ \int_E c\cdot f\text{d}\mu &= c\cdot \int_E f\text{d}\mu. \end{align*}\]

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Theorem 29 (Monotonie integrálu)

Nechť \(f,g\in\mathcal L^*(E,\mu)\) a nechť \(f(x)\leq g(x)\) \(\forall\) skoro všechna \(x\in E\). Potom

\[ \int_E f~\text{d}\mu \leq \int_E g~\text{d}\mu \]

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Theorem 30

Nechť \(f(x) \geq 0\) pro \(\forall\) skoro všechna \(x\in E\) a \(\int_E f\text{d}\mu=0\). Potom \(f(x) =0\) pro \(\forall\) skoro všechna \(x\in E\).

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Theorem 31 (O absolutní hodnotě Lebesgueova integrálu)

Nechť \(f\in \mathcal L(E,\mu)\). Potom \(\vert f\vert \in \mathcal L(E,\mu)\) a platí \(\left\vert \int_E f\text{d}\mu \right\vert \leq \int_E \vert f \vert\text{d}\mu\)

Důkaz:

Rest1