11. Funkce integrovatelné s kvadrátem, trigonometrické řady

Prostor \(\mathcal L^2(a,b)\)

Remark 38

\(\mathcal H = \mathcal L^2(a,b) \ldots\) prostor funkcí integrovatelných s kvadrátem, kde \( \mathcal L^2(a,b)\) je

\[ \mathcal L^2(a,b) = \left\{ f:(a,b)\to \mathbb R(\mathbb C) \, \vert \, \int\limits_{a}^{b}\vert f(x)\vert^2 \text{d}x < \infty \right\}. \]

Example 15

\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) na \(x\in(0,1)\)

\[ \int\limits_0^1 \left\vert \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right\vert^2 \text{d}x = \int\limits_0^1 \dfrac{1}{x} \text{d}x = \ln 1 - \ln 0 = +\infty. \]

\(\Longrightarrow\) \(f(x)\notin \mathcal L^2(0,1)\).

Example 16

\(f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\) na \(x\in(0,1)\)

\[ \int\limits_0^1 \left\vert \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \right\vert^2 \text{d}x = \int\limits_0^1 x^{-\frac{2}{3}} \text{d}x = 3 - 0 = 3< \infty. \]

\(\Longrightarrow\) \(f(x)\in \mathcal L^2(0,1)\).

Remark 39

• \(\mathcal L^2(a,b)\) obsahuje všechny funkce spojité na \(\langle a, b \rangle\), respektivě po částech spojitá na \(\langle a,b \rangle\).

• jsou- li \(f,g\in \mathcal L^2(a,b)\), \(\alpha, \beta \in \mathbb R(c) \Longrightarrow\quad \alpha f + \beta g \in \mathcal L^2(a,b) \) … lineární kombinace.

• \(\exists \int\limits^b_a f(x)g(x) \text{d}x , \, \int\limits^b_a \vert f(x)\vert \vert g(x)\vert \text{d}x\).

Remark 40 (Co můžeme zavést na \(\mathcal L^2(a,b)\)?)

• skalární součin \(\langle f \vert g \rangle = \int\limits^b_a f(x)\overline{g(x)}\text{d}x\),

• normu \(\Vert f \Vert = \sqrt{ \int\limits^b_a \vert f(x)\vert^2\text{d}x}\),

• metriku \(\rho(f,g) = \Vert f- g\Vert = \sqrt{\int\limits^b_a \vert f(x) - g(x)\vert^2\text{d}x}\).

Problém je ale v tom, že \(\rho(f,g)\) není metrika, protože \(\rho(f,g) = \Vert f- g\Vert = \sqrt{\int\limits^b_a \vert f(x) - g(x)\vert^2\text{d}x} = 0\) nemusí nutně implikovat, že \(f(x)=g(x) \, \forall x \in (a,b)\).
Tento problém „vyřešíme“ následovně: \(f\) a \(g\) mohu měnit na množině míry \(0\) (například v konečně mnoha bodech) a hodnota \(\rho(f,g)\) se nezmění. V prostoru \(\mathcal L^2(a,b)\) prohlašujeme za stejné ty funkce \(f\) a \(g\), které se liší jen na množině míry \(0\).

Remark 41 (Konvergence podle normy v \(\mathcal L^2(a,b)\))

Nechť \((f_n)_{n \in \mathbb N}\) je posloupnost funkcí z \(\mathcal L^2(a,b)\), \(\lim\limits_{n \to \infty}f_n = f\) v \(\mathcal L^2(a,b)\) \(\Longleftrightarrow\) \(\lim\limits_{n \to \infty}\Vert f_n -f \Vert = 0 \) \(\Longleftrightarrow\) \((\forall \varepsilon > 0 )( \exists n_0 \in \mathbb R)(\forall n\in \mathbb R, n > n_0)\left( \int\limits^b_a \vert f_n(x) - f(x)\vert^2\text{d}x <\varepsilon^2 \right)\)

Definition 47

Říkáme, že funkční posloupnost \((f_n)_{n \in \mathbb N}\) konverguje k \(f\) podle středu, právě když \(\int\limits^b_a \vert f_n(x) - f(x)\vert^2\text{d}x \underset{n\to \infty}{\longrightarrow } 0.\)

Remark 42

• Někde značí \(f_n \underset{n\to \infty}{\overset{s}{\longrightarrow }} f\).

• z konvergence podle středu neplyne bodová konvergence: \(f\) je možno změnit na množině míry \(0\), tudíž o hodnotách \(f\) v konkrétním bodě nelze nic říci.

• Z bodové konvergence neplyne konvergence podle středu.

Example 17

\(f_n(x) = \left\{ \begin{matrix} n & x\in (0, \frac{1}{n}) \\ 0 & x\in \langle \frac{1}{n}, 1) \end{matrix} \right.\) Pro libovolné \(x\in (0,1) \) \(\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x) = 0 \) \(\Longrightarrow\) \(f_n\) konverguje bodově na \((0,1)\).
Konverguje \(f_n \to 0\) v \(\mathcal L^2(0,1)\)? \(\Vert f_n - 0 \Vert^2 = \int\limits^{\frac{1}{n}}_{0} n^2 \text{d}x =n \underset{n \to \infty} {\Longrightarrow}\infty\). \(f_n\) nekonverguje k \(0\) podle středu.

Theorem 55

Nechť posloupnost \((f_n)_{n \in \mathbb N}\) funkcí z \(\mathcal L^2(a,b)\) konverguje stejnoměrně na \(\langle a, b \rangle\) k funkci \(f\in \mathcal L^2(a,b)\). Pak \(f_n \underset{n\to \infty}{\overset{s}{\longrightarrow }} f\) na \(\langle a, b \rangle\).

Důkaz:

Rest1

Ortogonální systémy funkcí z \(\mathcal L^2(a,b)\)

Remark 43 (Ortogonální systém funkcí \((\varphi_n)_{n\in\mathbb N}\))

• \(\langle \varphi_i, \varphi_j \rangle = \int\limits^b_a \varphi_i \overline{\varphi_j}\text{d}x = 0 \quad \forall i \neq j\). Chci-li ON: \(\psi_j(x) = \dfrac{\varphi_j (x) }{\Vert \varphi_j \Vert} = \dfrac{\varphi_j(x)}{\sqrt{\int\limits^b_a \vert \varphi_j \vert^2 \text{d}x}}\)

Remark 44

Prostor \(\mathcal L^2(a,b)\) je úplný. Máme-li v něm OG systém lze studovat konvergenci Fourierovy řad. \((\varphi_i)_{i\in\mathbb N}\) OG systém na \(\mathcal L^2(a,b)\), \(f\in \mathcal L^2(a,b)\).
Fourierovy koeficienty:

\[ \alpha_i = \dfrac{\langle f \vert \varphi_i \rangle}{\Vert \varphi_i \Vert^2} = \dfrac{\int\limits^b_a f(x) \overline{\varphi_i}\text{d}x}{\int\limits^b_a \vert \varphi_i(x) \vert^2 \text{d}x}. \]

Fourierova řada funkce \(f\) vzhledem k OG systému \((\varphi_i)_{i\in \mathbb N}\) : \(\sum\limits^{\infty}_{i=1}\alpha_i\varphi_i(x)\).

Theorem 56

Pokud \((\varphi_i)\) je úplný OG systém na \(\mathcal L^2(a,b)\), pak Fourierova řada funkce \(f\) konverguje k \(f\) podle středu.

Důkaz:

Rest1

Remark 45

Nemusí konvergovat bodově, natož stejnoměrně.

Trigonometrický systém

na \(\langle -\pi, \pi \rangle\) systém

\[ 1, \sin{x}, \cos{x}, \sin{2x}, \cos{2x} \ldots, \sin{(px)}, \cos{(px)} \]

je OG v \(\mathcal L^2( -\pi, \pi )\) a teď si ukážem, že komponenty systému jsou na sebe doopravdy kolmé.

• OG: \(1 \bot \sin{(px)}\) a \(1 \bot \cos{(px)}\) \(p \in \mathbb N\).

\[\begin{split} \begin{split} \langle 1 \vert \sin{(px)}\rangle &= \int\limits^\pi_{-\pi}\sin{(px)}\text{d}x = \left[\dfrac{-\cos{(px)}}{p} \right]^{\pi}_{-\pi} = 0, \\ \langle 1 \vert \cos{(px)}\rangle &= \int\limits^\pi_{-\pi}\cos{(px)}\text{d}x = \left[\dfrac{\sin{(px)}}{p} \right]^{\pi}_{-\pi} = 0. \end{split} \end{split}\]

• OG: \( \cos{(qx)} \bot \sin{(px)}\), \(\sin{(qx)}\bot \sin{(px)}\), \(\cos{(qx)}\bot \cos{(px)} \, q,p \in \mathbb N\).

\[\begin{split} \begin{split} \langle \sin{(px)} \vert \cos{(qx)}\rangle &= \int\limits^\pi_{-\pi}\sin{(px)} \cos{(qx)}\text{d}x = \dfrac{1}{2}\int\limits^\pi_{-\pi}\sin{(p+q)}\text{d}x + \dfrac{1}{2}\int\limits^\pi_{-\pi}\sin{(p-q)}\text{d}x = 0, \\ \langle \sin{(qx)} \vert \sin{(px)}\rangle &= \int\limits^\pi_{-\pi}\sin{(qx)}\sin{(px)}\text{d}x = \dfrac{1}{2}\int\limits^\pi_{-\pi}\cos{(p-q)}\text{d}x - \dfrac{1}{2}\int\limits^\pi_{-\pi}\cos{(p+q)}\text{d}x = \left\{ \begin{matrix} 0 & p\neq q \\ \pi & p=q\, (\text{podmínka OG}) \end{matrix} \right. \,, \end{split} \end{split}\]

a \(\Vert \sin{(px)}\Vert_{\mathcal L^2(-\pi, \pi)} = \sqrt{\pi}\).
Za DCV si zkuste ověřit podobně cosiny.
Ortonormální trigonometrický systém by vypadal následovně:

\[ \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin{x}}{\sqrt{\pi}}, \dfrac{\cos{x}}{\sqrt{\pi}}, \dfrac{\sin{2x}}{\sqrt{\pi}}, \dfrac{\cos{2x}}{\sqrt{\pi}} \ldots, \dfrac{\sin{(px)}}{\sqrt{\pi}}, \dfrac{\cos{(px)}}{\sqrt{\pi}} \ldots \]

Theorem 57

Nechť \(a\in\mathbb R\), \(l>0\). Systém

\[ \{ 1 \} \cup \bigcup\limits_{n\in\mathbb N} \left\{ \cos{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} \right\} \cup \bigcup\limits_{n\in\mathbb N} \left\{ \sin{ \left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right) }\right\} \]

je OG a úplný v \(\mathcal L^2(a,a+l)\)

Důkaz:

OG se dělá jako výše (dělala se na cvikách) a úplnost nedělám.

Definition 48

Nechť \(f\in \mathcal L^2(a,a+l)\), kde \(a\in\mathbb R\), \(l>0\). Řada:

\[ \dfrac{a_0}{2} + \sum\limits^{\infty}_{n=1} a_n \cos{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} + b_n \sin{ \left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right) } \]

je Fourierova (trigonometrická) řada funkce \(f\), kde

\[\begin{split} \begin{split} a_n &= \dfrac{2}{l} \int\limits_a^{a+l}f(x) \cos{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)}\text{d}x \quad n=0,1,\ldots \\ b_n &= \dfrac{2}{l} \int\limits_a^{a+l}f(x) \sin{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)}\text{d}x \quad n=1,2,\ldots \end{split} \end{split}\]

Remark 46 (Speciální volba: \(a=-\pi\), \(l=2\pi\))

\(\dfrac{a_0}{2} + \sum\limits^{\infty}_{n=1} a_n \cos{\left(nx \right)} + b_n \sin{ \left( nx \right) }\), \(a_n = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos{\left(nx \right)}\text{d}x\), \(b_n = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)}\text{d}x\)

Remark 47

\[\begin{split} \begin{split} \alpha_i &= \dfrac{\langle f\vert \varphi_i \rangle}{\Vert \varphi_i \Vert^2} = \dfrac{a_0}{2} =\dfrac{ \int\limits_a^{a+l} f(x)\cdot 1 \text{d}x}{ \int\limits_a^{a+l} 1^2 \text{d}x} = \dfrac{1}{l} \int\limits_a^{a+l}f(x) \text{d}x, \\ a_n &= \dfrac{ \int\limits_a^{a+l} f(x)\cdot \cos{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} \text{d}x}{ \int\limits_a^{a+l} \cos^2{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} \text{d}x} = \left[ \int\limits_a^{a+l} \cos^2{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} \text{d}x = \dfrac{l}{2} \right] = \dfrac{2}{l}\int\limits_a^{a+l} f(x)\cdot \cos{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} \text{d}x, \end{split} \end{split}\]

což je náš vztah. Obdobně bychom získali \(b_n\).

Remark 48

Normy: \( \int\limits_a^{a+l} 1^2 \text{d}x = l\), \( \int\limits_a^{a+l} \cos^2{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} \text{d}x = \dfrac{l}{2}\), \( \int\limits_a^{a+l} \sin^2{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} \text{d}x = \dfrac{l}{2}\)

Theorem 58 (Besselova nerovnost pro trigonometrické řady)

Nechť \(f\in \mathcal L^2(a, a+l)\), kde \(a\in \mathbb R\), \(l> 0\). Nechť \(f\) má na \(\langle a, a+l \rangle\) Fourierovu řadu \(\dfrac{a_0}{2} + \sum\limits^{\infty}_{n=1} a_n \cos{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} + b_n \sin{ \left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right) }\).
Potom \(\forall n \in \mathbb N\):

\[ \dfrac{a_0^2}{2}+ \sum\limits^n_{k=1}(a_k^2 + b_k^2) \leq \dfrac{2}{l}\int\limits_a^{a+l} \vert f(x)\vert^2 \text{d}x. \]

Důkaz:

Rest1

Remark 49

Protože trigonometrický systém je úplný v \(\mathcal L^2(a,a+l)\), platí Parsevalova rovnost

\[ \dfrac{a_0^2}{2}+ \sum\limits^{+\infty}_{k=1}(a_k^2 + b_k^2) =\dfrac{2}{l}\int\limits_a^{a+l} \vert f(x)\vert^2 \text{d}x. \]

pro každou funkci \(f\in \mathcal L^2(a,a+l)\).

Remark 50 (Důsledek)

Nechť \(f\in \mathcal L^2(a,a+l)\), kde \(a\in \mathbb R\), \(l >0\). Potom trigonometrická Furierova řada funkce \(f\) konverguje k \(f\) podle středu.

Remark 51

Předchozí tvrzení nic neříká o bodové konvergenci. Znamená to tedy, že

\[ \dfrac{a_0}{2} + \sum\limits^{\infty}_{n=1} a_n \cos{\left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right)} + b_n \sin{ \left( \dfrac{2\pi n x}{l} \right) } \]

konverguje v \(\mathcal L^2(a,a+l)\) k \(f\), ale součet řady v konkrétním bodě \(x\) nemusí být roven \(f(x)\).