2. Aplikace věty o implicitních funkcích#
Regulární zobrazení a jeho vlastnosti#
Definition 3
Vektorovou funkci \(\vec F : \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n \) nazveme regulární na otevřené množině \(G\subset \mathbb R^n\), pokud \(\vec F \in C^1(G)\) a \(\forall x \in G \) platí
Theorem 4 (Regulární zobrazení zobrazuje otevřené množiny na otevřené)
Nechť \(\vec F : \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n \) je regulární zobrazení na otevřené množině \(G\subset \mathbb R^n\). Potom \(\vec F(G) \) je otevřená množina v \(\mathbb R^n\).
Důkaz:
Rest1.
Theorem 5 (Věta o lokální prostotě regulárního zobrazení)
Nechť \(G \subset \mathbb R^n\) je otevřená množina a \(\vec F : \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n \) je regulární zobrazení na \(G\). Potom \(\forall \vec a \in G\) \(\exists U_\delta(\vec a )\) tak, že \(F\) je prostá na \(U_\delta(\vec a )\).
Důkaz:
Rest2.
Remark 3
Regulární zobrazení je lokálně prosté, ale nemusí být prosté na celém \(G\)
Example 6
Zobrazení \(\vec F(\rho, \varphi) := (\rho\cos(\varphi), \rho\sin(\varphi))\) je regulární na množině \((\rho, \varphi)\in (0;\infty)\times(0,4\pi)\), ale není na této množině prosté.
Důkaz:
Vypočteme \(\det \left( \dfrac{\partial (F_1, F_2)}{\partial (\rho,\varphi)} \right) = \rho > 0\). Z tohoto výsledku dostáváme, že \(\vec F\) je na této množině regulární; není ovšem prosté, protože \(\vec F(1,\pi)=\vec F(1,3\pi)=(-1,0)\).
Theorem 6 (O regularitě prostého zobrazení)
Nechť \(\vec F : \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n \) je regulární a prosté zobrazení na otevřené množině \(G\subset \mathbb R^n\). Pak jeho inverze \(\vec F^{-1}\) je na \(\vec F(G)\) regulární a prostá.
Důkaz:
Rest3.
Remark 4
Z důkazu plyne, že \(\dfrac{\partial \vec F^{-1}}{\partial \vec y}(\vec y)\) je inverzní maticí k \(\dfrac{\partial \vec F}{\partial \vec x}\left(\vec F^{-1}(\vec y)\right)\) a proto můžeme využít vzorec pro determinant inverzní matice z Lineární algebry
Transformace (záměny) proměnných#
Nechť \(U : \mathbb R^n \mapsto \mathbb R\) je řešením rovnice \(\phi\left(U,x_1,\ldots, x_n, \dfrac{\partial U}{\partial x_1}, \ldots, \dfrac{\partial U}{\partial x_n}, \dfrac{\partial^2 U}{\partial x_1^2}, \ldots \right) = 0\) a nechť \(\vec x = \vec \varphi(\vec y)\) je regulární a prosté zobrazení na \( M \subset \mathbb R^n\).
Cílem je najít rovnici pro transformaci funkce \(\tilde U(\vec y) = U(\varphi(\vec y))\). Jak budeme postupovat?
Postup:
Začneme s derivováním funkce \(\tilde U(\vec y)\) podle \(\vec y\) : \(\dfrac{\partial \tilde U}{\partial \vec y}(\vec y) = \dfrac{\partial U}{\partial \vec x}(\vec \varphi(\vec y))\cdot \dfrac{\partial\vec \varphi}{\partial \vec y}(\vec y)\), odkud vyjádříme \(\dfrac{\partial U}{\partial \vec x}(\vec \varphi(\vec y))\) (je to možné díky nenulovosti determinantu posledního členu). Toto vyjádření následně dosadíme do prvotní rovnice pro \(\phi\).
Druhé a vyšší derivace získáme dalším derivováním analogicky a po dosazení do prvotní rovnice získáme transformovanou rovnici ve tvaru
Toto je transformace 1. druhu.
Jiný postup:
Jsou-li zadány vztahy \(y_i = \varphi(x_1,\ldots, x_n) \quad i\in\{1,\ldots,n\}\), máme nové proměnné vyjádřené v řeci starých, kde \(\vec \varphi\) je regulární a prosté zobrazení na otevřené množině \(M\). Toto je transformace 2. druhu.
Zde budeme postupovat tak, že si napíšeme \(\tilde U(\vec y) = \tilde U(\vec \varphi(\vec x)) = U(\vec x)\) a toto zderivujeme podle \(\vec x\) a dostaneme \(\dfrac{\partial \tilde U}{\partial \vec y}(\vec \varphi(\vec x))\cdot \dfrac{\vec \varphi}{\partial \vec x}(\vec x) = \dfrac{\partial U}{\partial \vec x}( \vec x)\), kde tento vztah dosadíme do prvotní rovnice \(\phi\).
Example 7 (Transportní rovnice)
Nechť \(u=u(x,t)\) je řešením počáteční úlohy tvaru
Zvolíme si transformaci
která je regulární a prostá na \(\mathbb R^2\), dostaneme rovnosti \(\tilde u(x',t') = \tilde u(x-vt,t) = u(x,t)\), které jednotlivě parciálně zderivujeme podle \(x\) a \(t\) a výsledky sečteme a z výsledků vyvodíme závěr \(u(x,t)=u_0(x-vt)\).
Example 8
Příklady běžných transformací:
afinní transformace - \(x_i = \sum^{n}_{j=1}a_{ij}y_j + b_i\), kde \(i=1,\ldots,n\)
maticově - \(\vec x = \mathbb A \vec y + \vec b\) (transformace je regulární, právě tehdy když \(\mathbb A\) je regulární matice)
jacobián - \(\left( \dfrac{\partial \vec x}{\partial \vec y}\right) = \det \mathbb A\)