8. Křivky v \(\mathbb R^n\) a křivkové integrály, úvod do ploch v \(\mathbb R^3\)#
Definice křivky a některé vlastnosti křivek#
Definition 34 (křivka v \(\mathbb R^n\))
Křivkou v \(\mathbb R^n\) rozumíme libovolné spojité zobrazení uzavřeného intervalu do \(\mathbb R^n\) tj. \(\varphi: \langle a,b\rangle \mapsto \mathbb R^n\) spojitý. \(\langle \varphi \rangle = \{ \varphi(t) : \, t\in \langle a,b\rangle \} \ldots \) stopa křivky.
\(\varphi(a) \) nazvu počáteční bod křivky a \(\varphi(b) \) nazvu konečný bod křivky.
Křivka se nazývá:
jednoduchá\(\Longleftrightarrow \) \(\varphi\) je prostá na \(\langle a,b\rangle\), tj \(\langle \varphi \rangle\) se neprotíná,
uzavřená\(\Longleftrightarrow \) \(\varphi(a) \) = \(\varphi(b) \),
Jordanova („jednoduchá a uzavřená“)\(\Longleftrightarrow \) \(\varphi\) je prostá na \(\left\langle a,b\right) \quad \wedge\) \(\varphi(a) \) = \(\varphi(b) \),
hladká (třídy \(C^1\)) \(\Longleftrightarrow \) \(\varphi \in C^1( \langle a,b\rangle )\),
hladká regulární\(\Longleftrightarrow \) \(\varphi \in C^1\), \(\exists \lim\limits_{t\mapsto a^+ }\varphi(t), \lim\limits_{t\mapsto b^- }\varphi(t) \, \wedge \, \forall t \in (a,b) : \dot{\varphi}(t) \neq 0\).
Remark 21
Někdy se křivkou rozumí \(\langle \varphi \rangle\) a \(\varphi : \langle a,b\rangle \mapsto \mathbb R^n\) je parametrizace křivky.
\(t\in \langle a,b\rangle\) … čas, \(\varphi(t)\) .. poloha částice v čase \(t\).
Remark 22
\(\left( \dot{\varphi_1}(t) \ldots \dot{\varphi_n}(t) \right)\) tečný vektor ke křivce \(\varphi\) v bodě \((\varphi_1(t)\ldots \varphi_n(t)). \mapsto\) Pro hladkou regulární křivku \(\varphi: \langle a,b\rangle\mapsto \mathbb R^n\) lze definovat \(\dfrac{\dot{\varphi}(t)}{\Vert \dot{\varphi}(t) \Vert}\)… jednotkový tečný vektor.
Definition 35 (Součet křivek, opačná křivka)
Nechť křivky \(\varphi : \langle a,b\rangle \mapsto \mathbb R^n\) a \(\psi:\langle c,d\rangle \mapsto \mathbb R^n\) splňující \(\varphi(b) = \psi(c)\). Potom součet křivek \(\varphi \dot{+} \psi \) definujeme:
\(\varphi\, \dot{+} \,\psi : \langle a, b+d-c \rangle \mapsto \mathbb R^n\)
\((\varphi \, \dot{+} \, \psi)(t): \left\{ \begin{matrix} \varphi(t) & t\in \langle a,b\rangle \\ \psi(t-b+c)& t\in \langle b, b+d-c \rangle \end{matrix} \right.\)
Opačná křivka ke křivce \(\varphi\) je \(\dot{-}\varphi\) definovaná jako \(\dot{-}\varphi : \langle -b,-a\rangle \mapsto \mathbb R^n, \quad (\dot{-}\varphi)(t) = \varphi(-t) \).
Remark 23
Pro libovolnou křivku platí, že \(\langle \varphi \rangle = \langle \dot{-}\varphi \rangle\). Zobrazení \(\varphi\) a \(\dot{-}\varphi\) reprezentují stejnou křivku, jen opačně orientovanou.
Definition 36
Řekneme, že \(\varphi\) je po částech hladká regulární křivka \(\Longleftrightarrow\) existují jednoduché hladké křivky \(\varphi_1 \ldots \varphi_k\) tak, že \(\varphi = \varphi_1 \dot{+} \ldots \dot{+} \varphi_k\)
Křivkové integrály 1. a 2. druhu#
Definition 37 (Křivkový integrál 1. druhu)
Nechť \(\varphi: \langle a,b\rangle \mapsto \mathbb R^n\) je jednoduchá hladká regulární křivka a \(f:\mathbb R^n \mapsto \mathbb R\) je definovaná alespoň na \(\langle \varphi \rangle\). Pak definujeme křivkový integrál prvního druhu z funkce \(f\) podél křivky \(\varphi\) předpisem:
pokud má pravá strana smysl, tj. pokud \(f\circ \varphi \cdot \Vert \dot{\varphi} \Vert \in \mathcal L(a,b)\).
Pro existenci stačí \(f\) spojité na \(\langle \varphi \rangle\) a \(\varphi\) po částech hladká křivka.
Je-li \(\varphi\) po částech hladká regulární křivka taková, že \(\varphi = \varphi_1 \dot{+} \ldots \dot{+} \varphi_k\), kde \(\varphi_i\) jsou jednoduché hladké regulární křivky, pak definujeme \(\int_\varphi f(\vec x) \text{d}\vec x = \sum\limits^k_{i=1}\int\limits_{\varphi_i}f(\vec x) \text{d}\vec x\), má-li pravá strana smysl.
Číslo \(\int_\varphi 1 \text{d}\vec x\) nazýváme délkou křivky.
Remark 24
Fyzikální interpretace: pokud \(f\) reprezentuje hustotu nějaké veličiny (hmotnost, náboj,\(\ldots\)), pak \(\int_\varphi f(\vec x) \text{d}\vec x\) reprezentuje celkovou hodnotu dané veličiny na \(\langle \varphi \rangle\).
Remark 25
Křivkový integrál prvního druhu nezávisí na orientaci křivky ani na její parametrizaci, tj. \(\int_{\dot{-}\varphi} f(\vec x) \text{d}\vec x = \int_\varphi f(\vec x) \text{d}\vec x\) a pokud \(\varphi: \langle a,b\rangle \mapsto \mathbb R^n\) a \(\psi: \langle c,d\rangle \mapsto \mathbb R^n\) jsou jednoduché, hladké regulární křivky takové, že \(\langle \varphi\rangle = \langle \psi\rangle\), pak \(\int_{\varphi} f(\vec x) \text{d}\vec x = \int_\psi f(\vec x) \text{d}\vec x\)
Důkaz:
Rest1
Definition 38 (Křivkový integrál 2. druhu)
Nechť \(\varphi: \langle a,b\rangle\mapsto \mathbb R^n\) je jednoduchá a hladká regulární křivka a nechť \(F:\mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n\) je definována alespoň na \( \langle \varphi\rangle\). Pak definujeme křivkový integrál druhého druhu z funkce \(F\) podél křivky \(\varphi\) předpisem
pokud pravá strana existuje (\(F_i(\varphi(t))\cdot\dot{\varphi}_i(t)\) je mezi nimi skalární součin).
Pokud \(\varphi\) je po částech hladká regulární křivka tvaru \(\varphi = \varphi_1 \dot{+} \ldots \dot{+} \varphi_k\), kde \(\varphi_1 \ldots \varphi_k\) jsou jednoduché hladké regulární křivky, pak definujeme
pokud má pravá strana smysl.
Remark 26
Často se píše: \(\int_\varphi F(\vec x)\text{d}\vec x = \int_\varphi F_1(\vec x)\text{d}x + F_2(\vec x)\text{d}y + F_3(\vec x)\text{d}z \).
K existenci integrálu stačí \(F\) spojitá na otevřené množině \(\Omega \supset \langle \varphi\rangle \) a \(\varphi\) po částech hladká křivka.
Theorem 44 (Aditivita křivkového integrálu)
Nechť \(f:\mathbb R^n \mapsto \mathbb R\), resp. \(F:\mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n\) mají křivkové integrály podél \(\varphi: \langle a,b\rangle\mapsto \mathbb R^n\) a \(\psi : \langle c,d\rangle\mapsto \mathbb R^n\) a nechť existuje \(\varphi \dot{+} \psi\).
Potom \(f\) resp. \(F\) má křivkový integrál podél \(\varphi \dot{+} \psi\) a platí
Důkaz:
Rest1
Theorem 45
Nechť \(F: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n\) má \(\int F(\vec x) \text{d}\vec x\), kde \(\varphi\) je po částech hladká regulární křivka. Potom \(\exists \int\limits_{\dot{-}\varphi} F(\vec x)\text{d}\vec x = - \int\limits_{\varphi} F(\vec x)\text{d}\vec x\).
Důkaz:
Rest1
Důsledek: Hodnota křivkového integrálu 2. druhu závisí na orientaci křivky.
Theorem 46
Nechť \(\varphi: \langle a,b\rangle\mapsto \mathbb R^n\) a \(\psi : \langle c,d\rangle\mapsto \mathbb R^n\) jsou dvě jednoduché po částech hladké regulární křivky, pro které \(\varphi(a) = \psi(c)\), \(\varphi(b) = \psi(d)\) a \(\langle \varphi\rangle = \langle \psi\rangle\) a \(F: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n\) má \(\int_\varphi F(\vec x)\text{d}\vec x.\)
Potom \(\exists \int_\psi F(\vec x)\text{d}\vec x = \int_\varphi F(\vec x)\text{d}\vec x\).
Důkaz:
Rest1
Plocha v \(\mathbb R^3\)#
Definition 39 (Parametrizovaná hladká plocha v \(\mathbb R^3\))
Množinu \(S\subset \mathbb R^3\) nazveme parametrickou hladkou plochou (třídy \(C^1\)) v \(\mathbb R^3\) pokud \(\exists\) neprázdná oblast \(\Omega \subset \mathbb R^2 \) a \(\exists \phi : \Omega \mapsto \mathbb R^3\) třídy \(C^1\) tak, že platí \(\phi(\Omega) = S\) a \(\forall x \in \Omega \quad h(\phi'(x))=2\)
Remark 27
Používáme značení
kde vektory \(\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi}\) a \(\dfrac{\partial \phi}{\partial v}\) jsou lineárně nezávislé a jsou to tečné vektory k ploše \(S\) v bodě \(\phi(\varphi, v)\). Pokud jsou LN, pak \(\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi} \times \dfrac{\partial \phi}{\partial v}\) je normálový vektor.
Jednotkový normálový vektor k ploše \(S\) v bodě \(\phi(\psi,v)\) je
kde vybíráme 1 ze dvou možností lišících se znaménkem (tzv. volba orientace plochy).