7. Další vlastnosti Lebesgueova integrálu a parametrické integrály#
Vlastnosti Lebesgueova integrálu - pokračování#
Theorem 32 (Srovnávací kritérium)
Nechť \(f\in \Lambda_\mu(E)\) (tj. \(f\) je měřitelná na \(E\)), \(g \in\mathcal L(E,\mu)\) a \(\vert f(x)\vert \leq g(x)\) \(\forall\) skoro všechny \(x \in E\). Potom \(f\in \mathcal L(E,\mu)\).
Důkaz:
Rest1 - nebyl
Theorem 33 (Leviho pro řady)
Nechť \(\sum\limits^{\infty}_{n=1}f_n(x)\) je řada nezáporných měřitelných funkcí. Potom
Důkaz:
Rest1 - nebyl
Theorem 34 (Lebesgueova věta integrabilní majorantně)
Nechť \(\left( f_n \right)_{n\in\mathbb N}\) je posloupnost měřitelných funkcí a \(\lim\limits_{n \mapsto \infty} f_n(x) = f(x)\) pro \(\forall \) skoro všechny \(x\in E\).
Nechť \(\exists g \in \mathcal L(E,\mu)\) tak, že \(\forall n \in \mathbb N \quad \forall \) skoro všechny \(x\in E \quad \vert f_n(x) \vert \leq g(x)\).
Potom \(f\in \mathcal L(E,\mu)\) a platí \(\lim\limits_{n\mapsto \infty} \int_E f_n(x) \text{d}x = \int_E f(x) \text{d}x\) (tj. lze zaměnit limitu a integrál).
Důkaz:
Rest1 - nebyl
Theorem 35 (Aditivita Lebesgueova integrálu)
Nechť \(\left( A_k \right)_{k=1}^n\), kde \(n\in \mathbb N\), je disjunktní posloupnost měřitelných množin, \(B= \bigcup\limits_{k=1}^n A_k\). Potom \(\int_B f(x)\text{d}\mu = \sum\limits^{n}_{k=1}\int_{A_k}f(x)\text{d}\mu\) - má-li alepoň jedna strana smysl.
Důkaz:
Rest1 - nebyl
Theorem 36 (\(\sigma-\)aditivita Lebesgueova integrálu)
Nechť \(\left( A_k \right)_{k\in\mathbb N}\) je disjunktní posloupnost měřitelných množin, \(B= \bigcup\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\).
Potom \(\int_B f(x)\text{d}\mu = \sum\limits^{+\infty}_{k=1}\int_{A_k}f(x)\text{d}\mu\), existuje-li integrál na levé straně (tj. \(f\in \mathcal L^*(B,\mu))\).
Důkaz:
Rest1 - nebyl
Definition 33 (Klasický Lebesgueův integrál)
Nechť pro \(n\in\mathbb N\) \(\lambda_n\) je klasická Lebesgueova míra v \(\mathbb R^n\) generovaná funkcemi \(\varphi_k(x)=x\). Potom pro libovolnou \(\lambda_k-\)měřitelnou množinu \(A\subset \mathbb R^n\) integrál \(\int_A f(x)\text{d}\lambda_n\) nazýváme klasickým Lebesgueovým integrálem označíme
Pro \(A\) interval v \(\mathbb R\), tj. \(A=(a;b)\) píšeme \((\mathcal L)\int\limits^{b}_{a} f(x)\text{d}x\) (pro \(a<b\)).
Pokud \(a>b\), pak \(\int\limits^{b}_{a} f(x)\text{d}x = -\int\limits^{a}_{b} f(x)\text{d}x\).
Označíme: \(\mathcal L(E) = \mathcal L(E,\lambda_n), \mathcal L^*(E) = \mathcal L^*(E,\lambda_n)\).
Theorem 37 (O vztahu Riemannova integrálu a Lebesgeova integrálu)
Nechť \(I\) je kompaktní interval v \(\mathbb R^n\) a nechť \(\exists R-\int_I f(x)\text{d}x\). Pak existuje \(\mathcal L-\int_I f(x)\text{d}x\) a má stejnou hodnotu.
Důkaz:
Rest1 - nebyl
Theorem 38 (o vztahu Newtonova a Lebesgueova integrálu)
Nechť \(f\) je spojitá na \((a;b)\subset \mathbb R\), \(F\) je primitivní funkce k \(f\) na \((a;b)\) a nechť existuje \(\mathcal L-\int\limits_{a}^{b}f(x)\text{d}x\) .Potom existují \(\lim\limits_{x\mapsto a^+}F(x)\) a \(\lim\limits_{x\mapsto b^-}F(x)\) (nemusejí být vlastní) a platí rovnost \(\mathcal L-\int\limits_{a}^{b}f(x)\text{d}x = \lim\limits_{x\mapsto b^-}F(x) - \lim\limits_{x\mapsto a^+}F(x)\).
Důkaz:
Rest1 - nebyl
Theorem 39 (o substituci v Lebesgueově integrálu)
Nechť \(\varphi : \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n\) je regulární a prosté zobrazení otevřené množiny \(P\subset \mathbb R^n\) na množinu \(Q\subset \mathbb R^n\). Pak pro libovolnou měřitelnou množinu \(A\subset Q\) a libovolně měřitelnou funkci \(f:\mathbb R^n \mapsto \mathbb R\) platí
Důkaz:
Rest1 - nebyl
Remark 18
Za velmi obecných předpokladů (měřitelnost \(f\), regularita a prostota substituce) platí rovnost mezi dvěmi integrály ve smyslu hodnoty i existence.
tj. \(\int_A f(x)\text{d}x\) existuje, právě když \(\int\limits_{\varphi^{-1}(A)}(f\circ \varphi)(\theta)\left\vert J_\varphi(\theta)\right\vert \text{d}(\theta)\) existuje a jsou si rovny.
Theorem 40 (Fubiniho pro \(\mathcal L-\int\))
Nechť \(A_1 \subset \mathbb R^n\), \(A_2 \subset \mathbb R^n\) jsou měřitelné množiny a nechť \(f\in \mathcal L^*(A_1\times A_2)\). Potom:
\(\forall\) skoro všechna \(x\in A_1\), patří funkce \(g_x\) definovaná \(g_x(y) = f(x,y)\) do \(\mathcal L^*(A_2)\).
\(\forall\) skoro všechna \(x\in A_1\), patří funkce \(H\) definovaná \(H(x) = \int_{A_2}g_x(y)\text{d}y\) do \(\mathcal L^*(A_1)\).
\(\int\limits_{A_1\times A_2}f(x, y)\text{d}x\text{d}y = \int\limits_{A_1}\left(\int\limits_{A_2}f(x,y) \text{d}y\right)\text{d}x\).
Důkaz:
Rest1 - nebyl
Remark 19
Za výše uvedených předpokladů platí \(\int\limits_{A_1\times A_2}f(x, y)\text{d}x\text{d}y = \int\limits_{A_2}\left(\int\limits_{A_1}f(x,y) \text{d}x\right)\text{d}y\), tj pokud existuje integrál \(\int\limits_{A_1\times A_2}f(x, y)\text{d}x\text{d}y\) pak oba dvojnásobné integrály jsou záměnné.
Theorem 41 (O vztahu \(\mathcal L-\int\) a míry)
Nechť \(A\in m_\lambda(\mathbb R^n)\). Potom \(\lambda_n(A) = \int_A 1\text{d}x\).
Důkaz:
Rest1 - nebyl
Integrály s parametrem#
Parametrický integrál: \(F(x) = \int_T f(x,t)\text{d}t\).
Theorem 42 (O záměně limity a parametrického integrálu)
Nechť \(f:X\times T \mapsto \mathbb R\) a bod \(x_0 \in X' \)(hromadný bod množiny \(X\)) splňují:
\(\forall x \in X\backslash \{ x_0\}\) je funce \(f(x;.)\) měřitelná.
\(\forall\) skoro všechny \(t\in T\) \(\exists \lim\limits_{x\mapsto x_0} f(x;t) =: \varphi(t)\).
\(\exists g \in \mathcal L(T)\ldots \forall x \in X \qquad \forall\) skoro všechna \(t\in T \) \(\vert f(x,t)\vert \leq g(t)\), tj. \(\exists\) integrabilní majoranta nezávislá na parametru.
Potom \(\varphi \in \mathcal L(T)\),
tj. lze zaměnit limitu a integrál.
Důkaz:
Rest1
Remark 20 (Důsledek - o spojitosti)
Pokud je navíc funkce \(f(.,t)\) spojitá v \(x =x_0\) pro skoro všechna \(t\in T\), pak i \(F\) je spojitá v bodě \(x_0\)
Theorem 43 (O záměně derivace a integrálu)
Nechť \(X = (a,b)\subset \mathbb R\), \(T\) je měřitelná množina v \(\mathbb R^n\) a \(x_0 \in X \bigcap X'\) a \(f:(a,b)\times T \mapsto \mathbb R\) splňuje:
\(\exists x\in (a,b) \ldots f(x,.) \in \mathcal L(T)\)
\(\forall x\in (a,b) \ldots f(x,.) \in m_\lambda(T)\)
\(\forall\) skoro všechna \(t\in T\) , \(\forall x \in (a,b) \quad \exists \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\)
\(\exists g \in \mathcal L (T)\) \(\forall x \in (a,b)\) \(\forall\) skoro všechna \(t\in T\) je \(\left\vert \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right\vert \leq g(t)\) - tj \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) má integrabilní majorantu nezávislou na \(x\).
Potom:
\(\forall x \in (a,b)\) je \(f(x,.)\in \mathcal L(T)\),
funkce \(F(x) := \int_T f(x,t)\text{d}t\) je diferencovatelná a
tj. lze zaměnit derivaci a integrál.
Důkaz:
Rest1