9. Plošné integrály v \mathbb R^3, integrální věty vektorové analýzy

Obsah

9. Plošné integrály v \(\mathbb R^3\), integrální věty vektorové analýzy#

Definice ploch v \(\mathbb R^3\)#

Definition 40 (Parametrizovaná po částech hladká plocha v \(\mathbb R^3\))

Parametrizovaná po částech hladká plocha v \(\mathbb R^3\) je množina \(S = \bigcup\limits^k_{i=1}S_i\), kde \(k\in\mathbb N\), a \(S^{\circ}_i\) (vnitřek vzhledem k ploše) je \(\forall i \in \widehat{k}\) parametrizovaná hladká plocha a \(\forall i,j\in \widehat k, i\neq j\) je \(S_i \cap S_j\) buď prázdný nebo konečné sjednocení stop po částech hladkých křivek.

Remark 28

Parametrizovaná po částech hladká plocha se skládá z konečného počtu množin, které jsou spojitě diferencovatelnými obrazy \(\psi_i :\Omega_i\subset \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^3\) a ze společných částí „nižší dimenze“.

Plošné integrály 1. a 2. druhu v \(\mathbb R^3\)#

Definition 41 (Plošný integrál 1. druhu)

Nechť \(S = \bigcup\limits^k_{i=1}S_i\) je parametrizovaná po částech hladká plocha v \(\mathbb R^3\) a \(f:S \mapsto \mathbb R \). Řekneme, že \(f\) je integrabilní na \(S\), pokud \(f\circ \psi_i \, \left\Vert \dfrac{\partial \psi_i}{\partial u} \times \dfrac{\partial \psi_i}{\partial v} \right\Vert \in \mathcal L(\Omega_i) \, \forall i \in \widehat k\) a definujeme \(\int_S f\text{d}S = \sum\limits^{k}_{i=1}\int_{S_i}f\text{d}S\), kde

\[ \int_{S_i}f\text{d}S = \int_{\Omega_i} f(\psi_i(u,v))\cdot \left\Vert \dfrac{\partial \psi_i}{\partial u}(u,v) \times \dfrac{\partial \psi_i}{\partial v}(u,v) \right\Vert \text{d}u\text{d}v. \]

Speciálně obsah plochy \(A(S) = \int_S 1 \text{d}S = \sum\limits^{k}_{i=1} \int\limits_{S_i} 1 \text{d}S = \sum\limits^{k}_{i=1} \int\limits_{\Omega_i} \left\Vert \dfrac{\partial \psi_i}{\partial u} \times \dfrac{\partial \psi_i}{\partial v} \right\Vert \text{d}u\text{d}v.\)

Remark 29

Lze ukázat, že pro danou funkci \(f\) a plochu \(S\) hodnota \(\int_S f\text{d}S\) nezávisí na volbě parametrizace plochy \(S\).
Tj.: Nechť \(S\) je parametrizovaná hladká plocha v \(\mathbb R^3, \Omega\subset \mathbb R^2\) a \(\phi : \Omega \mapsto \mathbb R^3\) třídy \(C^1\) takové, že \(\phi(\Omega) = S\). Nechť \(\Lambda \subset \mathbb R^2\) je oblast a \(\xi: \Lambda \mapsto \Omega\) je prosté zobrazení třídy \(C^1 \, \Lambda \mapsto \Omega\).
Potom pro \(\psi = \phi \circ\xi\) a libovolnou \(f\) integrovatelnou na \(S\) platí

\[ \int\limits_\Omega f(\phi (u,v))\cdot \left\Vert \dfrac{\partial \phi}{\partial u} \times \dfrac{\partial \phi}{\partial v} \right\Vert \text{d}u\text{d}v = \int\limits_\Lambda f(\psi(s,t)) \left\Vert \dfrac{\partial \psi }{\partial s} \times \dfrac{\partial \psi }{\partial t} \right\Vert \text{d}s\text{d}t. \]

Definition 42 (Plošný integrál 2. druhu)

Integrál vektorového pole přes plochu = integrál normálové složky vektorového pole přes plochu \(S\), tj. pro \(F: S \mapsto \mathbb R^3\), kde \(S\) je plocha v \(\mathbb R^3\) klademe

\[ \int\limits_S F\cdot \text{d}S = \int\limits_S F\cdot \vec n \text{d}S, \]

kde \(\vec n\) je normálový vektor k ploše \(S\) v bodě \((x,y,z)\in S\), \(F\cdot \vec n \) je celkový tok \(F\) přes plochu \(S\) směrem \(\vec n\).

Definition 43

Nechť \(S = \bigcup\limits_{i=1}^{k}S_i\) je parametrizovaná po částech hladká plocha. Řekneme, že \(F: S \mapsto \mathbb R^3\) je integrabilní na \(S\), pokud \(F\circ \phi_i \cdot \left( \dfrac{\partial \phi_i}{\partial u} \times \dfrac{\partial\phi_i}{\partial v} \right) \in \mathcal L (\Omega_i) \, \forall i \in \widehat k\) a definujeme \(\int_S F\text{d}S := \sum\limits^{k}_{i=1} \int_{S_i} F\text{d}S\), kde \(\int_{S_i} F\text{d}S := \int_{\Omega_i}F(\phi_i(u,v)) \left( \dfrac{\partial \phi_i}{\partial u} \times \dfrac{\partial\phi_i}{\partial v} \right) \text{d}u\text{d}v \quad \forall i\in \widehat k\).

Remark 30

Plošný integrál druhého druhu závisí na parametrizaci plochy následovně:

Theorem 47

Nechť \(S\) je parametrizovaná hladká plocha v \(\mathbb R^3\), pro kterou \(\Omega \subset \mathbb R^2\) je oblast a \(\phi: \Omega\mapsto \mathbb R^3\) taková, že \(\phi(\Omega) = S\). Nechť \(\Lambda \subset \mathbb R^2\) je oblast a \(\xi: \Lambda \mapsto \Omega\) je prosté zobrazení \(\Lambda\) na \(\Omega\) třídy \(C^1\).
Potom pro \(\psi = \phi \circ \xi\) a libovolné integrabilní vektorové pole \(F: S\mapsto \mathbb R^3\) platí

\[ \int\limits_{\Omega}F(\phi(u,v)) \left( \dfrac{\partial \phi}{\partial u} \times \dfrac{\partial\phi}{\partial v} \right)\text{d}u\text{d}v = \omega\int\limits_{\Lambda}F(\psi(s,t))\cdot \left( \dfrac{\partial \psi}{\partial s} \times \dfrac{\partial\psi}{\partial t} \right)\text{d}s\text{d}t \,, \quad \text{kde}\, w = \text{sgn}\det\dfrac{\partial (\xi_1 , \xi_2)}{\partial(s,t)}. \]

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Remark 31

Z věty plyne, že \(\text{sgn}\det\dfrac{\partial (\xi_1 , \xi_2)}{\partial(s,t)}\) je konstantní na \(\Lambda\).
Hodnota \(\int_S F\cdot\text{d}S\) se nemění při reparametrizaci \(S\) zachovávající orientaci plochy \(S\) a mění znaménko, pokud \(\xi\) změní orientaci plochy \(S\) (např. při prohození \(u\) a \(v\)).

Definition 44 (Orientace plochy)

Pro křivky: volba kladného směru na křivce. Pro plochy v \(\mathbb R^3\): volba kladné strany plochy.
V \(\mathbb R^3\) orientace na ploše se zadává volbou spojitého jednotkového normálového pole na \(S\), tj. spojité zobrazení \((x,y,z) \in S \mapsto \vec n(x,y,z)\) (jednotkový normálový vektor).
Spojitost \(\vec n (x,y,z)\) je podstatná. Existence spojitého jednotkového normálového pole není samozřejmá. Příkladem neorientovatelné plochy je např. Möbiův proužek.

Integrální věty vektorové analýzy#

Theorem 48 (Greenova v \(\mathbb R^2\))

Nechť \(S\) je kompaktní množina v \(\mathbb R^2\) a \(\varphi\) je po částech hladká regulární Jordanova křivka taková, že \(\langle \varphi \rangle = \partial S\) a \(S\) při procházení \(\langle \varphi \rangle\) ve shodě s parametrizací leží nalevo od \(\langle \varphi \rangle\) (tj. \(\langle \varphi \rangle\) obchází \(S\) proti směru hodin … kladný směr).
Je-li \(F:\Omega \subset \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^2\) třídy \(C^1(\Omega)\), kde \(\Omega \) je otevřená množina taková, že \(\overline S \subset \Omega\), pak

\[ \oint\limits_\varphi F(\vec x ) \cdot \text{d}\vec x = \iint_S \left( \dfrac{\partial F_2}{\partial x_1} - \dfrac{\partial F_1}{\partial x_2} \right) \text{d}x \text{d}y. \]

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Remark 32 (Důsledek)

Plochu množiny \(S\subset \mathbb R^2\) lze počítat pomocí křivkového integrálu 2. druhu podél hranice

\[ \mu(S) = \int\limits_S 1 \text{d}x\text{d}y = \int\limits_{\partial S} (0,x)(\text{d}x\text{d}y) = \int\limits_{\partial S} (-y,0)(\text{d}x\text{d}y) = \frac{1}{2} \int\limits_{\partial S} (-y,x)(\text{d}x\text{d}y) = \frac{1}{2} \int\limits_{\partial S} -y\text{d}x + x\text{d}y. \]

Example 14

Obsah elipsy \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\).

Theorem 49 (Gaussova - zobecnění Greena do \(\mathbb R^3\))

Nechť \(V\subset \mathbb R^3\) je kompaktní množina, jejíž hranice \(\partial V\) je parametrizovaná po částech hladká plocha orientovaná pomocí jednotkového vektoru vnější normály \(\vec n\). Dále nechť \(F:\Omega \subset \mathbb R^3 \mapsto \mathbb R^3\) je třídy \(C^1\) na otevřené množině \(\Omega \supset V\). Potom

\[ \int\limits_{\partial V} F\cdot \vec n \text{d}S = \int\limits_V \text{div} F \text{d}V. \]

Důkaz:

Rest1 - nebyl

Remark 33

celkový tok vekotorového pole přes \(\partial V\) směrem ven.
\(\text{div} F\) určuje objemovou hustotu zdrojů pole \(F\).

Theorem 50 (Stokesova věta v \(\mathbb R^3\))

Nechť \(S= \bigcup\limits^k_{i=1}S_i\) je parametrizovaná po částech hladká plocha v \(\mathbb R^3\) taková, že hranice \(\partial S_i\) v topologii indukované \(S\) je křivka po částech hladká. Nechť \(\forall i \in \widehat k\) je na \(S_i\) zadaná orientace pomocí spojitého pole jednotkového normálového vekotru, která indukuje souhlasnou orientaci na \(\partial S_i\), tj. při průchodu \(\partial S_i\) v shodě s parametrizací je kladná strana na \(S\) stále po levé ruce. Nechť \(F: \Omega \subset \mathbb R^3 \mapsto \mathbb R^3\) je třídy \(C^1\) na otevřené množině \(\Omega \supset S\). Potom

\[ \int\limits_{\partial S} F\cdot\text{d}\vec x = \int\limits_{S}\text{rot}F \cdot \vec n \text{d}S. \]

Důkaz:

Rest1 - nebyl