4. Vázané extrémy a úvod do teorie míry#

Opakování z minulé hodiny - definice tečného prostoru#

  • Extrémy funkce \(f:\Omega \subset \mathbb R^n \mapsto \mathbb R \) na množině \(M = \{ x\in \Omega \vert \,g(x) = 0 \}\), kde \(g:\Omega \mapsto \mathbb R^m \) a \(n > m\).

  • \(M=\bigcap\limits_{j=1}^{m}(M_j)\), kde \(M_j := \{ x\in \Omega \, \vert \, g_j(x)=0 \}\) a \(T_{a}(M) = \bigcap\limits_{j=1}^{m}T_a(M_j) = \text{Ker}\left( \dfrac{\partial g}{\partial x}(a) \right)\)

  • Bázi \(T_a(M)\) nalezneme řešením soustavy LAR \(\nabla g_i(a)\cdot v = 0\). Budeme předpokládat, že vektory \(\left(\nabla g_j(a)\right)^m_{j=1}\), jsou LN, tj. \(h\left( \dfrac{\partial g}{\partial x}(a) \right)= m <n \)

Vyšetřování vázaných extrémů funkce#

Theorem 9 (Nutná podmínka vázaného extrému)

Nechť \(f : \Omega\subset\mathbb R^n \mapsto \mathbb R\) (\(\Omega\) je otevřená množina) a \(g: \Omega \subset \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^m\) jsou funkce třídy \(C^1(\Omega)\) a \(m<n\). Nechť \(f\) má lokální extrém vzhledem k množině \(M = \{ x\in\Omega \,\vert\, g(x)=0 \}\) v bodě \(a\in M\) a \(h\left( \dfrac{\partial g}{\partial x}(a) \right)= m \).
Potom existují čísla \(\lambda_1,\ldots,\lambda_m \in \mathbb R\) taková, že \(\nabla f(a) - \sum^{m}_{j=1}\lambda_j\nabla g_j(a) = 0\).

Důkaz:

Rest1 plus asi obrázek.

Remark 7

Definujeme-li Lagrangeovu funkci \(L(x,\lambda):\Omega\times\mathbb R^m \mapsto \mathbb R\) jako

\[ L(x,\lambda) = f(x) - \sum^{m}_{j=1}\lambda_j g_j(s), \]

pak

\[ \nabla f(a) - \sum^{m}_{j=1}\lambda_j\nabla g_j(a) = 0, \]

právě tehdy, když

\[ \nabla_x L(x,\lambda)=0 \]

a

\[ \nabla_\lambda L(x,\lambda)=0\qquad\text{(vazebné podmínky)}, \]

tj. hledáme stacionární body Lagrangeovy funkce \(L\) (volné extrémy) a čísla \(\lambda_1, \ldots, \lambda_m\) jsou tzv. Lagrangeovy multiplikátory.

Pro určení typu extrému je potřeba následující aparát.

Definition 7 (Opakování z LAL2)

Nechť \(P\subset \mathbb R^n, P \neq \emptyset\). Symetrickou matici \(A\in\mathbb R^{n,n}\) nazveme:

  • pozitivně definitní vzhledem k \(P\) \(\, \Longleftrightarrow \,\) \(\forall x\in P\backslash \{0\} \quad x^T\cdot A\cdot x >0\)

  • pozitivně semi-definitní vzhledem k \(P\) \(\, \Longleftrightarrow \,\) \(\forall x\in P \quad x^T \cdot A\cdot x \geq0\)

  • negativně definitní vzhledem k \(P\) \(\, \Longleftrightarrow \,\) \(\forall x\in P\backslash \{0\} \quad x^T \cdot A\cdot x <0\)

  • negativně semi-definitní vzhledem k \(P\) \(\, \Longleftrightarrow \,\) \(\forall x\in P \quad x^T \cdot A \cdot x \leq 0\)

  • indefinitní vzhledem k \(P\) \(\, \Longleftrightarrow \,\) \(\exists x,y\in P \quad x^T \cdot A \cdot x >0\) a \(y^T \cdot A \cdot y\)
    Ozn. \(\nabla^2_x L(a,\lambda)\) Hessova matice vzhledem k \(x\) od funkce \(L\)

\[\begin{split} \nabla^2_x L(a,\lambda) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2 L}{\partial x^2_1}(a,\lambda) & \dfrac{\partial^2 L}{\partial x_2 \partial x_1}(a,\lambda) & \ldots\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \ldots & \ldots & \dfrac{\partial^2 L}{\partial x^2_n}(a,\lambda) \end{pmatrix} \end{split}\]

Theorem 10 (Postačující podmínky pro vázaný extrém)

Nechť \(f : \Omega\subset\mathbb R^n \mapsto \mathbb R\) a \(g: \Omega \subset \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^m\) jsou funkce třídy \(C^2(\Omega)\) a \(M = \{ x\in \Omega \, \vert\, g(x)=0\}\) a bod \([a,\lambda]\in M \times \mathbb R^m\) splňující \(\nabla_x L(a,\lambda) = 0\).
Potom platí:

  1. je-li \(\nabla^2_x L(a,\lambda)\) PD vzhledem k \(T_a(M)\), potom \(f\) má v bodě \(a\) ostré lokální minimum vzhledem k \(M\).

  2. je-li \(\nabla^2_x L(a,\lambda)\) ND vzhledem k \(T_a(M)\), potom \(f\) má v bodě \(a\) ostré lokální maximum vzhledem k \(M\).

Důkaz:

Rest2 - dukaz nebyl na přednášce

Remark 8

Jak poznat PD/ND vzhledem k \(T_a(M)\)?

  1. najít bázi \(T_a(M)\) - všechna LN řešení soustavy LAR \(\nabla g_i(a)\cdot \vec v = 0\). Tato LN řešení označíme \({\bf b}_1,\ldots,{\bf b}_{n-m}\in\mathbb R^n\).

  2. každý vektor \(v\in T_a(M)\) lze psát ve tvaru \(v=\sum^{n-m}_{i=1}\alpha_i b_i\). Tuto rovnost lze zapsat vektorově jako

\[ \bf x = \mathbb B\bf\alpha, \]

kde \(\mathbb B\in\mathbb R^{n,n-m}\) je matice se sloupci \({\bf b}_1.\dots, {\bf b}_{n-m}\) a \({\bf\alpha}\in\mathbb R^{n-m}\) je vektor se složkami \(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-m}\).

  1. pro \(v\in T_a(M)\) platí

\[ v^T \nabla^2_xL(a,\lambda)v = \alpha^T\mathbb B^T \nabla^2_xL(a,\lambda) \mathbb B \alpha \lessgtr 0 \]

pro \(\forall \alpha \in \mathbb R^{n-m}\). Stačí tedy kontrolovat pozitivní/negativní definitnost výrazu

\[ \mathbb B^T \nabla^2_xL(a,\lambda) \mathbb B \in \mathbb R^{n-m,n-m}, \]

který reprezentuje zúžení \(\nabla^2_xL(a,\lambda)\) na \(T_a(M)\).

Teorie míry - základní pojmy#

Míra bude množinová funce, tj. funkce, která množině přiřadí číslo ( například délka, obsah, objem, …)
Definičním oborem míry jsou množiny (množina množin - budeme značit \(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \ldots\) a říkame jim soustavy množin)
Nechť \(X\) je množina. Potencí množiny \(X\) nazýváme množinu všech podmnožin \(X\) a značíme \(2^X\), tj. \(2^X = \{ \varphi : \varphi \subset X \}\).
Řekneme, že neprázdná soustava množin \(\mathcal A\) je (konečně) aditivní, právě tehdy když \(\forall X,Y\in\mathcal A \quad X\cup Y \in \mathcal A\).
Řekneme, že neprázdná soustava množin \(\mathcal A\) je množiným okruhem, právě tehdy když je aditivní a \(\forall X,Y\in\mathcal A \quad X\backslash Y \in \mathcal A\) (tj. je uzavřená na rozdíl).

Theorem 11 (Množinový okruh je uzavřený na průniky)

Nechť \(\mathcal A\) je množinový okruh. Potom \(\forall X,Y\in\mathcal A\) je \(X\bigcap Y \in \mathcal A\).

Důkaz:

Rest3 - Obrázek

Definition 8 (Algebra, disjunktní, \(\sigma-\)aditivní)

Řekneme, že neprázdná soustava podmnožina množiny \(X\) je algebra, právě tehdy když \(\mathcal A\) je okruh a \(\exists X \in \mathcal A \quad \forall Y \in \mathcal A \quad Y\subseteq X\) (tzv. prezident).
Řekneme, že neprázdná soustava množin \(\mathcal A\) je disjunktní, právě tehdy když \(\forall A, B \in \mathcal A, \quad A\neq B\) platí \(A\bigcap B = \emptyset\).
Řekneme, že neprázdná soustava množin \(\mathcal A\) je \(\mathbf{\sigma-}\)aditivní (spočetně aditivní), právě tehdy když \(\forall\) posloupnost množin \((A_n)_{n\in\mathbb N}\), kde \(A_n\in\mathcal A \quad \forall n\in \mathbb N\) platí \(\bigcup\limits_{n \in \mathbb N}A_n\in\mathcal A\).

Theorem 12

Každá \(\sigma-\)aditivní soustava je aditivní.

Důkaz:

Rest4 - nebylo

Definition 9 (\(\sigma\) okruh a algebra)

Je-li množinový okruh \(\sigma-\)aditivní, nazýváme ho \(\sigma-\)okruh. Je-li množinová algebra \(\sigma-\)aditivní, nazýváme ji \(\sigma-\)algebra.

Definition 10

Nechť \(\mathcal A\) je soustava množin. Okruh \(\mathcal B \supset \mathcal A \), pro který platí, že je-li \(\mathcal C \supset \mathcal A\) také okruh, tak \(\mathcal B \subset \mathcal C\), nazýváme minimálním okruhem generovaným soustavou \(\mathcal A\).

Remark 9

Pro libovolnou soustavu \(\mathcal A\) existuje právě jeden minimální okruh generovaný soustavou \(\mathcal A\).

Definition 11 (Borelovský uzávěr)

Nechť \(\mathcal A\) je soustava množin \(\sigma-\)okruh \(\mathcal B \supset \mathcal A\), pro který platí, že je-li \(\mathcal C \supset \mathcal A\) také \(\sigma-\)okruh, tak \(\mathcal B \subset \mathcal C\) nazveme minimálním \(\sigma-\)okruhem generovaným soustavou \(\mathcal A\) (tzv. borelovský uzávěr soustavy \(\mathcal A\))

Remark 10

Pro libovolnou soustavu \(\mathcal A\) existuje právě jeden borelovský uzávěr generovaný soustavou \(\mathcal A\).

Definition 12 (Polokruh)

Řekneme, že neprázdná soustava množin \(\mathcal A\) je polokruhem, právě tehdy když:

  1. \(\forall X,Y \in \mathcal A \quad X\bigcap Y \in \mathcal A\) (uzavřenost na průniky)

  2. \(\forall X,Y \in \mathcal A \quad \exists (C_k)^{n}_{k=1}\), kde \(n\in \mathbb N\) tak, že \(\forall k \in \widehat n\) platí \(C_k \in \mathcal A\) a \(X\backslash Y = \bigcup\limits_{k=1}^{n}C_k\).

Theorem 13

Každý okruh je polokruhem.

Důkaz:

Rest5 - nebylo