Hopfovy algebry

Kvantová grupa coby matematická struktura je Hopfova algebra. Hopfova algebra je bialgebra nad tělesem (my budeme pracovat s tělesem ), na které je navíc definován tzv. antipode . Bialgebra je vektorový prostor , na kterém je zavedena současně struktura algebry s násobením a koalgebry s konásobením , dále jednotka a kojednotka , přičemž tato zobrazení vyhovují určitým axiomům (jsou spolu přirozeným způsobem svázána, přesněji níže).

Konásobení je duální zobrazení vzhledem k násobení. Znázorňujeme-li zobrazení pomocí diagramů, pak dualita se projeví jednoduše tak, že se všude změní orientace šipek. Například požadujeme, aby násobení bylo asociativní. Tento požadavek můžeme znázornit pomocí komutativního diagramu

$$\begin{array}{lcr} \AA\otimes\AA & \stackrel{\mu}{\longrigh... ...\,}\otimes\mu}{\longrightarrow} & \AA\otimes\AA\end{array}\,.$$ (36)

Duálně požadujeme, aby konásobení bylo koasociativní, což odpovídá komutativnímu diagramu

$$\begin{array}{lcr} \AA\otimes\AA & \stackrel{\Delta}{\longl... ...}\otimes\Delta}{\longleftarrow} & \AA\otimes\AA\end{array}\,.$$ (37)

Jednotka implikuje vnoření tělesa do algbery, to jest zobrazení . Kojednotka je duální k zobrazení . Jestliže je komutativní následující diagram, ve kterém vystupuje ,

$$\begin{array}{lcccr} \k\otimes\AA & \stackrel{\eta\otimes\en... ...tackrel{\cong}{} & \\ & & & & \\ & & \AA & & \end{array}\,,$$ (38)

pak budeme požadovat, aby byl komutativní i diagram

$$\begin{array}{lcccr} \k\otimes\AA & \stackrel{\ensuremath{\v... ...tackrel{\cong}{} & \\ & & & & \\ & & \AA & & \end{array}\,.$$ (39)

Zde přirozeně ztotožňujeme tenzorový součin s ( ), podobně ztotožňujeme s .

Význam antipodu se nejlépe ozřejmí na konkrétních příkladech, které uvádíme níže.

Algebrou budeme rozumět trojici , kde je vektorový prostor nad , zobrazení a jsou lineární a diagramy (36), (38) jsou komutativní. Koalgebra je trojice , kde je vektorový prostor nad , zobrazení a jsou lineární a diagramy (37), (39) jsou komutativní.

Bialgebra je pětice , přičemž je algebra a je koalgebra. Dále struktury algebry a koalgebry musí být, jak bylo možno očekávat, spolu určitým způsobem svázány. Jednou z ekvivalentních možností, jak tak učinit, je požadavek, aby konásobení bylo homomorfismem algeber. Zde využíváme toho, že na lze zavést násobení, a tedy strukturu algebry, předpisem

$$(f\otimes g)(f'\otimes g')=ff'\otimes gg'\, .$$

Stejně tak musí být kojednotka homomorfismem algeber.

Ekvivalentní podmínka je, aby zobrazení a byly homomorfismy koalgeber.

Antipode je lineární zobrazení , které splňuje rovnosti

$$\mu \circ (S\otimes \ensuremath{\mbox{id}\,})\circ \Delta =\... ...\otimes S)\circ \Delta =\eta \circ \ensuremath{\varepsilon}\, .$$

Lze ukázat, že antipode je antihomomorfismem algebry: . Hopfova algebra je bialgebra s antipodem.