Příklad 4: univerzální obalující algebra

Next: Kvantové grupy Up: Hopfovy algebry Previous: Příklad 3: algebra funkcí Obsah

Příklad 4: univerzální obalující algebra

Libovolnému vektorovému prostoru $V$ nad $\k$ můžeme přiřadit tenzorovou algebru $TV$ ,

$\begin{displaymath} TV=\k\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \dots \, .\end{displaymath}$

Násobením je tenzorový součin $\otimes$ .

Buď $\ensuremath{\mathfrak{g}}$ Lieova algebra. Univerzální obalující algebra je $\ensuremath{\mathcal{U}}(\ensuremath{\mathfrak{g}})=T\ensuremath{\mathfrak{g}}/\ensuremath{\mathcal{I}}$ , kde $\ensuremath{\mathcal{I}}$ je dvoustranný ideál generovaný prvky

$\begin{displaymath} x\otimes y-y\otimes x-[x,\, y],\quad x,y\in \ensuremath{\mathfrak{g}}\, . \end{displaymath}$

Po faktorizaci budeme opět značit násobení, jak je zvykem, tečkou `` $\cdot$ '' (a i ta se vynechává).

$\ensuremath{\mathcal{U}}(\ensuremath{\mathfrak{g}})$ je nekonečnorozměrná asociativní algebra. Podrobnější informaci dává PBW (Poincaré-Birkhoff-Witt) věta: je-li $\{x_{1,}x_{2},\dots ,x_{N}\}$ libovolná pevně zvolená báze v $\ensuremath{\mathfrak{g}}$ , pak prvky

$\begin{displaymath} x_{1}^{\, n_{1}}\, x_{2}^{\, n_{2}}\dots x_{N}^{\, n_{N}},\quad n_{1,}n_{2},\dots ,n_{N}\in \ensuremath{\mathbb {Z}}_{+}\, ,\end{displaymath}$

tvoří (algebraickou) bázi v $\ensuremath{\mathcal{U}}(\ensuremath{\mathfrak{g}})$ .

Důsledkem PBW věty je, že $\ensuremath{\mathfrak{g}}$ je vnořena do $\ensuremath{\mathcal{U}}(\ensuremath{\mathfrak{g}})$ jako vektorový prostor a samozřejmě $\ensuremath{\mathfrak{g}}$ generuje $\ensuremath{\mathcal{U}}(\ensuremath{\mathfrak{g}})$ .

$\ensuremath{\mathcal{U}}(\ensuremath{\mathfrak{g}})$ se stává Hopfovou algebrou, jestliže definujeme konásobení, kojednotku a antipode následovně (stačí předepsat hodnoty na generátorech):

$\begin{displaymath} \Delta x=x\otimes 1+1\otimes x,\, \ensuremath{\varepsilon}(x)=0,\, Sx=-x,\quad x\in \ensuremath{\mathfrak{g}}\, .\end{displaymath}$

Pavel Stovicek
2000-02-25