next up previous contents
Next: Příklad 4: univerzální obalující Up: Hopfovy algebry Previous: Příklad 2: grupová algebra   Obsah

Příklad 3: algebra funkcí na \( SU(2) \)

Konstrukce Hopfovy algebry v tomto případě je téměř shodná s příkladem 1, pouze \( SU(2) \) není konečná grupa. Jedinou modifikací je, že za \( \AA\) nevolíme algebru funkcí \( \ensuremath{\mbox{Fun}\,}(SU(2)) \) a dokonce ani \( \ensuremath{C^{\infty}}(SU(2)) \), ale podalgebru (29) generovanou prvky \( a \), \( b \), \( c \), \( d \). Konásobení \( \Delta \) se shoduje se zobrazením \( m^{\ast } \) (34), které je podle (35) dobře definované. Kojednotka a antipode jsou definovány obdobně jako v příkladu 1. Konkrétně dostáváme

\begin{displaymath} \ensuremath{\varepsilon}(a)=\ensuremath{\varepsilon}(d)=1,\quad \ensuremath{\varepsilon}(b)=\ensuremath{\varepsilon}(c)=0 \end{displaymath} (41)

a

\begin{displaymath} Sa=d,\, Sb=-c,\, Sc=-b,\, Sd=a\, .\end{displaymath}

Zdůrazněme, že podle (27) je na \( \AA\) navíc definovaná involuce (kterou jsme ostatně mohli zavést i v příkladu 1 pomocí vztahu (28)).


Pavel Stovicek
2000-02-25