Příklad: SU(2)

Prvky jsou unimodulární matice

$$g=\left( \begin{array}{cc} g_{11} & g_{12}\\ g_{21} & g_{22} \end{array}\right) ,\quad g_{11}g_{22}-g_{12}g_{21}=1\, .$$

Unitarita znamená, že

$$g_{21}=-\overline{g_{12}},\, \, g_{22}=\overline{g_{11}}\, .$$

Na zavedeme funkce předpisem

$$a(g)=g_{11},\, b(g)=g_{12},\, c(g)=g_{21},\, d(g)=g_{22}\, .$$

Tyto funkce nejsou nezávislé, splňují vztahy

$$ad-bc=1$$ (26)

a

$$c=-b^{\ast },\, \, d=a^{\ast }\, .$$ (27)

Zde symbol značí involuci v prostoru komplexních funkcí (stejně tak jako v případě libovolné jiné variety) definovanou přirozeně takto:

$$f^{\ast }(g)=\overline{f(g)}\, .$$ (28)

Často je výhodné omezit se na podalgebru algebry (násobení funkcí se zavádí samozřejmě bodově jako ) generovanou funkcemi . Tuto podalgebru můžeme popsat jako faktoralgebru

$$% latex2html id marker 710 \AA =\ensuremath{\mathbb {C}}[a,b,c,d]/\mbox{relace (\ref{det}), (\ref{ast})}$$ (29)

( značí algebru komplexních polynomů v proměnných ). Poissonova závorka je předepsána na generátorech následujícím způsobem

$$\begin{eqnarray*} & \{a,\, b\}=\ensuremath{\imath}\, ab,\quad \{a,\, c\}=\ensur... ... & \{b,\, c\}=0,\quad \{a,\, d\}=2\ensuremath{\imath}\, bc. & \end{eqnarray*}$$

Další rovnosti plynou z relací (27) a z toho, že Poissonova závorka je reálná, to jest že platí

$$\{f,\, g\}^{\ast }=\{f^{\ast },\, g^{\ast }\}\, .$$ (30)

Jako ukázku ověříme rovnost

$$\{m^{\ast }a,\, m^{\ast }b\}=m^{\ast }\{a,\, b\}\, ,$$ (31)

kde je grupové násobení.

Nejprve si všimněme, že pro libovolné variety a lze přirozeně vnořit

$$\ensuremath{C^{\infty}}(M)\otimes \ensuremath{C^{\infty}}(N)\hookrightarrow \ensuremath{C^{\infty}}(M\times N)\, .$$ (32)

Jsou-li dány funkce a , pak jejich tenzorový součin můžeme chápat jako funkci na varietě :

$$(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)\, .$$ (33)

Tento fakt využijeme i v dalších kapitolách.

Určeme . Platí

$$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cc} m^{\ast }a(g_{1},g_{2}) & m^{\ast }b(... ...g_{2}) & b(g_{2})\\ c(g_{2}) & d(g_{2}) \end{array}\right) \, . \end{eqnarray*}$$

S využitím vnoření (32), (33) můžeme psát

$$m^\ast a = a\otimes a+b\otimes c, \quad m^\ast b = a\otimes b+b\otimes d,$$

$$m^\ast c = c\otimes a+d\otimes c, \quad m^\ast d = c\otimes b+d\otimes d.$$ (34)

Povšimněme si, že

$$m^{\ast }:\AA\rightarrow \AA\otimes \AA\, ,$$ (35)

kde algebru jsme zavedli v (29).

Levá strana (31) je podle pravidla (25) rovna

$$\begin{eqnarray*} \{a\otimes a+b\otimes c,\, a\otimes b+b\otimes d\} & = & \{a,\... ...remath{\imath}(a\otimes a+b\otimes c)(a\otimes b+b\otimes d)\, . \end{eqnarray*}$$

Poslední výraz se ale rovná pravé straně (31).