Poissonovy grupy

Jeden z možných pohledů na kvantové grupy je, že představují kvantování Poissonových (Lieových) grup. Poissonova grupa je Lieova grupa, na které je navíc zavedena Poissonova závorka, a obě struktury jsou v jistém smyslu v souladu. Upřesněme tyto pojmy.

Jsou-li a dvě Poissonovy variety, potom na kartézském součinu lze rovněž přirozeným způsobem zavést Poissonovu závorku. Ve specielním případě, kdy v obou funkcích, které vystupují jako argumenty Poissonovy závorky, jsou proměnné a separovány, platí rovnost

$$\{f(x)g(y),\, f'(x)g'(y)\}=\{f(x),\, f'(x)\}_{M}\, g(y)g'(y)+f(x)f'(x)\, \{g(y),\, g'(y)\}_{N}\, .$$ (25)

Tato závorka se pak jednoznačně prodlužuje na libovolné funkce z prostoru .

O zobrazení řekneme, že je poissonovské, jestliže pull-back zobrazení

$$F^{\ast }:\ensuremath{C^{\infty}}(N)\rightarrow \ensuremath{C^{\infty}}(M),\quad F^{\ast }f=f\circ F\, ,$$

zachovává Poissonovu závorku, to jest jestliže platí

$$F^{\ast }\{f,\, g\}_{N}=\{F^{\ast }f,\, F^{\ast }g\}_{M}\, .$$

Poissonova grupa je Lieova grupa, která je současně Poissonovou varietou , přičemž grupové násobení

$$m:G\times G\rightarrow G$$

je poissonovské zobrazení.