Metoda orbit

Metoda orbit je vlastně geometrická konstrukce reprezentací Lieových algeber a grup. Postup je shodný s geometrickým kvantováním, ovšem symplektické variety a třídy funkcí, které chceme kvantovat (přiřadit jim operátory), jsou přesně vymezeny a přirozeně závisí na dané Lieově grupě. I v případě metody orbit se nebudeme pouštět do podrobného výkladu a omezíme se na ilustrativní příklad, kterým bude Lieova grupa .

Nejprve přece jen několik obecných poznámek. Nechť je Lieova algebra a duální vektorový prostor. Hodnotu funkcionálu na vektoru budeme značit jako (tím je zdůrazněna dualita mezi prostory a ). Každému prvku přiřadíme lineární funkci na vztahem

$$\lambda _{X}(f)=\langle f,\, X\rangle ,\quad f\in \ensuremath{\mathfrak{g}}^{\ast }\, .$$ (7)

Na existuje právě jedna Poissonova závorka, která splňuje

$$\{\lambda _{X},\, \lambda _{Y}\}=\lambda _{[X,\, Y]}\, .$$ (8)

To jest Poissonova závorka je nejprve předepsána na funkcích a potom se jednoznačně prodlužuje na všechny funkce z prostoru .

Zmiňme se o vztahu mezi symplektickými a poissonovskými varietami. V předcházející části jsme využili přechodu od symplektické formy k Poissonově závorce. V opačném směru platí následující obecný výsledek. Na každé poissonovské varietě existuje jednoznačně určené rozvrstvení (tzv. foliace), jehož všechny listy jsou symplektické podvariety variety . V obecném případě mohou být ve foliaci zastoupeny listy různé, ale vždy nutně sudé dimenze. Je-li list foliace, potom Poissonova závorka na určená příslušnou symplektickou strukturou je rovna zúžení původní Poissonovy závorky definované na :

$$\{f\mid _{\ensuremath{\mathcal{O}}},\, g\vert _{\ensuremath{... ...athcal{O}}},\quad \forall f,g\in \ensuremath{C^{\infty}}(M)\, .$$

Níže rozebereme příklad, ve kterém je symplektická foliace Poissonovy variety tvořena sférami se středem v počátku coby 2-rozměrnými symplektickými varietami a počátkem jako 0-rozměrnou varietou.

Rovněž na duálním prostoru existuje jednoznačně určená foliace, jejíž listy jsou symplektické variety. Tyto listy se přesně shodují s orbitami tzv. koadjungované (coadjoint) akce. Blíže se touto akcí zabývat nebudeme, ale názvosloví ``orbita'' se přidržíme. V metodě orbit se vychází právě z těchto orbit coby symplektických variet a kvantují se funkce na dané orbitě získané zúžením funkcí (7).

Lieova algebra je tvořena antihermitovskými maticemi rozměru s nulovou stopou. Zvolme bázi (tradiční, až na komplexní jednotky Pauliho matice)

$$J_{1}=\frac{\ensuremath{\imath}}{2}\left( \begin{array}{cc} ... ...eft( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right) \, .$$ (9)

Platí

$$[J_{1},\, J_{2}]=J_{3},\quad \ensuremath{\mbox{další 2 vztahy cyklicky}}.$$

Libovolný prvek můžeme psát ve tvaru

$$X=\sum _{i=1}^{3}x_{i}\, J_{i}=\frac{\ensuremath{\imath}}{2}... ..._{1}-\ensuremath{\imath}x_{2} & -x_{3} \end{array}\right) \, .$$ (10)

Tím jsme na zavedli souřadnice , , .

Dále na zavedeme symetrickou bilineární formu vztahem

$$B(X,\, Y)=-2\ensuremath{\mbox{Tr}\,}XY\, .$$

Tato forma je pozitivně definitní, neboť pro tvaru (10) platí

$$-2\ensuremath{\mbox{Tr}\,}X^{2}=x_{1}^{\, 2}+x_{2}^{\, 2}+x_{3}^{\, 2}\, .$$

Díky tomu je zobrazení

$$\ensuremath{\mathfrak{su}}(2)\rightarrow \ensuremath{\mathfr... ...:X\mapsto f_{X},\quad \langle f_{X},\, Y\rangle =B(X,\, Y)\, ,$$ (11)

vzájemně jednoznačné. Takto ztotožňujeme vektorový prostor se svým duálním prostorem .

Pro jednoduchost pišme místo . Podle definice (7) a ztotožnění (11) máme

$$\lambda _{k}(x)=-2\ensuremath{\mbox{Tr}\,}\left( \sum x_{i}J_{i}\right) J_{k}=x_{k}\, .$$

Podle (8) je Poissonova závorka na jednoznačně určena rovnostmi

$$\{x_{1},\, x_{2}\}=x_{3},\quad \ensuremath{\mbox{další 2 vztahy cyklicky}}\, .$$

Není těžké napsat Poissonovu závorku pro libovolné dvě funkce:

$$\{f,\, g\}=x_{1}\left( \frac{\partial f}{\partial x_{2}}\, \... ...\, \frac{\partial g}{\partial x_{2}}\right) +\mbox {cyklicky}.$$ (12)

Poissonova závorka na libovolné poissonovské varietě splňuje Leibnizovo pravidlo:

$$\{f,\, gh\}=\{f,\, g\}h+\{f,\, h\}g\, .$$

Odtud plyne, že při pevném je zobrazení určeno diferenciálním operátorem 1. řádu, to jest jistým vektorovým polem . Obecně Poissonovu závorku můžeme psát ve tvaru (srovnej s (2))

$$\{f,\, g\}=\gamma _{f}\cdot g=-\gamma _{g}\cdot f\, .$$

Přitom opět platí vztah (3).

V případě Lieovy závorky (8) definované na duálu k Lieově algebře pišme místo . Zobrazení

$$\xi :\ensuremath{\mathfrak{g}}\to \ensuremath{\mathfrak{X}}(\ensuremath{\mathfrak{g}}^{\ast }):X\mapsto \xi _{X}$$

je homomorfismus Lieových algeber a nazývá se infinitezimální akcí. Není to nic jiného než zderivovaná koadjungovaná akce Lieovy grupy na , jejímuž přesnému popisu jsme se vyhnuli.

V případě závorky (12) budeme opět pro jednoduchost psát místo . Snadný výpočet dává

$$\gamma _{1}=x_{3}\, \frac{\partial }{\partial x_{2}}-x_{2}\,... ... }{\partial x_{1}}-x_{1}\, \frac{\partial }{\partial x_{2}}\, .$$

Tato vektorová pole jsou tečná ke sférám se středem v počátku. Tyto sféry jsou pak přesně symplektické listy foliace na určené poissonovskou strukturou (je nutno zahrnout i nulový poloměr, to jest jednobodovou množinu obsahující počátek).

Buď sféra o poloměru . Na zvolíme lokální komplexní souřadnice :

$$z=\frac{x_{1}+\ensuremath{\imath}\, x_{2}}{r+x_{3}},\quad \overline{z}=\frac{x_{1}-\ensuremath{\imath}\, x_{2}}{r+x_{3}}\, .$$

Inverzní transformace má tvar

$$x_{1}=r\, \frac{z+\overline{z}}{1+\vert z\vert^{2}},\quad x_... ...ad x_{3}=r\, \frac{1-\vert z\vert^{2}}{1+\vert z\vert^{2}}\, .$$ (13)

Tyto lokální souřadnice pokrývají celou sféru s výjimkou jediného bodu .

Pro určení Poissonovy závorky na stačí vypočítat . Přitom uplatníme pravidlo

$$\left\{ f,\, \frac{1}{g}\right\} =-\frac{1}{g^{2}}\, \{f,\, g\}\, .$$

Dostáváme

$$\begin{eqnarray*} \{z,\, \overline{z}\} & = & \left\{ \frac{x_{1}+\ensuremath{\i... ...x_{3})^{3}}\, \{x_{3},\, x_{1}-\ensuremath{\imath}\, x_{2}\}\, . \end{eqnarray*}$$

Výsledek:

$$\{z,\, \overline{z}\}=-\frac{\ensuremath{\imath}}{2r}\, (1+\vert z\vert^{2})^{2}\, .$$

Vektorová pole příslušná souřadnicovým funkcím:

$$\gamma _{z}=-\frac{\ensuremath{\imath}}{2r}\, (1+\vert z\ver... ...\, (1+\vert z\vert^{2})^{2}\, \frac{\partial }{\partial z}\, .$$ (14)

Symplektická forma na je určena vztahem (viz. (2)),

$$\omega =-\frac{2r\ensuremath{\imath}}{(1+\vert z\vert^{2})^{2}}\, dz\wedge d\overline{z}\, .$$

Zvolme další systém komplexních souřadnic tak, abychom pokryli celou sféru, a sice

$$w=\frac{1}{z}\, .$$

Bod odpovídá . Platí

$$dz=-\frac{1}{w^{2}}\, dw$$

a

$$\omega =-\frac{2r\ensuremath{\imath}}{(1+\vert w\vert^{2})^{2}}\, dw\wedge d\overline{w}$$

(v souřadnicích má formálně stejný tvar jako v souřadnicích ).

Zvolme nyní pro souřadné systémy a po řadě 1-formy a s vlastností :

$$\nu _{+}=\frac{2r\ensuremath{\imath}\, \overline{z}}{1+\vert... ...nsuremath{\imath}\, \overline{w}}{1+\vert w\vert^{2}}\, dw\, .$$ (15)

Vyjádříme 1-formu rovněž v souřadnicích :

$$\nu _{-}=-\frac{2r\ensuremath{\imath}}{(1+\vert z\vert^{2})z}\, dz\, .$$

Pochopitelně v souřadnicích má forma pól v bodě . Na oblasti , máme vztah

$$\nu _{+}-\nu _{-}=2r\ensuremath{\imath}\, \frac{dz}{z}\, .$$ (16)

Kvantovací předpis (5) mírně pozměníme. V jednotlivých souřadnicích zavádíme operátory

$$\ensuremath{\varrho}_{\pm }(f)=\gamma _{f}+\ensuremath{\imath}\, \nu _{\pm }(\gamma _{f})+\ensuremath{\imath}\, f\, .$$ (17)

Při této volbě komutační vztah mezi operátory má tvar

$$[\ensuremath{\varrho}_{\pm }(f),\, \ensuremath{\varrho}_{\pm }(g)]=\ensuremath{\varrho}_{\pm }(\{f,\, g\})\, .$$

Na varietách s netriviální topologií jako je sféra se navíc požaduje, aby operátory (17) byly úzce svázány. Přesněji, v našem konkrétním příkladě budeme požadovat, aby existovala funkce definovaná a všude nenulová na oblasti , (ekvivalentně , ) s vlastností

$$\ensuremath{\varrho}_{-}(f)=\varphi \, \ensuremath{\varrho}_{+}(f)\, \varphi ^{-1}\, .$$ (18)

Dvojice operátorů potom bude konzistentně působit v prostoru dvojic funkcí , které jsou svázány vztahem

$$\psi _{-}=\varphi \, \psi _{+}\, .$$ (19)

Konzistencí je míněna rovnost

$$\ensuremath{\varrho}_{-}(f)\psi _{-}=\varphi \, \ensuremath{\varrho}_{+}(f)\psi _{+}\, ,$$

která již plyne ze vztahů (18), (19). Ve fyzice se vztahy (18), (19) běžně nazývají kalibračními transformacemi. V diferenciální geometrii se nazývá přechodovou funkcí (transition function) a určuje jednorozměrný komplexní fibrovaný prostor (line bundle) nad sférou jako bazickým prostorem.

Rovnost (18) můžeme přepsat jako

$$\ensuremath{\imath}\, \nu _{-}(\gamma _{f})=-\varphi ^{-1}\,... ...}\cdot \varphi +\ensuremath{\imath}\, \nu _{+}(\gamma _{f})\, ,$$

či ekvivalentně

$$\nu _{+}-\nu _{-}=-\ensuremath{\imath}\, \varphi ^{-1}\, d\varphi \, .$$

Po dosazení z (16) dostáváme

$$-2r\, \frac{dz}{z}=\frac{d\varphi }{\varphi }\, .$$

Požadovaná funkce existuje, právě když poloměr je polocelé číslo,

$$r=\frac{n}{2},\quad n=0,1,2,\dots \, ,$$ (20)

(bez problémů můžeme zahrnout i nulový poloměr), a je rovna

$$\varphi (z)=z^{-n}\, .$$ (21)

Na vztah (20) můžeme pohlížet jako na kvantovací podmínku.

Vyjádříme vektorová pole příslušná funkcím (13). Zřejmě

$$\gamma _{k}=\frac{\partial x_{k}}{\partial z}\, \gamma _{z}+... ...tial x_{k}}{\partial \overline{z}}\, \gamma _{\overline{z}}\, ,$$

kde vektorová pole jsme nalezli ve vztahu (14). Přímočarý výpočet dává

$$\gamma _{1} = \frac{\ensuremath{\imath}}{2}\, (1-z^{2})\, \frac{\partial }{\par... ...imath}}{2}\, (1-\overline{z}^{2})\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}}\, ,$$

$$\gamma _{2} = -\frac{1}{2}\, (1+z^{2})\, \frac{\partial }{\partial z}-\frac{1}{2}\, (1+\overline{z}^{2})\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}}\, ,$$ (22)

$$\gamma _{3} = -\ensuremath{\imath}\, z\, \frac{\partial }{\partial z}+\ensuremath{\imath}\, \overline{z}\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}}\, .$$

Přitom jsou splněny komutační vztahy

$$[\gamma _{1},\, \gamma _{2}]=\gamma _{3},\quad \ensuremath{\mbox{další 2 vztahy cyklicky}}\, .$$

Místo budeme psát jednoduše . Výpočet je opět přímočarý s využitím rovností (17), (15) a dává

$$\ensuremath{\varrho}_{+}(J_{1}) = \frac{\ensuremath{\imath}}{2}\, (1-z^{2})\, \frac{\partial }{\par... ...rac{\partial }{\partial \overline{z}}+\ensuremath{\imath}\, \frac{n}{2}\, z\, ,$$

$$\ensuremath{\varrho}_{+}(J_{2}) = -\frac{1}{2}\, (1+z^{2})\, \frac{\partial }{\partial z}-\frac{1}{... ...\overline{z}^{2})\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}}+\frac{n}{2}\, z\, ,$$ (23)

$$\ensuremath{\varrho}_{+}(J_{3}) = -\ensuremath{\imath}\, z\, \frac{\partial }{\partial z}+\ensurema... ...rac{\partial }{\partial \overline{z}}+\ensuremath{\imath}\, \frac{n}{2}\, z\, .$$

Operátory (23) je opět třeba redukovat. V tomto případě invariantní podprostor bude tvořen holomorfními funkcemi. Transformační vztah (19) a tvar funkce (21) ale představují silné omezení. Je-li holomorfní funkce na , potom musí být rovněž holomorfní funkce na včetně bodu (to jest ). Tato podmínka je splněna právě tehdy, je-li polynom stupně nejvýše .

Ve výsledných vzorečcích vypustíme index . Pro dané operátory

$$\ensuremath{\varrho}(J_{1}) = \frac{\ensuremath{\imath}}{2}\, (1-z^{2})\, \frac{\partial }{\partial z}+\ensuremath{\imath}\, \frac{n}{2}\, z\, ,$$

$$\ensuremath{\varrho}(J_{2}) = -\frac{1}{2}\, (1+z^{2})\, \frac{\partial }{\partial z}+\frac{n}{2}\, z\, ,$$ (24)

$$\ensuremath{\varrho}(J_{3}) = -\ensuremath{\imath}\, z\, \frac{\partial }{\partial z}+\ensuremath{\imath}\, \frac{n}{2}\, z\, ,$$

působí v prostoru

$$\ensuremath{\mathcal{H}}_{n}=\ensuremath{\mbox{span}\,}_{\ensuremath{\mathbb {C}}}\{1,z,\dots ,z^{n}\}$$

a splňují komutační relace

$$[\ensuremath{\varrho}(J_{1}),\, \ensuremath{\varrho}(J_{2})]=... ...o}(J_{3}),\quad \ensuremath{\mbox{další 2 vztahy cyklicky}}\, .$$

Operátory (24) definují -rozměrnou irreducibilní reprezentaci Lieovy algebry . Za pozornost jistě stojí fakt, že jsou tím vyčerpány všechny irreducibilní reprezentace (jak je dobře známo z libovolné učebnice kvantové mechaniky zabývající se momentem hybnosti či naopak z libovolné učebnice zabývající se teorií reprezentací jednoduchých Lieových algeber).

Metodu orbit, kterou jsme ilustrovali na jednom specielním příkladu, lze aplikovat na libovolnou Lieovu grupu. Pro mnohé běžně používané Lieovy grupy tato konstrukce dává vynikající výsledky a vede na všechny či ``skoro všechny'' irreducibilní reprezentace. Pro některé specielní podtřídy Lieových grup je tento výsledek dokázán rigorózně. Zcela obecné a univerzální tvrzení tohoto typu, pokud je mi známo, neexistuje.