Příklad:

Buď se souřadnicovými funkcemi a . Zvolme . Vektorové pole je určeno vztahy

$$\begin{eqnarray*} && \omega (\gamma _{f},\, \cdot \, ) = (\gamma _{f}\cdot p)\,... ...tial f}{\partial p}\, dp+ \frac{\partial f}{\partial q}\, dq\, , \end{eqnarray*}$$

a tedy

$$\gamma _{f}=\frac{\partial f}{\partial q}\, \frac{\partial }... ...frac{\partial f}{\partial p}\, \frac{\partial }{\partial q}\, .$$

Poissonova závorka je dána předpisem (2),

$$\{f,\, g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\, \frac{\partial g}... ...rac{\partial f}{\partial p}\, \frac{\partial g}{\partial q}\, .$$

Geometrické kvantování (5) vede na operátory

$$\ensuremath{\varrho}(f)=\ensuremath{\imath}\, \left(\frac{\... ... }{\partial q}\right)- p\, \frac{\partial f}{\partial p}+f\, .$$

Specielně,

$$\ensuremath{\varrho}(q)=\ensuremath{\imath}\, \frac{\partial... ...rho}(p)=-\ensuremath{\imath}\, \frac{\partial }{\partial q}\, .$$

Jak bylo předesláno, prostor, ve kterém působí operátory a , lze redukovat. V tomto jednoduchém případě se řešení nabízí samo. Oba operátory komutují s derivací a tedy podprostor funkcí, které splňují (nezávisí na souřadnici ), je invariantní. Po této redukci dostáváme všem dobře známé operátory

$$\ensuremath{\varrho}(q)=q,\quad \ensuremath{\varrho}(p)=-\ensuremath{\imath}\, \frac{\partial }{\partial q}\, .$$

Je třeba ale zdůraznit, že tuto redukci lze uplatnit pouze na určitou podtřídu operátorů, specielně na a , nikoli však obecně na operátor příslušný zcela libovolné funkci .