Geometrické kvantování

Vycházíme ze symplektické variety , kde je uzavřená nedegenerovaná 2-forma. To jest pro každý bod je

$$\omega _{m}:\, T_{m}\, M\times T_{m}\, M\rightarrow \ensuremath{\mathbb {R}},$$

antisymetrické bilineární zobrazení, , a zobrazení, které přiřazuje tečným vektorům funkcionály z duálního prostoru podle předpisu

$$\varphi _{X}(Y)=\omega (X,\, Y),\qquad \forall Y\in T_{m}\, M\, ,$$

je prosté a tedy vzájemně jednoznačné.

Vnější derivace libovolné funkce je 1-forma (připomeňme, že funkcionál je určen vztahem , kde symbol na pravé straně má význam derivace funkce ve směru tečného vektoru).V každém bodě existuje právě jeden tečný vektor , který splňuje

$$df_{m}(\cdot )=\omega _{m}(\gamma _{f}(m),\, \cdot \, )\, .$$

Tím je jednoznačně určeno zobrazení

$$\gamma :\ensuremath{C^{\infty}}(M)\ni f\mapsto \gamma _{f}\in \ensuremath{\mathfrak{X}}(M)\, .$$ (1)

Zde symbol značí prostor hladkých vektorových polí na .

Symplektická struktura na implikuje poissonovskou strukturu. je Poissonova varieta s Poissonovou závorkou (první rovnost můžeme považovat za definici, další dvě se snadno odvodí)

$$\{f,\, g\}=\gamma _{f}\cdot g=-\gamma _{g}\cdot f=-\omega (\gamma _{f},\, \gamma _{g})\, .$$ (2)

Připomeňme, že vektorová pole tvoří nekonečnorozměrnou Lieovou algebrou , když Lieova závorka je jednoduše zavedena jako komutátor. Přitom na vektorová pole pohlížíme jako na diferenciální operátory 1. řádu a tedy jako na zobrazení prostoru hladkých funkcí do sebe. Komutátor dvou vektorových polí je opět vektorové pole. Dále prostor hladkých funkcí s Poissonovou závorkou se stává rovněž nekonečnorozměrnou Lieovou algebrou . Zobrazení (1)

$$\gamma :(\ensuremath{C^{\infty}}(M),\, \{\, ,\, \})\rightarrow (\ensuremath{\mathfrak{X}}(M),\, [\, ,\, ])$$

je homomorfismem Lieových algeber, to jest platí

$$\gamma _{\{f,\, g\}}=[\gamma _{f},\, \gamma _{g}]\, .$$ (3)

Symplektická forma je podle předpokladu uzavřená, , a lokálně ji lze vždy vyjádřit ve tvaru pro vhodnou 1-formu (na topologicky triviálních varietách jako je euklidovský prostor existuje dokonce globálně). Připomeňme vztah pro vnější derivaci 1-formy:

$$\forall \xi ,\, \eta \in \ensuremath{\mathfrak{X}}(M),\quad ... ...ot \nu (\eta )-\eta \cdot \nu (\xi )-\nu ([\xi ,\, \eta ])\, .$$ (4)

Základem geometrického kvantování je zobrazení , které každé funkci přiřadí diferenciální operátor (zprvu definovaný na prostoru hladkých funkcí) podle předpisu ( )

$$\ensuremath{\varrho}(f)=\ensuremath{\imath}\gamma _{f}+\nu (\gamma _{f})+f\, .$$ (5)

Povšimněme si, že je 1-forma aplikovaná na vektorové pole a výsledkem je tedy funkce. Ve vztahu (5) používame stejný symbol pro operátor násobení určitou funkcí jako pro samotnou funkci (v tomto případě a ). S využitím identit (2), (3), (4) není těžké odvodit komutační vztah, který má zásadní význam, a sice

$$[\ensuremath{\varrho}(f),\, \ensuremath{\varrho}(g)]=\ensuremath{\imath}\, \ensuremath{\varrho}(\{f,\, g\})\, .$$ (6)

Skutečně,

$$\begin{eqnarray*}[\ensuremath{\varrho}(f),\, \ensuremath{\varrho}(g)]& = & -[\ga... ...& = & \ensuremath{\imath}\, \ensuremath{\varrho}(\{f,\, g\})\, . \end{eqnarray*}$$

Na první pohled by se tento výsledek mohl zdát ideální. Každé funkci na byl přiřazen operátor , přičemž komutátor operátorů je ve shodě s Poissonovou závorkou. Na následujícím příkladu ale předvedeme, že pro některé funkce, které jsou zajímavé z hlediska kvantové mechaniky, působí operátory (5) v ``příliš velkém prostoru'', který je tudíž nutno dále redukovat. Obecná metoda, jak řešit tento problém, je založena na pojmu polarizace, kterým se ale v tomto krátkém textu nebudeme blíže zabývat a spokojíme se místo toho s jednoduchým příkladem.