Příklad 2: grupová algebra konečné grupy

Buď opět konečná grupa a nechť je grupová algebra . je vektorový prostor, jehož bázi tvoří elementy grupy , tedy prvky jsou lineární kombinace

$$x=\sum _{a\in G}x_{a}\, a,\quad x_{a}\in \k\, .$$ (40)

Opět . Násobení stačí předepsat na bazických vektorech a v tom případě se shoduje s grupovým násobením v , . Dále , . Obdobně konásobení, kojednotku a antipode stačí předepsat na prvcích báze. Definujeme

$$\Delta a=a\otimes a,\, \ensuremath{\varepsilon}(a)=1,\, Sa=a^{-1},\quad a\in G\, .$$

Příklady 1 a 2 jsou navzájem duální. Párováním mezi a nazveme bilineární zobrazení ( je tvaru (40))

$$\langle \, ,\, \rangle :\ensuremath{\mathcal{U}}\times \AA\r... ...f)\mapsto \langle x,\, f\rangle =\sum _{a\in G}x_{a}\, f(a)\, .$$

Vlastnosti, které párování musí splňovat, jsou tyto: je nedegenerované ( a obdobně pro druhý argument) a splňuje rovnosti

$$\begin{eqnarray*} & \langle \Delta x,\, f\otimes g\rangle =\langle x,\, \mu (f\... ...ambda ,\quad \langle Sx,\, f\rangle =\langle x,\, Sf\rangle . & \end{eqnarray*}$$

Zde využíváme toho, že párování mezi a indukuje párování mezi a :

$$\langle x\otimes y,\, f\otimes g\rangle =\langle x,\, f\rangle \, \langle y,\, g\rangle \, .$$