Next: Příklad 1: Up: Kvantové grupy a konstrukce Previous: Příklad 4: univerzální obalující Obsah

Kvantové grupy

Kvantovou grupu můžeme chápat jako kvantování Poissonovy grupy. Kvantování budeme pojímat o něco abstraktněji než dosud a funkcím na poissonovské varietě nebudeme přímo přiřazovat operátory, ale celé algebře funkcí přiřadíme novou (kvantovanou) algebru, která bude obecně nekomutativní. K operátorům se přechází pomocí reprezentací kvantované algebry.

Předpokládejme, že $G$ je Poissonova grupa a $\AA _0$ je algebra funkcí na $G$ s (konečnou) množinou generátorů $\{f,g,\dots \}$ . Dále předpokládáme, že $\AA _0$ je nekonečnorozměrná Lieova algebra vzhledem k Poissonově závorce na $G$ a Hopfova algebra s konásobením $\Delta =m^{\ast }$ ( $m:G\times G\rightarrow G$ stále značí grupové násobení). Příkladem je $G=SU(2)$ s algebrou $\AA$ (29).

Kvantová algebra $\AA _{h}$ bude deformací algebry $\AA _0$ závisející na parametru deformace $h$ . $\AA _{h}$ bude mít stejnou množinu generátorů jako $\AA _0$ , ale pro odlišení je dočasně označíme stříškou: $\{\widehat{f},\widehat{g},\dots \}$ . V limitě $h\to 0$ musí $\AA _{h}$ přejít v komutativní algebru $\AA _{0}$ . Algebra $\AA _{h}$ by měla splňovat některé další ``přirozené'' (a do určité míry heuristické) požadavky. Zdůrazněme následující dva:

Poissonovskou strukturu lze získat z $\AA _{h}$ v ``semiklasické'' limitě $h\to 0$ (jestliže počítáme do prvního řádu v parametru $h$ ). Přesněji, požadujeme, aby generátory splňovaly vztah

$\begin{displaymath} \widehat{f}\widehat{g}-\widehat{g}\widehat{f}=\ensuremath{\imath}h\, \widehat{\{f,\, g\}}+O(h^{2})\, .\end{displaymath}$

Poznámka: výsledek Poissonovy závorky $\{f,\, g\}$ můžeme opět vyjádřit pomocí generátorů (jako polynomiální výraz) a poté mu přiřadíme prvek algebry $\AA _{h}$ , což je naznačeno stříškou. $\AA _{h}$ je sice nekomutativní, ale ve skutečnosti zde už na pořadí nezáleží, neboť počítáme do prvního řádu $h$ a před Poissonovou závorkou již stojí $h$ .
$\AA _{h}$ musí být Hopfovou algebrou.

Jako příklad popíšeme nejjednodušší netriviální kvantovou grupu $SU_{q}(2)$ , která je kvantováním Poissonovy grupy $SU(2)$ z kapitoly 3. Kromě toho zavedeme $q$ -deformaci univerzální obalující algebry $\ensuremath{\mathcal{U}}(\ensuremath{\mathfrak{su}}(2))$ , kterou jsme rozebrali v příkladu 4 v kapitole 4. Lze ukázat, že Hopfova algebra $\ensuremath{\mathcal{U}}_{q}(\ensuremath{\mathfrak{su}}(2))$ je duální k $SU_{q}(2)$ .

Ve všech příkladech je $h$ reálný parametr a pokládáme $q=e^{-h}$ . Ve skutečnosti všechny výrazy budou explicitně záviset přímo na parametru $q$ .

Subsections

- Příklad 1: $SU_{q}(2)$
- Příklad 2: $\ensuremath{\mathcal{U}}_{q}(\ensuremath{\mathfrak{su}}(2))$

Next: Příklad 1: Up: Kvantové grupy a konstrukce Previous: Příklad 4: univerzální obalující Obsah

Pavel Stovicek
2000-02-25