Příklad 1:

Algebra funkcí na kvantové grupě je generována prvky , které splňují relace

$$\begin{eqnarray*} & ab=qba,\, ac=qca,\, bc=cb,\, & \\ & ad-qbc=da-q^{-1}bc=1\, . & \end{eqnarray*}$$

Na je zavedena involuce vztahy

$$a^{\ast }=d,\, b^{\ast }=-qc$$

(involuce je antihomomorfismus: ). Konásobení je formálně stejné jako v nedeformovaném případě (viz. (34))

$$\begin{eqnarray*} \Delta a = a\otimes a+b\otimes c,\quad \Delta b = a\otimes b+b... ... = c\otimes a+d\otimes c,\quad \Delta b = c\otimes b+d\otimes d. \end{eqnarray*}$$

Rovněž kojednotka je formálně stejná jako v klasickém případě (41). Antipode je zaveden následovně:

$$Sa=d,\, Sb=-q^{-1}b,\, Sc=-qc,\, Sd=a.$$

Povšimněte si, že matice

$$\left( \begin{array}{cc} Sa & Sb\\ Sc & Sd \end{array}\righ... ...\ast } & c^{\ast }\\ b^{\ast } & d^{\ast } \end{array}\right)$$

je inverzní k matici

$$\left( \begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)$$

(pokud používáme pravidla pro násobení v algebře ).