Příklad 2:

Výhodné je pracovat s komplexifikovanou Lieovou algebrou - připouštíme komplexní lineární kombinace jejich prvků. Konkrétně pokládáme (viz. (9))

$$E=-\ensuremath{\imath}\, J_{1}-J_{2},\quad F=-\ensuremath{\imath}\, J_{1}+J_{2},\quad H=-2\ensuremath{\imath}\, J_{3}\, .$$ (42)

Elementy tvoří bázi (nad ) a splňují komutační vztahy

$$[E,\, F]=H,\quad [H,\, E]=2E,\quad [H,\, F]=-2F\, .$$

Komplexifikace Lieovy algebry je izomorfní (komplexní matice s nulovou stopou). V prvkům odpovídají matice

$$E=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)... ...left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right) \, .$$

Komplexifikace univerzální obalující algebry je izomorfní , reálná struktura ale zůstává zakódována v involuci

$$E^{\ast }=F,\quad F^{\ast }=E,\quad H^{\ast }=H\, .$$

Deformovaná univerzální obalující algebra je komplexní Hopfova algebra s involucí se souborem generátorů . Pod je třeba si představit element . Algebra je určena relacemi

$$\begin{eqnarray*} & K\, K^{-1}=K^{-1}K=1,\quad KE=q\, EK,\quad KF=q^{-1}FK, & \\ & [E,\, F]=\frac{1}{q-q^{-1}}(K^{2}-K^{-2}). & \end{eqnarray*}$$

Na generátorech je předepsáno konásobení

$$\Delta K=K\otimes K,\quad \Delta E=E\otimes K^{-1}+K\otimes E,\quad \Delta F=F\otimes K^{-1}+K\otimes F,$$

kojednotka

$$\ensuremath{\varepsilon}(K)=1,\quad \ensuremath{\varepsilon}(E)=\ensuremath{\varepsilon}(F)=0,$$

antipode

$$SK=K^{-1},\quad SE=-q^{-1}E,\quad SF=-q\, F\, ,$$

a rovněž involuce

$$K^{\ast }=K,\quad E^{\ast }=F\, .$$