Příklad: q-deformovaná metoda orbit pro su(2)

Přepišme ještě jednou výsledek z kapitoly 2. Tentokrát vyjádříme všechny vztahy pomocí báze v komplexifikaci algebry (viz. (42)). Z (22) zjistíme, že holomorfní části vektorových polí pro tyto prvky jsou (značíme )

$$\xi_{E}=\frac{\partial }{\partial z},\quad \xi_{F}=-z^{2}\,... ...rtial z},\quad \xi_{H}=-2z\, \frac{\partial }{\partial z}\, .$$ (43)

Algebra polynomů se tak stává levým modulem, když levá akce generátorů je zřejmě následující:

$$\xi_{E}\cdot z^{k}=k\, z^{k-1},\quad \xi_{F}\cdot z^{k}=-k\, z^{k+1},\quad \xi_{H}\cdot z^{k}=-2k\, z^{k}\, .$$

Výsledkem metody orbit je v podstatě modifikace této akce tím, že k vektorovým polím (43) přičítáme obecně nenulové členy 0-tého řádu. Ze vztahů (24) odvodíme, že

$$\ensuremath{\varrho}(E)=\frac{\partial }{\partial z},\quad \... ...uremath{\varrho}(H)=-2z\, \frac{\partial }{\partial z}+n\, z\,$$

a tedy

$$\ensuremath{\varrho}(E)\cdot z^{k}=k\, z^{k-1},\quad \ensure... ...+1},\quad \ensuremath{\varrho}(H)\cdot z^{k}=(n-2k)\, z^{k}\, .$$

Na závěr uvedeme -deformovanou akci algebry na bez toho, že bychom jakkoliv rozebírali způsob jejího odvození. Nejprve zaveďme symbol

$$[c]=\frac{q^{c}-q^{-c}}{q-q^{-1}},\quad c\in \ensuremath{\mathbb {C}}\, .$$

Původní (nemodifikovaná) levá akce na je předepsána na generátorech:

$$\xi(K^{\pm 1})\cdot z^{k}=q^{\mp k}\, z^{k},\quad \xi(E)\cdot z^{k}=[k]\, z^{k-1},\quad \xi(F)\cdot z^{k}=-[k]\, z^{k+1}.$$

Modifikovaná akce opět závisí na parametru a vypadá následovně:

$$\xi(K^{\pm 1})\cdot z^{k}=q^{\pm (\frac{n}{2}-k)}\, z^{k},\q... ... z^{k}=[k]\, z^{k-1},\quad \xi(F)\cdot z^{k}=[n-k]\, z^{k+1}.$$