Anotace předmětu:

Předmětem zkoumání numerické lineární algebry je zejména numerické řešení soustav lineárních algebraických rovnic, výpočet vlastních čísel matic, řešení problému nejmenších čtverců, případně hledání rozkladů matic. Při numerických výpočtech na počítačích je třeba uvažovat fakt, že žádný počítač nepočítá přesně, tj. zajímá nás vliv aritmetiky s konečnou přesností na výsledek výpočtu. V první části přednášky se tedy budeme zabývat reprezentací čísel v počítači a chováním zaokrouhlovacích chyb při jednoduchých operacích. Bude analyzována citlivost vlastních čísel matic a citlivost řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Následovat bude zpětná analýza těchto úloh, která společně s teorií citlivosti umožňuje odhadnout chybu získané aproximace výše uvedených problémů. Ve druhé části přednášky budou probrány metody QR rozkladu matic, metoda nejmenších čtverců, některé moderní Krylovské metody pro řešení soustav rovnic (GMRES, FOM, Lanczosova metoda, CG, MINRES, BiCG, QMR a Lanczosova metoda pro aproximaci vlastních čísel symetrické matice.

Osnova přednášek:

1. Úvod, základní pojmy, reprezentace čísel v počítači.
2. Standartní aritmetika IEEE, vliv zaokrouhlovacích chyb při výpočtech v aritmetice s konečnou přesností. Přímá a zpětná analýza algoritmu.
3. Podobnostní transformace, Schurova věta, měření vzdáleností spekter matic.
4. Věta o citlivosti spekter obecných matic.
5. Citlivost vlastních čísel diagonálních a normálních matic. Zpětná analýza problému vlastních čísel.
6. Citlivost řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Zpětná analýza řešení soustav lineárních algebraických rovnic.
7. QR-rozklady matic a ortogonální transformace.
8. Householderova transformace.
9. Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces. Metoda nejmenších čtverců.
10. Metody Krylovových podprostorů - úvod. Arnoldiho algoritmus. Metoda zobecněných minimálních reziduí pro řešení soustav rovnic.
11. Lanczosův algoritmus, aproximace vlastních čísel symetrické matice.
12.-13. Přehled metod Krylovových podprostorů pro řešení soustav rovnic.
14. Dokončení přehledu. Předpodmiňování iteračních metod. Příklady jednoduchých předpodmínění.

Literatura:

Drkošová, Strakoš: Úvod do teorie citlivosti a stability v numerické lineární algebře, skripta ČVUT Praha, 1997.
Barett et al.: Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods.
Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition, SIAM, 2003.
Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, First edition.