3. Spektrální rozklad

Připomeňme základní pojmy týkající se spektrální analýzy samosdružených operátorů.

Definice

Buď $% latex2html id marker 945 $ \mathcal{H}$$ Hilbertův prostor. Zobrazení

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1399\Omega \subset \mathbb{R}\textr... ...omega )\textrm{ }-\textrm{ ortogonální projektor v }\mathcal{H}\end{displaymath}$

se nazývá projekční mírou, jestliže splňuje

$P(\emptyset )=0$ , $% latex2html id marker 947 $ P(\mathbb{R})=\mathbb{I}$$ ,
pro vzájemně disjunktní množiny $\{\Omega _{m}\}^{\infty }_{m=1}$ platí

$\begin{displaymath} P\! \left( \bigcup _{m}\Omega _{m}\right) =\textrm{s}-\sum _{m}P(\Omega _{m})\, ,\end{displaymath}$
$P(\Omega _{1})\, P(\Omega _{2})=P(\Omega _{1}\cap \Omega _{2})\, .$

Následující věta představuje dalekosáhlé zobecnění věty o diagonalizaci hermitovských matic a týká se všech samosdružených operátorů v jistém Hilbertově prostoru včetně neomezených.

Věta (von Neumann 1929, Stone 1932, Riesz 1930)

Existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi samosdruženými operátory $H$ na Hilbertově prostoru $% latex2html id marker 951 $ \mathcal{H}$$ a projekčními mírami $P$ na $% latex2html id marker 953 $ \mathbb{R}$$ s hodnotami v $% latex2html id marker 954 $ \mathcal{H}$$ . Vztah je dán rovností

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1401H=\int \lambda \, \mathrm{d}P_{\lambda }\, .\end{displaymath}$

Integrálu je třeba rozumět v tomto smyslu: $P_{\lambda }=P\big ((-\infty ,\lambda )\big )$ a

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1402\forall \varphi \in \mathop\mat... ... \, \mathrm{d}\langle \varphi ,P_{\lambda }\varphi \rangle \, .\end{displaymath}$

Připomeňme dále dělení spektra $\sigma (H)$ samosdruženého operátoru $H$ . Ukazuje se, že pro samosdružené operátory je účelnější rozkládat přímo Hilbertův prostor $% latex2html id marker 962 $ \mathcal{H}$$ než množinu $\sigma (H)$ . Při té příležitosti poznamenejme, že atomy projekční míry jsou právě vlastní čísla $H$ , neboť platí

Definice

Bodové spektrum $% latex2html id marker 967 $ \sigma _{\mathrm{p}}(H) $$ je tvořeno vlastními hodnotami operátoru $H$ . Označme

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1404\mathcal{H}_{\mathrm{pp}}=\over... ...athcal{H}_{\mathrm{cont}}=(\mathcal{H}_{\mathrm{pp}})^{\perp }.\end{displaymath}$

To znamená, že se Hilbertův prostor rozkládá na ortogonální součet

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1405\mathcal{H}=\mathcal{H}_{\mathrm{pp}}\oplus \mathcal{H}_{\mathrm{cont}},\end{displaymath}$

a tento rozklad redukuje operátor $H$ (oba podprostory jsou invariantní vůči $H$ ). Spojité spektrum $% latex2html id marker 971 $ \sigma _{\mathrm{cont}}(H) $$ je spektrum zúženého operátoru $% latex2html id marker 972 $ H\vert _{\mathcal{H}_{\mathrm{cont}}} $$ .

Zúžený operátor $% latex2html id marker 973 $ H\vert _{\mathcal{H}_{\mathrm{pp}}} $$ má čistě bodové spektrum v tom smyslu, že v podprostoru $% latex2html id marker 974 $ \mathcal{H}_{\mathrm{pp}} $$ existuje ortogonální báze tvořená výhradně vlastními vektory operátoru $H$ . Na druhé straně podprostor $% latex2html id marker 976 $ \mathcal{H}_{\mathrm{cont}} $$ odpovídající spojitému spektru je charakterizován vlastností

Spektrum lze dále dělit vzhledem ke vztahu k Lebesgueově míře, kterou označíme symbolem $% latex2html id marker 977 $ \mathrm{d}\lambda $$ . Každá borelovská míra $% latex2html id marker 978 $ \mathrm{d}\mu (\lambda ) $$ na $% latex2html id marker 979 $ \mathbb{R}$$ se jednoznačně rozkládá na absolutně spojitou část vzhledem k $% latex2html id marker 980 $ \mathrm{d}\lambda $$ , píšeme $% latex2html id marker 981 $ \mathrm{d}\mu _{\mathrm{ac}}(\lambda )\ll \mathrm{d}\lambda $$ , a na část $% latex2html id marker 982 $ \mathrm{d}\mu _{\mathrm{sc}}(\lambda ) $$ singulární s $% latex2html id marker 983 $ \mathrm{d}\lambda $$ (má nosič na množině Lebesgueovy míry nula). Absolutně spojitou část můžeme vyjádřit pomocí Lebesgueovy míry jako $% latex2html id marker 984 $ \mathrm{d}\mu _{\mathrm{ac}}(\lambda )=h(\lambda )\, \mathrm{d}\lambda $$ , kde hustota $h(\lambda )$ je tzv. Radonova-Nikodymova derivace ( $% latex2html id marker 986 $ h(\lambda )=\mathrm{d}\mu _{\mathrm{ac}}(\lambda )/\mathrm{d}\lambda $$ ).

Definice

Podprostor $% latex2html id marker 987 $ \mathcal{H}_{\mathrm{cont}} $$ odpovídající spojitému spektru operátoru $H$ se dále rozkládá na ortogonální součet

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1407\mathcal{H}_{\mathrm{cont}}=\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}\oplus \mathcal{H}_{\mathrm{sc}},\end{displaymath}$

přičemž podprostory v rozkladu jsou jednoznačně charakterizovány vlastnostmi

$% latex2html id marker 989 $ \forall \varphi \in \mathcal{H}_{\mathrm{ac}} $$ , $% latex2html id marker 990 $ \mathrm{d}\left\langle \varphi ,P_{\lambda }\varphi \right\rangle \ll \mathrm{d}\lambda $$ ,
$% latex2html id marker 991 $ \forall \varphi \in \mathcal{H}_{\mathrm{sc}} $$ , $% latex2html id marker 992 $ \mathrm{d}\left\langle \varphi ,P_{\lambda }\varphi \right\rangle $$ je singulární s $% latex2html id marker 993 $ \mathrm{d}\lambda $$ .

Oba podprostory $% latex2html id marker 994 $ \mathcal{H}_{\mathrm{ac}} $$ a $% latex2html id marker 995 $ \mathcal{H}_{\mathrm{sc}} $$ redukují operátor $H$ a po řadě odpovídají absolutně spojitému a singulárnímu spojitému spektru operátoru $H$ . To znamená, že $% latex2html id marker 998 $ \sigma _{\mathrm{ac}}(H) $$ je spektrum zúženého operátoru $% latex2html id marker 999 $ H\vert _{\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}} $$ , a podobně $% latex2html id marker 1000 $ \sigma _{\mathrm{sc}}(H) $$ je spektrum zúženého operátoru $% latex2html id marker 1001 $ H\vert _{\mathcal{H}_{\mathrm{sc}}} $$ .

Konečně položme

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1408\mathcal{H}_{\mathrm{sing}}=\mathcal{H}_{\mathrm{pp}}\oplus \mathcal{H}_{\mathrm{sc}}\, .\end{displaymath}$

Singulární spektrum $% latex2html id marker 1002 $ \sigma _{\mathrm{sing}}(H) $$ je spektrum zúženého operátoru $% latex2html id marker 1003 $ H\vert _{\mathcal{H}_{\mathrm{sing}}} $$ .