Další: 5. Teorie Howlanda a Yajimy Výš: Obsah Předchozí: 3. Spektrální rozklad

4. Geometrické vlastnosti časového vývoje

V této části předpokládáme, že hamiltonián nezávisí na čase.

Věta (Ruelle, Amrein, Georgescu, Enss 1973-1982)  

Buďte samosdružený operátor v a operátor relativně kompaktní vzhledem k , to jest

$$% latex2html id marker 1409C(H+\mathrm{i})^{-1}\textrm{ je kompaktní}.$$

Potom pro všechna platí

$$% latex2html id marker 237\lim _{T\to \pm \infty }\, \frac... ...}\Vert C\, e^{-\mathrm{i}tH}\varphi \Vert \, \mathrm{d}t=0\, ,$$ (a)

$$% latex2html id marker 248\lim _{T\to \pm \infty }\, \frac... ...rt C\, e^{-\mathrm{i}tH}\varphi \Vert ^{2}\, \mathrm{d}t=0\, .$$ (b)

Poznámka  

Ze Schwarzovy nerovnosti snadno plyne, že vlastnost (a) je důsledkem (b).

RAGE věta připouští geometricko-pravděpodobnostní interpretaci v případě, kdy Hilbertovým prostorem je . Za omezený operátor zvolme ortogonální projektor na vektory, které popisují stav systému s polohou uvnitř koule se středem v počátku a poloměrem . Přesněji,

$$C=F(\vert x\vert<R)$$

je ortogonální projektor na podprostor . Hamiltonián je typicky tvaru

$$H=-\Delta +V\, .$$

Potom operátor je kompaktní pro širokou třídu potenciálů . Časový vývoj systému je reprezentován časově závislým vektorem

$$% latex2html id marker 1412\varphi _{t}=e^{-\mathrm{i}tH}\varphi$$

s počáteční podmínkou normovanou k jedné, . Veličina

$$% latex2html id marker 1413\Vert F(\vert x\vert<R)\, e^{-\... ...^{2}=\langle \varphi _{t},F(\vert x\vert<R)\varphi _{t}\rangle$$

se interpretuje jako pravděpodobnost události: poloha systému v čase leží uvnitř koule . Průměrná pravděpodobnost této události, myslí se vystředovaná přes časový interval , tedy konverguje k pro , jestliže počáteční podmínka přísluší spojité části spektra. V tomto pravděpodobnostním smyslu je časový vývoj geometricky neomezený.

Některé výsledky pro časově nezávislé systémy lze zobecnit na periodicky časově závislé systémy. Buď perioda. Evoluční operátor přes periodu se nazývá operátorem monodromie nebo také Floquetovým operátorem. Buď jednoparametrická třída omezených operátorů s vlastnostmi

$$% latex2html id marker 1414\Vert P_{R}\Vert \leq 1,\textrm... ...m{s-}\!\!\mathop\mathrm{lim}_{R\to \infty }P_{R}=\mathbb{I}\, .$$

Příkladem jsou operátory uvažované výše.

Definice  

Řekneme, že vektor patří do třídy (volně se šířící stavy), právě když

$$% latex2html id marker 1415\forall R>0,\quad \lim _{T\to \... ... ^{T}_{0}\Vert P_{R}\, U(t,0)\varphi \Vert \, \mathrm{d}t=0\, .$$

Vektor patří do třídy (vázané stavy), právě když

$$\lim _{R\to \infty }\sup _{t\gtrless 0}\Vert (1-P_{R})\, U(t,0)\varphi \Vert =0\, .$$

Podmínka na volné stavy je přímým zobecněním podmínky z RAGE věty. Podmínka na vázané stavy (vzhledem k ) má rovněž pravděpodobnostní interpretaci. Pro dostatečně velké hodnoty bude pravděpodobnost nalezení systému ve stavu odpovídajícímu projektoru malá nezávisle na čase .

Věta (Enss, Veselic 1983 [2])  

Předpokládejme, že evoluční operátor je -periodický a množina

$$% latex2html id marker 1417\{P_{R}\, U(t,0)\varphi ;\textrm{ }t\gtrless 0\}\subset \mathcal{H}$$

je prekompaktní pro každé a všechny vektory . Potom

$$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 310\mathcal{M}_{\pm }^{\mathrm{f}}(P)... ...m }^{\mathrm{bd}}(P) & = & \mathcal{H}_{\mathrm{pp}}(U(T,0))\, . \end{eqnarray*}$$

Poznámka  

Spektrální teorie pro unitární operátory je zcela analogická spektrální teorii pro samosdružené operátory s tím rozdílem, že spektrum samosdruženého operátoru je obsaženo v reálné přímce zatímco spektrum unitárního operátoru je obsaženo v jednotkové kružnici v komplexní rovině.

Intuitivní rozdělení Hilbertova prostoru na základě geometrického pohledu na volně se šířící a vázané stavy se v tomto případě ukazuje být vhodným, neboť je v přesné korespondenci se spektrálními vlastnostmi operátoru monodromie.

Další: 5. Teorie Howlanda a Yajimy Výš: Obsah Předchozí: 3. Spektrální rozklad