2. Časový vývoj

Pro systémy nezávislé na čase je základní větou popisující časový vývoj

Věta (Stone 1932)

Každá silně spojitá jednoparametrická unitární grupa $U(t)$ , $% latex2html id marker 917 $ t\in \mathbb{R}$$ , v Hilbertově prostoru $% latex2html id marker 918 $ \mathcal{H}$$ je tvaru $% latex2html id marker 919 $ U(t)=e^{-\mathrm{i}tH} $$ , kde $H=H^{\ast }$ je samosdružený (obecně neomezený) operátor. Naopak, je-li $H=H^{\ast }$ , potom $% latex2html id marker 922 $ U(t)=e^{-\mathrm{i}tH} $$ je silně spojitá jednoparametrická unitární grupa.

Navíc definiční obor $% latex2html id marker 923 $ \mathop\mathrm{Dom}\nolimits (H) $$ je invariantní vzhledem k operátorům $U(t)$ , $% latex2html id marker 925 $ t\in \mathbb{R}$$ , a platí

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1391\forall \varphi \in \mathop\mat... ...\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\, U(t)\varphi =H\, U(t)\varphi .\end{displaymath}$

Pro časově závislé systémy hamiltonián závisí na $% latex2html id marker 926 $ t\in \mathbb{R}$$ , ale stále jde o samosdružený operátor, $H(t)=H(t)^{\ast }$ . Časový vývoj je popsán evolučním operátorem (propagátorem) $U(t,s)$ , který nyní závisí na dvou parametrech ( $s=$ počáteční čas, $t=$ koncový čas). Dostáváme tak zobrazení $% latex2html id marker 931 $ U:\mathbb{R}^{2}\to \mathcal{U}(\mathcal{H}) $$ , od kterého se požaduje, aby bylo silně spojité. Zde symbol $% latex2html id marker 932 $ \mathcal{U}(\mathcal{H}) $$ značí grupu unitárních operátorů na Hilbertově prostoru. Evoluční operátor splňuje následující podmínky:

Periodický časový vývoj je určen hamiltoniánem periodicky závisejícím na $t$ s periodou $T>0$ , tj.

Ve speciálním případě, kdy operátory $H(t)$ jsou omezené, lze poměrně snadno dokázat existenci časového vývoje.

Věta (Dysonův rozvoj 1949)

Předpokládáme, že $% latex2html id marker 938 $ H(t)\in \mathcal{B}(\mathcal{H}) $$ pro všechna $% latex2html id marker 939 $ t\in \mathbb{R}$$ a že zobrazení $% latex2html id marker 940 $ \mathbb{R}\to \mathcal{B}(\mathcal{H}):t\mapsto H(t) $$ je silně spojité. Potom

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1395U(t,s)=\mathbb{I}+\sum ^{\infty... ...t_{n})\, \mathrm{d}t_{n}\mathrm{d}t_{n-1}\ldots \mathrm{d}t_{1}\end{displaymath}$

je operátorem časového vývoje a pro všechna $% latex2html id marker 941 $ \varphi \in \mathcal{H}$$ platí

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1396\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial t}\, U(t,s)\varphi =H(t)\, U(t,s)\varphi .\end{displaymath}$

Pro neomezené operátory je třeba naložit další podmínky zaručující existenci časového vývoje. Standardní ale ne nejslabší možné postačující podmínky jsou zformulovány v následující větě.

Věta (Kato 1953)

Předpokládejme, že

$% latex2html id marker 942 $ \forall t,\textrm{ }\mathcal{D}=\mathop\mathrm{Dom}\nolimits (H(t)) $$ (definiční obor je časově nezávislý),
zobrazení

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1397t,s\mapsto \frac{1}{t-s}\left( ... ...}-\mathbb{I}\right) :\mathbb{R}^{2}\to \mathcal{B}(\mathcal{H})\end{displaymath}$

lze dodefinovat (pro $t=s$ ) jako silně spojitou funkci.

Potom existuje právě jeden evoluční operátor $U(t,s)$ takový, že

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 1398\forall \varphi \in \mathcal{D}... ...{\partial }{\partial t}\, U(t,s)\varphi =H(t)\, U(t,s)\varphi .\end{displaymath}$