Další: 7. Vlastní výsledky Výš: 6. Metody vyšetřování Předchozí: A) Adiabatické metody

B) Iterační metody typu KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser)

Kvantová metoda KAM hledá inspiraci ve slavném výsledku z klasické mechaniky. Původně byla navržena Bellissardem [9] a dále byla rozvinuta v některých dalších článcích [10,11,12]. Tato metoda je iterativní a jejím cílem je diagonalizovat v limitě Floquetův hamiltonián .

Nastíníme, o jaký typ výsledku se jedná. Floquetův hamiltonián je tvaru

$$% latex2html id marker 372K_{\beta ,\omega }=-\mathrm{i}\partial _{t}+H_{0}+\beta \, V(\omega t)\, ,$$ (c)

kde je vazebná konstanta,

$$\omega =\frac{2\pi }{T}\in [\, a,b\, ]$$

je frekvence uvažovaná jako další parametr s hodnotami ležícími v jistém omezeném intervalu, je -periodická operátorová funkce. Předpoklady jsou zhruba následující. Spektrum operátoru je diskrétní a splňuje růstovou podmínku (gap condition) a operátorová funkce je regulární vzhledem ke vhodně zvolené normě.

Za těchto předpokladů lze ukázat, že pro dostatečně malé hodnoty vazebné konstanty existuje podmnožina nerezonančních frekvencí , jejíž Lebesgueovu míru lze odhadnout ze zdola (je kladná), a taková, že pro každé má čistě bodové spektrum.

Poznámka  

Hlavním technickým problémem při důkazu výsledků založených na metodě typu KAM je tzv. problém malých dělitelů, který vyvstává během iteračního procesu. K eliminaci malých dělitelů se používají odhady podobné diofantovským odhadům v teorii čísel. A právě tyto odhady vymezí výše zmíněnou podmnožinu nerezonančních frekvencí.

Další: 7. Vlastní výsledky Výš: 6. Metody vyšetřování Předchozí: A) Adiabatické metody