Funkce komplexní proměnné

Pokud u nějaké věty není napsaný důkaz, tak se podle mé vědomosti na přednášce nedělal.

Moje značení	Šťovíčkovo značení	Význam
$ℜ z, ℑ z$	$Re z, Im z$	reálná a imaginární část komplexního čísla $z$
$\partial_{z}$	$\frac{\partial}{\partial z}$	parciální derivace podle $z$

Souvislost a křivky

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je nesouvislý, pokud

\exists A \in τ ∖ {\emptyset, X} : X ∖ A \in τ

. Ve vopáčném případě je souvislý. Množina

M \subset X

je souvislá, jestliže relativní topologický prostor

(M, τ_{M})

je souvislý.

Poznámka.

(X, τ)

je nesouvislý, právě když

\exists A \in c τ ∖ {\emptyset, X} : X ∖ A \in c τ

Poznámka.

(X, τ)

je souvislý, právě když

τ \cap c τ = {\emptyset, X}

Poznámka. Množina

M \subset X

je nesouvislá, právě když

\exists A, B \in τ : A \cap M \neq \emptyset \land B \cap M \neq \emptyset \land A \cap B \cap M = \emptyset \land M \subset A \cup B

Poznámka. Prázdná a jednoprvkové množiny jsou souvislé.

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M_{α} \subset X, α \in 𝒜

jsou souvislé množiny s neprázdným průnikem. Potom jejich sjednocení je souvislé.

Důkaz. Označme

M ≔ ⋃_{α \in 𝒜} M_{α}

. Nechť

A, B \in τ, M \subset A \cup B, A \cap B \cap M = \emptyset

. Dokážeme, že

A \cap M = \emptyset \lor B \cap M = \emptyset

. Nechť

p \in ⋂_{α \in 𝒜} M_{α}

neboli

\forall α \in 𝒜 : p \in M_{a}

. Potom

p \in A \cup B

. Bez újmy na obecnosti

p \in A

, tudíž

p \notin B

. Pro dané

α

z toho, že je

M_{α}

souvislá, vyvodíme

A \cap M_{α} = \emptyset \lor B \cap M_{α} = \emptyset

. Jelikož

p \in A \cap M_{α}

, musí nastat druhá možnost. Jelikož to platí pro každé

α

, máme

⋃_{α \in 𝒜} (B \cap M_{α}) = \emptyset

, což mělo být dokázáno.

Důsledek. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M \subset X, M \neq \emptyset

je souvislá. Potom

M

je obsažena právě v jedné maximální souvislé množině. Speciálně každý bod je obsažen právě v jedné maximální souvislé množině.

Důkaz. Vezměme všechny souvislé nadmnožiny

M

. Jelikož mají neprázdný průnik, jejich sjednocení je také souvislé.

Poznámka. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Pro

x, y \in X

definujme relaci

x \sim y ⟺ \exists M \subset X s o u v i s l \overset{ˊ}{a} : x, y \in M

. Potom

\sim

je ekvivalence a její třídy jsou maximální souvislé množiny.

Definice. Maximální souvislé množiny z předchozího tvrzení jsou komponenty souvislosti.

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor,

M \subset X

je souvislá a

x \in M

. Potom

M_{1} ≔ M \cup {x}

je souvislá.

Důkaz. Nechť

A, B \in τ, A \cap B \cap M_{1} = \emptyset, M_{1} \subset A \cup B

. Ukážeme

A \cap M_{1} = \emptyset \lor B \cap M_{1} = \emptyset

. Nechť

x \in M_{1} \subset A \cup B

, bez újmy na obecnosti

x \in A

. Jelikož

A

je otevřené okolí

X

, máme

A \cap M \neq \emptyset

a ze souvislosti

M

plyne

A \cap M = \emptyset \lor B \cap M = \emptyset

, přičemž musí nastat druhá možnost. Tudíž i

B \cap M_{1} = \emptyset

Důsledek. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M \subset X

je souvislá. Potom

M

je souvislá.

Důkaz. Je-li

M = \emptyset

, potom triviální, jinak

M = ⋃_{x \in M} (M \cup {x})

Důsledek. Souvislé komponenty jsou uzavřené.

Věta. Nechť

(X, τ), (Y, τ)

jsou topologické prostory,

f : X \to Y

je spojitá a

M \subset X

je souvislá. Potom

f (M)

je souvislá.

Důkaz. Nepřímý důkaz. Nechť

f (M)

není souvislá. Potom existují

A, B \in τ_{Y}

takové, že

f (M) \subset A \cup B, f (M) \cap A \cap B = \emptyset, f (M) \cap A \neq \emptyset, f (M) \cap B \neq \emptyset

. Jelikož

f

je spojitá,

f^{- 1} (A), f^{- 1} (B) \in τ_{X}

. Snadno ověříme, že

M \subset f^{- 1} (A) \cup f^{- 1} (B), M \cap f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B) = \emptyset, M \cap f^{- 1} (A) \neq \emptyset, M \cap f^{- 1} (B) \neq \emptyset

, tudíž

M

není souvislá.

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Křivka v

X

je spojité zobrazení

γ : I \to X

, kde

I

je kompaktní interval kladné délky. Značíme

γ \in 𝒞 (I, X)

. Její obor hodnot

γ (I) ≕ ⟨ Γ ⟩

je její geometrický obraz. Je-li

γ

prosté zobrazení, křivka je jednoduchá neboli Jordanův oblouk.

Poznámka. Křivka je spojitý obraz souvislé (dokážeme později) a kompaktní množiny, tudíž je také souvislá a kompaktní.

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je křivkově souvislý, pokud každé dva body lze spojit křivkou, tedy

\forall x, y \in X, \exists γ \in 𝒞 ([α, β], X) : γ (α) = x \land γ (β) = y

Poznámka. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Pro

x, y \in X

zaveďme relaci

x \sim y ⟺ x, y l z e s p o j i t k \overset{ˇ}{r} i v k o u

. Tato relace je ekvivalence a její třídy jsou křivkově souvislé podmnožiny, které nazveme křivkově souvislé komponenty.

Věta. Je-li topologický prostor

(X, τ)

křivkově souvislý, potom je souvislý.

Důkaz. Nechť

x \in X

. Pro každé

y \in X

najdeme křivku

γ_{y}

mezi

x, y

. Potom

⋃_{y \in X} ⟨ γ_{y} ⟩ = X

⋂_{y \in X} ⟨ γ_{y} ⟩ ∋ x

, tedy

X

je souvislý.

Věta. Je-li

(V, τ)

topologický vektorový prostor nad

ℝ

M \subset X

je konvexní, potom je křivkově souvislá.

Důkaz. Nechť

x, y \in M

. Definujme funkci

γ : [0,1] \to M, γ (t) ≔ (1 - t) x + t y

. Tato funkce je spojitá, protože jde o topologický vektorový prostor, tudíž je to křivka spojující

x, y

Věta. Nechť

M \subset ℝ^{n}

je omezená. Potom

ℝ^{n} ∖ M

má právě jednu neomezenou souvislou komponentu.

Důkaz. Nechť

B

je koule obsahující

M

. Potom

ℝ^{2} ∖ B \subset ℝ^{2} ∖ M

je souvislá, protože je křivkově souvislá (což snadno ověříme). Jelikož

ℝ^{2} ∖ B

je neomezená, její souvislá komponenta v

ℝ^{2} ∖ M

je také neomezená. A jakákoli jiná souvislá komponenta musí být podmnožina

B

, tudíž je omezená.

Věta. Množina

M \subset ℝ

je souvislá právě tehdy, pokud je to prázdná množina nebo interval.

Důkaz.

(\Rightarrow)

Vezměme množinu

M

, která není interval, tedy

\exists x \in ℝ ∖ M, y, z \in M : y < x < z

. Označme

A ≔ (- \infty, x), B ≔ (x, \infty)

. Pomocí nich snadno ověříme podmínku pro nesouvislost.

(\Leftarrow)

Dokažme, že každý interval je souvislý.

Omezený otevřený interval $(α, β)$ je spojitý obraz $ℝ$ , například pomocí přeškálované funkce $arctan$ .
Poloomezený otevřený interval $(α, \infty)$ nebo $(- \infty, β)$ je spojitý obraz $ℝ$ , například pomocí přeškálované funkce $exp$ .
Ostatní intervaly se dají vyjádřit jako nadmnožina otevřeného intervalu a zároveň podmnožina jeho uzávěru.

Stačí tedy dokázat, že

ℝ

je souvislá. Nechť

A \in τ \cap c τ

. Dokážeme, že

A = \emptyset \lor A = X

. Nechť bez újmy na obecnosti

0 \in A

(jinak budeme uvažovat

X ∖ A

). Jelikož

A

je otevřená, najdeme takové

ε \in ℝ^{+}

, že

(- ε, ε) \subset A

. Nechť

M ≔ {x \in ℝ^{+} | [0, x) \subset A}

u ≔ \sup M

. Kdyby bylo

u \in A

, potom taky nějaké

(u + ε^{'}, u - ε^{'}) \subset A

, ale potom i

[0, u + ε) \subset M

, což je spor se suprémností

u

. Tedy

u \notin A

. Zároveň kdyby bylo

u \in ℝ ∖ A

, potom nějaké

(u - ε^{''}, u + ε^{''}) \subset X ∖ A

, což je taky blbost. Z toho plyne

u = \infty

, tudíž

R^{+} \subset A

. Analogicky

R^{-} \subset A

, tudíž

A = ℝ

Příklad (topologická sinusoida). Definujme množiny

M_{1} ≔ {(x, \sin \frac{1}{x}) | x \in (0,1]}, M ≔ M_{1} \cup {(0,0)}

. Potom

M

je souvislá, ale není křivkově souvislá.

Důkaz (že je souvislá).

M_{1}

je zjevně křivkově souvislá, tedy i souvislá. Jelikož

(0,0) \in M_{1}

(protože k němu konverguje posloupnost

{((n π, 0))}_{n = 1}^{\infty} \subset M_{1}

M

je taky souvislá.

Důkaz (že není křivkově souvislá). Nechť existuje křivka

γ

mezi

a ≔ (0,0), b ≔ (1, \sin 1)

. Vezměme projekci

p_{1} : ℝ^{2} \to ℝ, p_{1} (x, y) ≔ x

. Potom

p_{1} \circ γ

je spojitá, tudíž

p_{1} (⟨ γ ⟩)

je souvislá množina a tedy interval. Jelikož

0,1 \in p_{1} (⟨ γ ⟩)

, musí jít o celý interval

[0,1]

, z čehož plyne

⟨ γ ⟩ = M

. Množina

M

ale není uzavřená, protože například bod

(0,1)

patří do jejího uzávěru, tudíž nemůže být stopou křivky.

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

𝒱

je nějaká vlastnost. Říkáme, že

X

má vlastnost

𝒱

lokálně, pokud pro každý bod a jeho okolí existuje otevřené podokolí s vlastností

𝒱

Věta. Nechť topologický prostor

(X, τ)

má vlastnost

𝒱

lokálně a

G \in τ

. Potom

G

má vlastnost

𝒱

lokálně.

Důkaz. Triviální.

Věta. Je-li topologický prostor

(X, τ)

souvislý a lokálně křivkově souvislý, potom je souvislý.

Důkaz. Vezměme relaci

x \sim y ⟺ x, y l z e s p o j i t k \overset{ˇ}{r} i v k o u

. Již víme, že to je ekvivalence. Nechť

x \in X

. Dokážeme, že třída ekvivalence

[x]

je obojetná množina.

Nechť $y \sim x$ . Podle předpokladu existuje $U$ křivkově souvislé okolí $y$ . Vezmeme-li $z \in U$ , potom $z \sim y$ , tedy i $z \sim x$ . Jelikož jsme $z \in U$ volili libovolně, máme $U \subset [x]$ . A protože jsme ke každému $y \in [x]$ našli okolí náležící do $[x]$ , $[x]$ je otevřená množina.
Nechť $y ≁ x$ . Podle předpokladu existuje $U$ křivkově souvislé okolí $y$ . Vezmeme-li $z \in U$ , potom $z \sim y$ , tedy $z ≁ x$ . Jelikož jsme $z \in U$ volili libovolně, máme $U \subset X ∖ [x]$ . A protože jsme ke každému $y \in X ∖ [x]$ našli okolí náležící do $X ∖ [x]$ , $[x]$ je uzavřená množina.

[x]

je obojetná a neprázdná (protože

x \in [x]

) množina, tedy musí být

[x] = X

, neboli každý bod lze spojit s

x

. Jelikož jsme

x

volili libovolně, prostor

X

je křivkově souvislý.

Věta. Normovaný vektorový prostor je lokálně křivkově souvislý.

Důsledek. Otevřená množina v

ℝ^{n}

je křivkově souvislá, právě když je souvislá.

Definice. Křivka

γ : [α, β] \to X

je uzavřená, pokud

γ (α) = γ (β)

Definice. Křivka

γ : [α, β] \to X

je Jordanova nebo jednoduchá uzavřená, pokud je uzavřená a prostá na

[a, b)

Poznámka. Ztotožníme-li body

α, β

, dostaneme kružnici

S_{1}

. Jordanovu křivku potom můžeme brát jako prosté spojité zobrazení

γ : 𝒞 (S_{1}, X)

Věta (Jordan 1887). Nechť

γ

je Jordanova křivka v

ℝ^{2}

. Potom

ℝ^{2} ∖ ⟨ γ ⟩

má právě dvě souvislé komponenty, jednu omezenou a jednu neomezenou, a

⟨ γ ⟩

je jejich společná hranice.

Definice. Nechť

γ

je Jordanova křivka v

ℝ^{2}

. Potom omezená komponenta

ℝ^{2} ∖ ⟨ γ ⟩

je její vnitřek

int γ

a neomezená komponenta

ℝ^{2} ∖ ⟨ γ ⟩

je její vnějšek

ext γ

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Uzavřená křivka

γ \in 𝒞 ([α, β], X)

je homotopická nule, pokud existuje spojité zobrazení

H \in 𝒞 ([α, β] \times [0,1], X)

takové, že

$\forall s \in [0,1] : H (α, s) = H (β, s)$
$\forall t \in [α, β] : H (t, 0) = γ (t)$
$\exists c \in X, \forall t \in [α, β] : H (t, 1) = c$

Zobrazení

H

je její homotopie. Intuitivně tento pojem vyjadřuje, že křivku je možné spojitě „smrsknout“ do jednoho bodu.

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je jednoduše souvislý, pokud je křivkově souvislý a každá uzavřená křivka je homotopická nule.

Příklad. Prostor

ℝ^{2} ∖ {(0,0)}

není jednoduše souvislý.

Věta. Nechť

V

je topologický vektorový prostor a

M \subset V

je konvexní. Potom

M

je jednoduše souvislá.

Důkaz. Ukážeme nejprve, že identické zobrazení jde spojitě deformovat do konstantního zobrazení. Vezměme

F_{0}, F_{1} : M \to M, F_{0} (x) ≔ x, F_{1} (x) ≔ c, c \in M

Potom díky konvexnosti můžeme definovat

F : M \times [0,1] \to M, F (x, s) ≔ (1 - s) x + s c

Vezměme nyní uzavřenou křivku

γ \in 𝒞 ([α, β], M)

. Definujme

H : [α, β] \times [0,1] \to M, H (t, s) ≔ F (γ (t), s) = (1 - s) γ (t) + s c

Snadno ověříme, že tato funkce je homotopie.

Poznámka. Nechť

S^{2} ≔ {x \in ℝ^{3} | {‖ x ‖}_{2} = 1}

je jednotková sféra. Stereografická projekce z

S^{2} \subset ℝ^{3}

ℝ^{2}

funguje tak, že sféru postavíme na počátek a její horní pól spojíme polopřímkou s každým jiným bodem. Bod promítneme tam, kde se polopřímka protne s rovinou. Akorát samotný horní pól se nikam nepromítne. Formálně:

π : S^{2} ∖ {(0,0,1)} \to ℝ^{2}

π (x, y, z) ≔ (\frac{x}{1 - z}, \frac{y}{1 - z})

π^{- 1} (x, y) = (\frac{2 x}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{2 y}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{x^{2} + y^{2} - 1}{x^{2} + y^{2} + 1})

Provedeme-li u

ℝ^{2}

jednobodovou kompaktifikaci (viz FANA1), můžeme horní pól koule identifikovat s nekonečnem.

Věta (Jordan pro sféru). Nechť

γ

je Jordanova křivka v

S^{2}

. Potom

S^{2} ∖ ⟨ γ ⟩

má právě dvě souvislé komponenty a

⟨ γ ⟩

je jejich společná hranice.

Věta (Jordan – pokračování). Nechť

γ

je Jordanova křivka v

ℝ^{2}

. Potom

int γ

je jednoduše souvislý.

Definice. Nechť

p \in ℝ^{2}

γ \in 𝒞 (⟨ α, β ⟩, ℝ^{2})

je uzavřená křivka neprocházející bodem

p

. Index bodu

p

vzhledem ke křivce

γ

vyjadřuje, kolikrát křivka

γ

„oběhne“ kolem bodu

p

, přičemž oběhnutí v záporném směru počítáme záporně. Značíme

{ind}_{γ} (p)

. Formálně definujeme

Γ_{p} : [α, β] \to S_{1}, Γ_{p} (t) ≔ \frac{γ (t) - p}{{‖ γ (t) - p ‖}_{2}}

. Vezmeme-li projekci

\tilde{π} : ℝ \to S_{1}, \tilde{π} (x) ≔ (\cos x, \sin x)

, najdeme funkci

{\tilde{Γ}}_{p} : [α, β] \to ℝ

takovou, že

Γ_{p} = \tilde{π} \circ {\tilde{Γ}}_{p}

. Tato funkce je definovaná jednoznačně až na konstantu. Zřejmě je

{\tilde{Γ}}_{p} (β) - {\tilde{Γ}}_{p} (α) = 2 π k, k \in ℤ

. Index definujeme jako toto

k

Věta. Nechť

γ

je uzavřená křivka v

ℝ^{2}

. Potom funkce

(p : ℝ^{2} ∖ ⟨ γ ⟩) \mapsto {ind}_{γ} (p)

je spojitá, tudíž na každé souvislé komponentě je index konstantní.

Věta. Nechť

γ

je uzavřená křivka v

ℝ^{2}

p

je z neomezené souvislé komponenty

ℝ^{2} ∖ ⟨ γ ⟩

. Potom

{ind}_{γ} (p) = 0

Věta. Nechť

γ

je Jordanova křivka v

ℝ^{2}

. Potom

{ind}_{γ} (ext γ) = 0

\exists s \in {\pm 1} : {ind}_{γ} (int γ) = s

Definice. Je-li v předchozí větě

s = 1

, potom

γ

je kladně orientovaná křivka, jinak je to záporně orientovaná křivka.

Variace

Definice. Nechť

α, β \in ℝ, α < β

. Dělení intervalu

[α, β]

je konečná posloupnost

σ = {(t_{k})}_{k = 0}^{n}

, kde

α = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = β

. Množinu všech dělení intervalu

[α, β]

budeme značit

𝒟 (α, β)

. Hrubost dělení je

d (σ) ≔ \max_{k \in \hat{n}} | t_{k} - t_{k - 1} |

Definice. Nechť

φ : [α, β] \to ℂ

. Variace

φ

V_{α}^{β} (φ) ≔ \sup {\sum_{k = 1}^{n} | φ (t_{k}) - φ (t_{k - 1}) | | {(t_{k})}_{k = 0}^{n} \in 𝒟 (α, β)}

Je-li

γ \in 𝒞 ([α, β], ℂ)

křivka, potom

V_{α}^{β} (γ)

je její délka.

Věta (substituce). Nechť

φ : [α_{1}, β_{1}] \to ℂ, ω : [α_{2}, β_{2}] \to [α_{1}, β_{1}]

, přičemž

ω

je monotónní. Potom

V_{α_{1}}^{β_{1}} (φ) = V_{α_{2}}^{β_{2}} (φ \circ ω)

Důkaz. Triviální. Kdyby někomu nepřišel triviální, je ve Štampachových skriptech.

Věta (aditivita). Nechť

φ : [α, β] \to ℂ, τ \in (α, β)

. Potom

V_{α}^{β} (φ) = V_{α}^{τ} (φ) + V_{τ}^{β} (φ)

Důkaz. Triviální. Kdyby někomu nepřišel triviální, je ve Štampachových skriptech.

Definice. Křivka

γ \in 𝒞 ([α, β], ℂ)

je regulární, pokud je po částech

𝒞^{1}

, tedy existuje dělení

{(t_{k})}_{k = 0}^{n} \in 𝒟 (α, β)

takové, že

\forall k \in \hat{n} : γ \in 𝒞^{1} ([t_{k - 1}, t_{k}], ℂ)

Věta. Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka. Potom

V_{α}^{β} (γ) = \int_{α}^{β} | γ^{'} (t) | d t < \infty

Důkaz. Díky aditivitě můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že křivka je všude

𝒞^{1}

. Vezměme nějaké dělení

{(t_{k})}_{k = 0}^{n} \in 𝒟 (α, β)

, potom

\sum_{k = 1}^{n} | γ (t_{k}) - γ_{(t_{k - 1})} | = \sum_{k = 1}^{n} | \int_{t_{k - 1}}^{t_{k}} γ^{'} (t) d t | \leq \sum_{k = 1}^{n} \int_{t_{k - 1}}^{t_{k}} | γ^{'} (t) | d t = \int_{α}^{β} | γ^{'} (t) | d t

Vysuprémením dostaneme ve větě nerovnost

\leq

. Zbývá vopáčná nerovnost. Vezměme

ε \in ℝ^{+}

. Jelikož

γ^{'}

je stejnoměrně spojitá na

[α, β]

(protože je to kompaktní množina), existuje

δ \in ℝ^{+}

taková, že

(\forall t^{'}, t^{''} \in [α, β]) (| t^{'} - t^{''} | < δ ⟹ | γ^{'} (t^{'}) - γ^{'} (t^{''}) | < ε)

Vezměme dělení hrubosti menší než

δ

. Podle věty o střední hodnotě pro každé

k \in \hat{n}

najdeme

τ_{k} \in [t_{k - 1}, t_{k}]

takové, že

\int_{t_{k - 1}}^{t_{k}} | γ^{'} (t) | d t = | γ^{'} (τ_{k}) | (t_{k} - t_{k - 1})

Potom máme

\begin{aligned} V_{α}^{β} (γ) & \geq \sum_{k = 1}^{n} | γ (t_{k}) - γ (t_{k - 1}) | \\ = \sum_{k = 1}^{n} | \int_{t_{k - 1}}^{t_{k}} γ^{'} (t) d t | \\ = \sum_{k = 1}^{n} | γ^{'} (τ_{k}) (t_{k} - t_{k - 1}) + \int_{t_{k - 1}}^{t_{k}} (γ^{'} (t) - γ^{'} (τ_{k})) d t | \\ \geq \sum_{k = 1}^{n} | γ^{'} (τ_{k}) | (t_{k} - t_{k - 1}) - \sum_{k = 1}^{n} \int_{t_{k - 1}}^{t_{k}} | γ^{'} (t) - γ^{'} (t_{k}) | d t \\ \geq \sum_{k = 1}^{n} \int_{t_{k - 1}}^{t_{k}} | γ^{'} (t) | d t - \sum_{k = 1}^{n} \int_{t_{k - 1}}^{t_{k}} ε d t \\ = \int_{α}^{β} | γ^{'} (t) | d t - ε (β - α) \end{aligned}

Jelikož jsme

ε

volili libovolně, můžeme ho poslat limitně pod kytičky.

Riemannův-Stieltjesův integrál

Definice. Nechť

σ = {(τ_{k})}_{k = 0}^{n} \in 𝒟 (α, β)

\forall k \in \hat{n} : τ_{k} \in [t_{k - 1}, t_{k}]

. Dělení s vyznačenými body je dvojice posloupností

σ^{*} ≔ ({(t_{k})}_{k = 0}^{n}, {(τ_{k})}_{k = 1}^{n})

. Definujeme

d (σ^{*}) ≔ d (σ)

a značíme

D^{*} (α, β)

množinu všech dělení

[α, β]

s vyznačenými body.

Definice. Nechť

f, g \in [α, β] \to ℂ

σ^{*} \in D^{*} (α, β)

. Potom Riemannův-Stieltjesův integrální součet je

S (σ^{*}, f, g) ≔ \sum_{k = 1}^{n} f (τ_{k}) (g (t_{k}) - g (t_{k - 1}))

Definice. Nechť

f, g \in [α, β] \to ℂ

. Číslo

ℐ \in ℂ

je Riemannův-Stieltjesův integrál

f

podle

g

, pokud

\forall ε \in ℝ^{+}, \exists δ \in ℝ^{+}, \forall σ^{*} \in 𝒟^{*} (α, β), d (σ^{*}) < δ : | S (σ^{*}, f, g) - ℐ | < ε

Značíme

ℐ = \int_{α}^{β} f d g = \int_{α}^{β} f (t) d g (t)

f

je integrovaná funkce a

g

je integrující funkce. Speciálně pokud

g = id

, potom jde o Riemannův integrál.

Věta. Nechť

f, g \in [α, β] \to ℂ

. Integrál

\int_{α}^{β} f d g

existuje, právě když pro každou posloupnost vyznačených dělení

{(σ_{N}^{*})}_{N = 1}^{\infty} \subset D^{*} (α, β)

platí

\lim_{N \to \infty} d (σ_{N}^{*}) = 0 ⟹ \lim_{N \to \infty} S (σ_{N}^{*}, f, g) \in ℂ

Pokud existuje, potom limita napravo nezávisí na volbě

(σ_{N}^{*})

a je rovna

\int_{α}^{β} f d g

Věta (linearita). Nechť

f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2} : [α, β] \to ℂ

a existují

\int_{α}^{β} f d g

pro

i \in \hat{2}

. Potom pro každá

a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in ℂ

existuje

\int_{α}^{β} (a_{1} f_{1} + a_{2} f_{2}) d (b_{1} g_{1} + b_{2} g_{2}) = \sum_{j, k = 1}^{2} a_{j} b_{k} \int_{α}^{β} f_{j} d g_{k}

Věta. Nechť

f, g \in [α, β] \to ℂ, f \in 𝒞 ([α, β]), V_{α}^{β} (g) < \infty

. Potom existuje

\int_{α}^{β} f d g

a platí

| \int_{α}^{β} f d g | \leq {‖ f ‖}_{C} V_{α}^{β} (g)

Důkaz (nerovnosti, nikoliv existence). Nechť

σ^{*} = ({(t_{k})}_{k = 0}^{n}, {(τ_{k})}_{k = 1}^{n}) \in 𝒟^{*} (α, β)

. Potom

| S (σ^{*}, f, g) | = | \sum_{k = 1}^{n} f (τ_{k}) (g (t_{k}) - g (t_{k - 1})) | \leq {‖ f ‖}_{C} \sum_{k = 1}^{n} | g (t_{k}) - g (t_{k - 1}) | \leq {‖ f ‖}_{C} V_{α}^{β} (g)

Potom stačí dělení limitně zjemnit.

Věta (aditivita v mezích). Nechť

f, g \in [α, β] \to ℂ, τ \in (α, β), f \in C, c ([α, β]), V_{α}^{β} (g) < \infty

. Potom

\int_{α}^{β} f d g = \int_{α}^{τ} f d g + \int_{τ}^{β} f d g

Věta (substituce). Nechť

f, g \in [α_{1}, β_{1}] \to ℂ

ω \in [α_{2}, β_{2}] \to [α_{1}, β_{1}]

je spojitá monotónní funkce a existuje

\int_{α_{1}}^{β_{1}} f d g

. Potom existuje

\int_{α_{2}}^{β_{2}} f \circ ω d (g \circ ω) = \pm \int_{α_{1}}^{β_{1}} f d g

kde znaménko závisí na tom, jestli je

ω

rostoucí, nebo klesající.

Věta (bubun sekibun). Nechť

f, g : [α, β] \to ℂ

a existuje

\int_{α}^{β} f d g

. Potom existuje

\int_{α}^{β} g d f

a platí

\int_{α}^{β} f d g + \int_{α}^{β} g d f = f (β) γ (β) - f (α) g (α)

Věta. Nechť

f \in 𝒞 ([α, β], ℂ)

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka. Potom

\int_{α}^{β} f d γ = \int_{α}^{β} f (t) γ^{'} (t) d t

Důkaz. Díky aditivitě můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat

γ \in 𝒞^{1} ([α, β])

. Jelikož

γ = ℜ γ + i ℑ γ

, díky linearitě můžeme také bez újmy na obecnosti předpokládat, že

γ

je reálná funkce. Nechť

σ = {(t_{k})}_{k = 0}^{n} \in 𝒟 (α, β)

. Z věty o střední hodnotě zvolíme

τ_{k} \in [t_{k - 1}, t_{k}]

taková, aby

\int_{t_{k - 1}}^{t_{k}} γ^{'} (t) d t = γ^{'} (τ_{k}) (t_{k} - t_{k - 1})

. Tím dostaneme nějaké vyznačené dělení

σ^{*}

. Potom

S (σ^{*}, f, g) = \sum_{k = 1}^{n} f (τ_{k}) (γ (τ_{k}) - γ (t_{k - 1})) = \sum_{k = 1}^{n} f (τ_{k}) \int_{t_{k - 1}}^{τ_{k}} γ^{'} (t) d t = \sum_{k = 1}^{n} f (τ_{k}) γ^{'} (τ_{k}) (t_{k} - t_{k - 1})

Limitním zjemněním dělení dosáhneme žádané rovnosti.

Holomorfní funkce

Písmenem $Ω$ budeme značit neprázdnou otevřenou podmnožinu $ℂ$ .

Definice. Je-li

Ω

souvislá, potom je to oblast.

Definice. Nechť

a \in ℂ, r \in ℝ^{+}

. Kruh se středem

a

o poloměru

r

D (a, r) ≔ {z \in ℂ | | z - a | < r}

Definice. Nechť

f : Ω \to ℂ, z_{0} \in Ω

. Číslo

f^{'} (z_{0}) \in ℂ

je derivace

f

podle komplexní proměnné, pokud existuje

f^{'} (z_{0}) ≔ \lim_{z \to z_{0}} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}}

Ekvivalentně na okolí

z_{0}

f (z) = f (z_{0}) + f^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) + R (z)

, kde

\lim_{z \to z_{0}} \frac{| R (z) |}{| z - z_{0} |} = 0

Poznámka (srovnání s derivací v $ℝ^{2}$ ). K funkci

f : Ω \to ℂ

přiřaďme funkci

\tilde{f} : \tilde{Ω} \subset ℝ^{2} \to ℝ^{2}

, kde

\tilde{f} (x, y) ≔ (ℜ f (x + i y), ℑ f (x + i y))

Funkce

\tilde{f}

má v bodě

(x_{0}, y_{0})

derivaci

L ≔ d \tilde{f} (x_{0}, y_{0})

, pokud

f (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + L (x - x_{0}, y - y_{0}) + \tilde{R} (x, y)

, kde

\lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} \frac{{‖ \tilde{R} (x, y) ‖}_{2}}{{‖ (x - x_{0}, y - y_{0}) ‖}_{2}} = 0

Pokud existuje

f^{'} (x_{0} + i y_{0}) = (α + i β)

, potom existuje i

d \tilde{f} (x_{0}, y_{0}) = (\begin{array}{cc} α & - β \\ β & α \end{array})

. A to samé platí i obráceně. Pokud ale

d \tilde{f}

existuje, ale nemá tento speciální tvar, potom

f^{'} (x_{0} + i y_{0})

už existovat nebude. Formálně to ukážeme v následující větě.

Věta (Cauchy-Riemannovy rovnice). Nechť

f : Ω \to ℂ

z_{0} \in ℂ, z_{0} ≕ x_{0} + i y_{0}

. Definujme

\tilde{f} (x, y) ≔ (ℜ f (x + i y), ℑ f (x + i y))

Potom existuje

f^{'} (z_{0})

právě tehdy, pokud existuje

d \tilde{f} (x_{0}, y_{0})

a platí

\partial_{1} f_{1} (x_{0}, y_{0}) = \partial_{2} f_{2} (x_{0}, y_{0}) \land \partial_{2} f_{1} (x_{0}, y_{0}) = - \partial_{1} f_{2} (x_{0}, y_{0})

V takovém případě

f^{'} (z_{0}) = \partial_{x} f_{1} (x_{0}, y_{0}) + i \partial_{x} f_{2} (x_{0}, y_{0})

Důkaz. TBD

Věta (derivace složené funkce, pro reálné funkce více proměnných). Nechť

F : ℝ^{m} \to ℝ^{n}, G : ℝ^{n} \to ℝ^{p}, a \in ℝ^{m}, b ≔ F (a)

a existují

d f (a), d g (b)

. Potom existuje

d (G \circ F) (a) = d G (b) d f (a)

Věta (derivace složené funkce pro funkce komplexní proměnné). Nechť

U, V \subset ℂ

jsou otevřené,

f : U \to ℂ, g : V \to ℂ, f (u) \subset V, z_{0} \in U, w_{0} ≔ f (z_{0})

a existují

f^{'} (z_{0}), g^{'} (w_{0})

. Potom

{(g \circ f)}^{'} (z_{0}) = g^{'} (w_{0}) f^{'} (z_{0})

Důkaz. Nechť

z_{0} ≕ x_{0} + i y_{0}, w_{0} ≔ u_{0} + i v_{0}

. Potom

f^{'} (z_{0}) = α + i β ∴ d \tilde{f} (x_{0}, y_{0}) = (\begin{array}{cc} α & - β \\ β & α \end{array})

g^{'} (w_{0}) = γ + i δ ∴ d \tilde{g} (u_{0}, v_{0}) = (\begin{array}{cc} γ & - δ \\ δ & γ \end{array})

d (\tilde{g} \circ \tilde{f}) (x_{0}, y_{0}) = (\begin{array}{cc} γ α - δ β & - γ β - δ α \\ δ α + γ β & - δ β + γ α \end{array})

{(g \circ f)}^{'} (z_{0}) = (γ α - δ β) + i (δ α + γ β) = g^{'} (w_{0}) + f^{'} (z_{0})

Definice. Je-li

z \in ℂ, z ≕ x + i y

, budeme formálně psát

\partial_{z} ≔ \frac{\partial_{x} - i \partial_{y}}{2}, \partial_{\overline{z}} ≔ \frac{\partial_{x} + i \partial_{y}}{2}

Poznámka. Odůvodnění, že to dává smysl: TBD

Poznámka. Cauchy-Riemannovy rovnice se dají přepsat do tvaru

\partial_{\overline{z}} f (x, y) = 0

Poznámka. Komplexní čísla můžeme psát v polárních souřadnicích:

x + i y = r \exp (i ϕ)

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, ϕ = arctan2 (y, x)

x = r \cos ϕ, y = r \sin ϕ

\partial_{x} = \cos ϕ \partial_{r} - \frac{\sin ϕ}{r} \partial_{ϕ}

\partial_{y} = \sin ϕ \partial_{r} + \frac{\cos ϕ}{r} \partial_{ϕ}

\partial_{z} = \frac{\exp (- i ϕ)}{2} (\partial_{r} - \frac{i}{r} \partial_{ϕ})

\partial_{\overline{z}} = \frac{\exp (i ϕ)}{2} (\partial_{r} + \frac{i}{r} \partial_{ϕ})

Definice. Funkce

f : Ω \to ℂ

je holomorfní, pokud má derivaci v každém bodě. Množinu všech holomorfních funkcí značíme

H (Ω)

Poznámka. Pokud pro

f : Ω \to ℂ, z_{0} \in Ω

existuje

f^{'} (z_{0})

, potom

f

je spojitá v

z_{0}

Poznámka. Pokud

f, g : Ω \to ℂ, λ \in ℂ, z_{0} \in Ω

a existují

f^{'} (z_{0}), g^{'} (z_{0})

, potom platí

{(λ f + g)}^{'} (z_{0}) = λ f^{'} (z_{0}) + g^{'} (z_{0})

{(f g)}^{'} (z_{0}) = f (z_{0}) g^{'} (z_{0}) + f^{'} (z_{0}) g (z_{0})

Důsledek.

H (Ω)

je asociativní a komutativní algebra.

Poznámka. Z věty o derivaci složené funkce plyne, že složení dvou holomorfních funkcí je holomorfní.

Lemma. Nechť

U \subset ℝ^{2}

je otevřená množina a

f : U \to ℂ, (x_{0}, y_{0}) \in U

. Definujme

\tilde{f} : ℝ^{2} \to ℝ^{2}, \tilde{f} (x, y) ≔ (ℜ f (x, y), ℑ f (x, y))

Existuje-li

d \tilde{f} (x_{0}, y_{0})

, potom

\forall (ξ, η) \in ℝ^{2} : (1, i) \cdot d \tilde{f} (x_{0}, y_{0}) (ξ, η) = \partial_{z} f (x_{0}, y_{0}) ζ + \partial_{\overline{z}} f (x_{0}, y_{0}) \overline{ζ}

kde

ζ ≔ ξ + i η

Důkaz. TBD, stačí si rozepsat obě strany

Věta. Nechť

f : Ω \to ℂ

má jako funkce

ℝ^{2} \to ℝ^{2}

všechny parciální derivace spojité na

Ω

. Potom

f

je holomorfní na

Ω

, právě když splňuje Cauchy-Riemannovy rovnice:

\partial_{\overline{z}} f (x, y) = 0, (x + i y) \in Ω

V takovém případě

f^{'} (z) = \partial_{z} f (ℜ z, ℑ z)

Důkaz. V předchozím lemmatu vezmeme

ξ ≔ 1, η ≔ 0

Cvičení. Nechť

Ω ≔ ℂ ∖ (- \infty, 0], z \in Ω, z ≕ r \exp i ϕ, r \in ℝ^{+}, ϕ \in (- π, π)

. Definujme komplexní logaritmus:

\ln z ≔ \ln r + i φ

Dokažte, že je to holomorfní funkce, a spočtěte derivaci.

Řešení. Holomorfnost ověříme derivací podle

\overline{z}

, přičemž využijeme vzorečku pro polární souřadnice:

\partial_{\overline{z}} \ln z = \frac{\exp i ϕ}{2} (\partial_{r} + \frac{i}{r} \partial_{ϕ}) (\ln r + i ϕ) = \frac{\exp i ϕ}{2} (\frac{1}{r} + i \frac{i}{r}) = 0

Teď můžeme spočíst derivaci:

\ln^{'} z = \partial_{z} \ln z = \frac{\exp (- i φ)}{2} (\partial_{r} - \frac{i}{r} \partial_{ϕ}) (\ln r + i ϕ) = \frac{\exp (- i φ)}{2} (\frac{1}{r} - i \frac{i}{r}) = \frac{\exp (- i φ)}{r} = \frac{\overline{z}}{r^{2}} = \frac{\overline{z}}{z \overline{z}} = \frac{1}{z}

Jak se dalo očekávat, derivace nám vyšla stejně jako u reálného logaritmu.

Cvičení. Pro

a \in ℂ

definujme komplexní exponenciálu:

\exp a ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a^{n}}{n!}

Dokažte, že

\exp a \cdot \exp b = \exp (a + b)

Příklad. Nechť

Ω ≔ ℂ ∖ (- \infty, 0], a \in ℂ, z \in Ω

. Definujme komplexní mocninu:

z^{a} ≔ \exp (a \ln z)

Dokažte, že platí

z^{a} \cdot z^{b} = z^{a + b}

a funkce je holomorfní vzhledem k

z

. Určete její derivaci.

Analytické funkce

Připomeneme z MAN2:

Věta. Nechť

I \subset ℝ

je interval,

u_{n} : 𝒞^{1} (I, ℂ)

, řada

u (x) ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} u_{n} (x)

konverguje alespoň v jednom bodě

x_{0} \in I

a řada

v (x) ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} u_{n}^{'} (x)

konverguje lokálně stejnoměrně na

I

. Potom řada

u

také konverguje lokálně stejnoměrně na

I

u \in 𝒞^{1} (I)

a platí

u^{'} = v

Definice. Nechť

a \in ℂ

c_{n} \in ℂ, n \in ℕ

. Potom poloměr konvergence mocninné řady

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

R ≔ \frac{1}{\underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |}}

Věta. Je-li

r \in [0, R)

, potom

\sum_{n = 0}^{\infty} | c_{n} | r^{n} < \infty

Věta. Je-li

z \in ℂ, | z - a | > R

, potom

\lim_{n \to \infty} c_{n} {(z - a)}^{n} \neq 0

, tudíž řada

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

nekonverguje.

Věta. Je-li

r \in (0, R)

, potom řada

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

konverguje stejnoměrně na

D (a, r)

, neboli funkce

f (z) ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

je spojitá na

D (a, r)

Věta. Zderivovaná řada

\sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(z - a)}^{n - 1}

má stejný poloměr konvergence jako

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

Důkaz. Nechť

R^{'}

je poloměr konvergence zderivované řady. Přeindexujeme-li ji tak, aby začínala od nuly a mohli jsme tedy uplatnit limsupový vzoreček, máme

\frac{1}{R^{'}} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{(n + 1) c_{n + 1}} = \frac{1}{R} \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{n + 1}

Pokud limita vpravo existuje a je rovna

1

, máme vyhráno. Tudíž si ji spočteme:

\underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{n + 1} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \exp \frac{\ln (n + 1)}{n} = \exp 0 = 1

Teď už zpátky k něčemu novému.

Definice. Funkce

f : Ω \to ℂ

je analytická na

Ω

, pokud existují

a \in Ω, r \in ℝ^{+}

takové, že

D (a, r) \subset Ω

f

lze na

D (a, r)

vyjádřit jako konvergentní mocninnou řadu se středem v

a

Věta. Nechť mocninná řada

f (z) ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

má poloměr konvergence

R \in (0, \infty]

. Potom

f \in H (D (a, R))

a platí

f^{'} (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(z - a)}^{n - 1}

Důkaz (pomocí Cauchy-Riemannovy rovnice). Nechť bez újmy na obecnosti

a = 0

. Zvolme pevné

y \in (- R, R)

a pro něj vezměme nějaké

x \in I_{y} ≔ (- \sqrt{R^{2} - y^{2}}, \sqrt{R^{2} - y^{2}})

. Potom

f (x + i y) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x + i y)}^{n}

Řada splňuje podmínky k tomu, abychom ji mohli zderivovat po členech a pořád to bude konvergovat na

D (0, R)

\partial_{x} f (x + i y) = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(x + i y)}^{n - 1}

\partial_{y} f (x + i y) = i \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(x + i y)}^{n - 1}

\partial_{\overline{z}} f (x, y) = 0

\partial_{z} f (x, y) = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(x + i y)}^{n - 1}

Důkaz (z definice derivace). Pro

w, z \in ℂ

máme

\begin{aligned} \frac{w^{n} - z^{n}}{w - z} - n z^{n - 1} & = \sum_{j = 0}^{n - 1} w^{j} z^{n - 1 - j} - n z^{n - 1} \\ = \sum_{j = 1}^{n - 1} (w^{j} - z^{j}) z^{n - 1 - j} \\ = (w - z) \sum_{j = 1}^{n - 1} \sum_{l = 0}^{j - 1} w^{l} z^{j - 1 - l} z^{n - 1 - j} \\ = (w - z) \sum_{l = 0}^{n - 2} (n - l - 1) w^{l} z^{n - 2 - l} \end{aligned}

Vezmeme-li

z \in D (0, R)

w \in D (0, r)

, potom

| \frac{w^{n} - z^{n}}{w - z} - n z^{n - 1} | \leq | w - z | r^{n - 2} \sum_{l = 0}^{n - 2} (n - l - 1)

| \frac{f (w) - f (z)}{w - z} - \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} z^{n - 1} | = | \sum_{n = 2}^{\infty} c_{n} (\frac{w^{n} - z^{n}}{w - z} - n z^{n - 1}) | \leq | w - z | \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{2} | c_{n} | r^{n - 2} < \infty

Důsledek.

f

má na

D (a, R)

derivace všech řádů a pro

k \in ℕ_{0}

platí

f^{(k)} (z) = \sum_{n = k}^{\infty} n^{k} c_{n} z^{n - k}

(kde

n^{k} ≔ \prod_{j = n + k - 1}^{n} j

je padající faktoriál). Speciálně

f^{(k)} (a) = k! c_{k}

Důkaz. Indukcí podle

k

Důsledek. Nechť

r \in ℝ^{+}, a \in ℂ

a funkci

f : D (a, r) \to ℂ

lze vyjádřit jako konvergentní mocninnou řadu se středem v

a

. Potom toto vyjádření je určeno jednoznačně.

Důkaz. Z předchozího důsledku můžeme napočítat koeficienty

c_{n} = \frac{f^{(n)} (a)}{n!}

Důsledek. Nechť

f : Ω \to ℂ

je analytická. Potom

f \in H (Ω)

Definice. Nechť

f : Ω \to ℂ

f

lze na

Ω

vyjádřit mocninnou řadou, pokud pro všechny

D (a, r) \subset Ω

lze

f

zapsat jako mocninnou řadu se středem v

a

Křivkový integrál

Definice. Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka a

f \in 𝒞 (⟨ γ ⟩)

. Potom integrál

f

podle

γ

\int_{γ} f = \int_{γ} f (z) d z ≔ \int_{α}^{β} f (γ (t)) γ^{'} (t) d t

Poznámka. Integrál

f

podle

γ

nemusí být to samé jako integrál

f

⟨ γ ⟩

\int_{⟨ γ ⟩} f = \int_{α}^{β} f (γ (t)) | γ^{'} (t) | d t

Příklad. Je-li

γ (t) ≔ \exp i t

f = ???

), potom

\int_{γ} f = 0, \int_{⟨ γ ⟩} f = 2 π

Poznámka.

| \int_{γ} f | = | \int_{α}^{β} f (γ (t)) γ^{'} (t) d t | \leq {‖ f ‖}_{𝒞 (⟨ γ ⟩)} V_{α}^{β} (γ)

Poznámka (substituce). Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka,

f \in 𝒞 (⟨ γ ⟩)

ω : [α_{1}, β_{1}] \to [α, β]

𝒞^{1}

bijekce splňující

ω^{'} (t) > 0, t \in [α_{1}, β_{1}]

(z čehož plyne

ω (α_{1}) = α, ω (β_{1}) = β

). Označme

γ_{1} ≔ γ \circ ω

; zřejmě

⟨ γ_{1} ⟩ = ⟨ γ ⟩

. Potom

\int_{γ_{1}} f = \int_{α_{1}}^{β_{1}} f (γ_{1} (t)) γ_{1}^{'} (t) d t = \int_{α_{1}}^{β_{1}} f (γ (ω (t))) γ^{'} (ω (t)) ω^{'} (t) d t \overset{\overset{}{s ≔ ω (t)}}{=} \int_{α}^{β} f (γ (s)) γ^{'} (s) d s = \int_{γ} f

Poznámka (vopáčná křivka). Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka,

f \in ℂ (⟨ γ ⟩)

ω : [α, β] \to [α, β], ω (t) ≔ α + β - t

. Označme

γ_{1} ≔ γ \circ ω

; zřejmě

⟨ γ_{1} ⟩ = ⟨ γ ⟩

. Potom

\int_{γ_{1}} f = \int_{α}^{β} f (γ_{1} (t)) γ_{1}^{'} (t) d t = \int_{α}^{β} f (γ (ω (t))) γ^{'} (ω (t)) ω^{'} (t) d t \overset{\overset{}{s ≔ ω (t)}}{=} \int_{β}^{α} f (γ (s)) γ^{'} (s) d s = - \int_{γ} f

Řekneme, že

γ_{1}

je vopáčná křivka ke

γ

. Značíme

γ_{1} = - γ

Věta. Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka,

φ, ψ \in 𝒞 (⟨ γ ⟩)

. Pro

Ω ≔ ℂ ∖ φ (⟨ γ ⟩)

položme

f : Ω \to ℂ, f (z) ≔ \int_{γ} \frac{ψ (ζ)}{φ (ζ) - z} d ζ

Potom

f

lze na

Ω

vyjádřit jako mocninnou řadu.

Důkaz. Zvolme nějaký disk

D (a, r) \subset Ω

. Potom pro dané

z \in D (a, r), ζ \in ⟨ γ ⟩

máme

| \frac{z - a}{φ (ζ) - a} | \leq \frac{| z - a |}{r} < 1

\frac{1}{φ (ζ) - z} = \frac{1}{(φ (ζ) - a) (1 - \frac{z - a}{φ (ζ) - a})} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(z - a)}^{n}}{{(φ (ζ) - a)}^{n + 1}}

Tato řada stejnoměrně konverguje pro

ζ \in ⟨ γ ⟩

. Tím pádem funkci můžeme přepsat do tvaru

f (z) = \int_{γ} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ψ (ζ) {(z - a)}^{n}}{{(φ (ζ) - a)}^{n + 1}} d ζ = \sum_{n = 0}^{\infty} \underset{c_{n}}{\underset{⏟}{(\int_{γ} \frac{ψ (ζ)}{{(φ (z) - a)}^{n + 1}} d ζ)}} {(z - a)}^{n}

Pro koeficienty máme

c_{n} \leq \frac{{‖ ψ ‖}_{𝒞} V_{α}^{β} (γ)}{r^{n + 1}}

Z toho plyne, že řada konverguje s poloměrem konvergence

\geq r

Příklad. Je-li

a \in ℂ, r \in ℝ^{+}

, potom kladně orientovaná kružnice je křivka

γ (t) ≔ a + r \exp i t, t \in [0,2 π]

. Její vopáčnou křivkou je záporně orientovaná kružnice

\tilde{γ} (t) ≔ a + r \exp (- i t), t \in [0,2 π]

Příklad. Úsečka mezi body

a, b \in ℂ

, kterou značíme

[a, b]

je křivka

γ (t) ≔ a + (b - a) t = (1 - t) a + t b, t \in [0,1]

. Pro integrál po úsečce platí

\int_{[a, b]} f = (b - a) \int_{0}^{1} f (a + (b - a) t) d t

Snadno ověříme, že

[b, a]

je vopáčná křivka k

[a, b]

Příklad. Pro

a, b, c \in ℂ

máme trojúhelník

△ (a, b, c) ≔ {[a, b, c]}_{κ}

. Jeho obvod je křivka, přičemž s trochou pochybného značení můžeme psát

\partial △ (a, b, c) = [a, b] \oplus︎ [b, c] \oplus︎ [c, a]

Pro integrál máme

\int_{\partial △ (a, b, c)} f = \int_{[a, b]} f + \int_{[b, c]} f + \int_{[c, a]} f

Sudé permutace

\partial △ (a, b, c), \partial △ (b, c, a), \partial △ (c, a, b)

jsou ekvivalentní křivky. Liché permutace

\partial △ (b, a, c), \partial △ (a, c, b), \partial △ (c, b, a)

jsou k nim vopáčné křivky.

Definice. Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární uzavřená křivka a

z \in ℂ ∖ ⟨ γ ⟩

. Potom index bodu

z

vzhledem ke

γ

{ind}_{γ} (z) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{d ζ}{ζ - z}

Poznámka. Z jisté věty plyne, že funkci

{ind}_{γ}

lze vyjádřit mocninnou řadou, tudíž je spojitá.

Věta. Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární uzavřená křivka a

Ω ≔ ℂ ∖ ⟨ γ ⟩

. Potom funkce

{ind}_{γ} : Ω \to ℂ

nabývá celočíselné hodnoty, je konstantní na každé souvislé komponentě a na neomezené komponentě nabývá hodnotu

0

Důkaz. Nechť

z \in Ω

. Zaveďme pomocné funkce

φ, ψ : [α, β] \to ℂ

φ (t) ≔ \exp \int_{α}^{t} \frac{γ^{'} (s)}{γ (s) - z} d s

ψ (t) ≔ \frac{φ (t)}{γ (t) - z}

Speciálně platí

φ (α) = 1, φ (β) = \exp (2 π i {ind}_{γ} (z))

. Pro derivace máme

φ^{'} (t) = \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z} φ (t)

ψ^{'} (t) = \frac{φ^{'} (t)}{γ (t) - z} - \frac{φ (t) γ^{'} (t)}{{(γ (t) - z)}^{2}} = 0

Zároveň

φ, ψ

jsou spojité a po částech

𝒞^{1}

. Z nulovosti derivace plyne, že

ψ

je konstantní, tedy

\forall t \in [α, β] : \frac{φ (t)}{γ (t) - z} = ψ (t) = ψ (α) = \frac{1}{γ (α) - z}

\exp (2 π i {ind}_{γ} (z)) = φ (β) = \frac{γ (β) - z}{γ (α) - z} = 1

Z toho plyne, že

{ind}_{γ} (z) \in ℤ

. Jelikož funkce

{ind}_{γ}

je spojitá a nabývá hodnoty z diskrétní množiny, na souvislých komponentách musí být konstantní. Zbývá dokázat, že na neomezené komponentě je funkce nulová. Nechť

z

je prvek neomezené komponenty, potom

| {ind}_{γ} (z) | = | \frac{1}{2 π i} \int_{α}^{β} \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z} d t | \leq \frac{V_{α}^{β} (γ)}{2 π dist (z, ⟨ γ ⟩)} \overset{\overset{}{| z | \to \infty}}{\to} 0

Goursatova věta

Poznámka. Nechť

\emptyset \neq U \subset ℂ

je otevřená množina,

F \in H (U)

I \subset ℝ

je interval a

γ \in 𝒞^{1} (I), ⟨ γ ⟩ \subset U

. Potom pro všechna

t \in I

platí

{(F \circ γ)}^{'} (t) = F^{'} (γ (t)) γ^{'} (t)

přičemž první derivace na pravé straně je podle komplexní proměnné a druhá podle reálné proměnné.

Důkaz. Máme

\partial_{\overline{z}} F = 0, \partial_{z} F = F^{'}

. Definujme

γ_{1} ≔ ℜ \circ γ, γ_{2} ≔ ℑ \circ γ

. Potom

{(F \circ γ)}^{'} (t) = \partial_{x} F (γ (t)) γ_{1}^{'} (t) + \partial_{y} F (γ (t)) γ_{2}^{'} (t) = \partial_{z} F (γ (t)) γ_{1}^{'} (t) + \partial_{z} F (γ (t)) γ_{2}^{'} (t) = F^{'} (γ (t)) γ^{'} (t)

Věta. Nechť

F \in H (Ω), F^{'} \in 𝒞 (Ω)

γ : [α, β] \to Ω

je regulární křivka. Potom

\int_{γ} F^{'} = F (γ (β)) - F (γ (a))

Speciálně je-li

γ

uzavřená, potom

\int_{γ} F = 0

Důkaz.

\int_{γ} F^{'} = \int_{α}^{β} F^{'} (γ (t)) γ^{'} (t) d t = \int_{α}^{β} {(F \circ γ)}^{'} = F (γ (β)) - F (γ (a))

Důsledek. Nechť

γ

je regulární uzavřená křivka v

ℂ

. Potom

$\forall n \in ℕ : \int_{γ} z^{n} d z = 0$
pokud $0 \notin ⟨ γ ⟩$ , potom $\forall n \in ℤ, n \leq - 2 : \int_{γ} z^{n} d z = 0$

Důkaz. Pro

n \neq - 1

z^{n} = \frac{d}{d z} \frac{z^{n + 1}}{n + 1}

Poznámka. Pro

0 \notin ⟨ γ ⟩

máme

\int_{γ} z^{- 1} d z = 2 π i \cdot {ind}_{γ} (0)

Definice. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a

K \subset X

je kompaktní. Potom průměr

K

diam K ≔ \max_{x, y \in K} ρ (x, y)

Lemma. Nechť

(X, τ)

je Hausdorffův prostor a

\emptyset \neq K_{n} \subset X, n \in ℕ

jsou kompaktní, přičemž

\forall n \in ℕ : K_{n} \supset K_{n + 1}

. Potom

⋂_{n = 1}^{\infty} K_{n} \neq \emptyset

Důkaz. Jelikož jsme v Hausdorffově prostoru, všechny

K_{n}

jsou uzavřené. Zřejmě pro všechna

N \in ℕ

⋂_{n = 1}^{N} K_{n} = K_{N}

Teď stačí použít duální definici kompaktnosti (máme-li systém uzavřených množin, kde každý konečný podsystém má neprázdný průnik, potom celý systém má neprázdný průnik).

Důsledek. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a

\emptyset \neq K_{n} \subset X, n \in ℕ

jsou kompaktní, přičemž

\forall n \in ℕ : K_{n} \supset K_{n + 1}

\lim_{n \to \infty} diam (K_{n}) = 0

. Potom

| ⋂_{n = 1}^{\infty} K_{n} | = 1

Věta (Goursat). Nechť

f \in H (Ω)

Δ ≔ △ (a, b, c) \subset Ω

. Potom

\int_{\partial Δ} f = 0

Důkaz. Jsou-li

a, b, c

kolineární, důkaz je zřejmý. Předpokládejme tedy, že nejsou kolineární. Položme

J ≔ \int_{\partial Δ} f

L ≔ | a - b | + | b - c | + | c - a |

. Zjevně

diam (Δ) \leq L

. Označme středy stran trojúhelníka a rozdělme podle nich trojúhelník na čtyři menší trojúhelníčky:

a^{'} ≔ \frac{b + c}{2}, b^{'} ≔ \frac{c + a}{2}, c^{'} ≔ \frac{a + b}{2}

Δ_{1,1} ≔ △ (a, c^{'}, b^{'}), Δ_{1,2} ≔ △ (c^{'}, b, a^{'}), Δ_{1,3} ≔ △ (b^{'}, a^{'}, c), Δ_{1,4} ≔ △ (a^{'}, b^{'}, c^{'})

Snadno si rozmyslíme, že

Δ_{1, j}

jsou podobné

Δ

a platí

J = \int_{\partial Δ} f = \sum_{j = 1}^{4} \int_{\partial Δ_{1, j}} f

Z trojúhelníkové nerovnosti plyne

| J | \leq \sum_{j = 1}^{4} | \int_{\partial Δ_{1, j}} f |

Jistě najdeme

j \in \hat{4}

takové, že

| \int_{\partial Δ_{1, j}} f | \geq \frac{| J |}{4}

. Položme

Δ_{2} ≔ Δ_{1, j}

, potom délka

Δ_{2}

\frac{L}{2}

. Analogicky rozsekáme

Δ_{2}

na čtyři menší trojúhelníky a vybereme si z nich jeden, pro nějž absolutní hodnota integrálu je větší než

\frac{| J |}{16}

. Ten označíme

Δ_{3}

. A tak dále (pro konzistenci také označíme

Δ_{1} ≔ Δ

). Platí

| \int_{\partial Δ_{n}} | \geq \frac{| J |}{4^{n - 1}}

d \overset{ˊ}{e} l k a Δ_{n} = \frac{L}{2^{n - 1}}

Jelikož průměry trojúhelníků jdou k nule a trojúhelníky se do sebe postupně vnořují, z předchozího lemmatu plyne, že pro nějaké

z_{0} \in ℂ

⋂_{n = 1}^{\infty} Δ_{n} = {z_{0}}

Vezměme libovolné

ε \in ℝ^{+}

. Jelikož existuje

f^{'} (z_{0})

, máme

\exists δ \in ℝ^{+}, \forall z \in D (z_{0}, δ) : | f (z) - f (z_{0}) - f^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) | < ε | z - z_{0} |

Zvolme

n \in ℕ

takové, aby

\frac{1}{2^{n - 1}} < δ

. Jelikož

z \in Δ_{n}

, pro všechna

z \in ⟨ \partial Δ_{n} ⟩

platí

| z - z_{0} | \leq \frac{L}{2^{n - 1}}

. Dosazením do výroku máme

\begin{aligned} \frac{| J |}{4^{n - 1}} & \leq | \int_{\partial Δ_{n}} f (z) d z | \\ = | \int_{\partial Δ_{n}} (f (z) - f (z_{0}) - f^{'} (z_{0}) (z - z_{0})) d z | \\ \leq d \overset{ˊ}{e} l k a (\partial Δ_{n}) \cdot \max_{z \in ⟨ \partial Δ_{n} ⟩} | f (z) - f (z_{0}) - f^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) | \\ \leq d \overset{ˊ}{e} l k a (\partial Δ_{n}) \cdot \max_{z \in ⟨ \partial Δ_{n} ⟩} ε | z - z_{0} | \\ \leq d \overset{ˊ}{e} l k a (\partial Δ_{n}) \cdot ε diam (Δ_{n}) \end{aligned}

Z toho plyne

| J | \leq 4^{n - 1} \cdot \frac{L}{2^{n - 1}} \cdot ε \frac{L}{2^{n - 1}} = ε L^{2}

Jelikož

L

je konstanta a

ε \in ℝ^{+}

bylo voleno libovolně, máme

J = 0

Věta. Nechť

f \in 𝒞 (Ω)

K \subset Ω

je kompaktní,

a \in Ω

a platí, že

\forall w \in K : [a, w] \subset Ω

. Potom

(w \in Ω) \mapsto \int_{[a, w]} f

je spojitá funkce.

Důkaz.

\int_{[a, w]} f = (w - a) \int_{0}^{1} f (a + t (w - a)) d t

Funkce

(t \in [0,1], w \in K) \mapsto f (a + t (w - a))

je spojitá na kompaktní množině, tedy omezená. Tudíž existuje

M \in ℝ_{0}^{+}

takové, že pro všechna

t \in [0,1], w \in K

| f (a + t (w - a)) \leq M |

. Ok, a jak z toho plyne původní tvrzení?

Věta. Nechť pro nějaké

p \in Ω

f \in H (Ω) ∖ {p}

f \in 𝒞 (Ω)

. Potom pro všechny

Δ ≔ △ (a, b, c) \subset Ω

\int_{\partial Δ} f = 0

Důkaz. Rozlišíme několik případů:

Pokud $p \notin Δ$ , potom to triviálně plyne z Goursata (když je bod někde úplně mimo, může nám být jedno, že v něm funkce není holomorfní, protože stačí zúžit definiční obor).
Nechť $p$ je vrchol $Δ$ , tedy bez újmy na obecnosti $p = a$ . Zvolme $r \in ℝ^{+}$ takové, aby $D (a, r) \subset Ω \land b, c \notin D (a, r)$ . Množina $K ≔ D (a, r) \cap Δ$ je kompaktní a $a$ je hromadný bod $K$ . Vezměme $w \in K$ , potom podle předchozí věty $\int_{\partial △ (w, b, c)}$ závisí spojitě na $w$ . Jelikož všude mimo $a$ je to podle předchozího případu $0$ , musí to v $a$ být taky $0$ .
Nechť $p$ leží na hraně $Δ$ , ale není vrchol. Bez újmy na obecnosti $p \in [a, b]$ . Potom $\int_{\partial Δ} f = \int_{\partial △ (a, p, c)} f + \int_{\partial △ (p, b, c)} f$ Oba integrály vpravo jsou podle předchozího bodu $0$ .
Pro $p$ uvnitř trojúhelníka si to analogicky jako v předchozím bodě rozdělíme na tři trojúhelníky.

Cauchyova věta pro konvexní množiny

Lemma. Nechť

Ω

je konvexní,

f \in 𝒞 (Ω)

a platí, že pro všechny

Δ ≔ △ (a, b, c), a, b, c \in Ω

\int_{\partial Δ} f = 0

. Potom existuje

F \in H (Ω)

taková, že

F^{'} = f

Důkaz. Pro pevné

a \in Ω

definujme

F (z) ≔ \int_{[a, z]} f

Máme-li

z_{0} \in Ω

, potom chceme dokázat, že

\lim_{z \to z_{0}} \frac{F (z) - F (z_{0})}{z - z_{0}} - f (z_{0}) = 0

Jelikož

Ω

je konvexní, můžeme mezi libovolnými třemi body udělat trojúhelník. Platí

0 = \int_{\partial △ (a, z, z_{0})} f = \int_{[a, z]} f + \int_{[z, z_{0}]} f - \int_{[a, z_{0}]} f = F (z) + \int_{[z, z_{0}]} f - F (z_{0})

\begin{aligned} | \frac{F (z) - F (z_{0})}{z - z_{0}} - f (z_{0}) | & = | \frac{F (z) - F (z_{0}) - f (z_{0}) (z - z_{0})}{z - z_{0}} | \\ = | \frac{\int_{[z_{0}, z]} (f (ζ) - f (z_{0})) d ζ}{z - z_{0}} | \\ \leq \frac{| z - z_{0} | \max_{ζ \in [z_{0}, z]} | f (ζ) - f (z_{0}) |}{| z - z_{0} |} \\ \leq \max_{ζ \in D (z_{0}, | z - z_{0} |)} | f (ζ) - f (z_{0}) | \\ \overset{\overset{}{z \to z_{0}}}{\to} 0 \end{aligned}

Věta. Nechť

Ω

je konvexní,

p \in Ω, f \in H (Ω ∖ {p})

f \in 𝒞 (Ω)

. Potom pro každou regulární uzavřenou křivku

γ

Ω

platí

\int_{γ} f = 0

(Speciálně to platí i pro

f \in H (Ω)

Důkaz. Podle Goursata to platí pro všechny trojúhelníky. Podle lemmatu má

f

primitivní funkci

F \in H (Ω)

, přičemž

F^{'} = f \in 𝒞 (Ω)

. Tudíž

\int_{γ} f = \int_{γ} F^{'} = 0

Věta (Cauchy). Nechť

Ω

je konvexní,

f \in H (Ω)

γ

je regulární uzavřená křivka v

Ω

. Potom

\forall z \in Ω ∖ ⟨ γ ⟩ : \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ = {ind}_{γ} (z) f (z)

Důkaz. Vezměme pevné

z \in Ω ∖ ⟨ γ ⟩

. Pro

ζ \in Ω

definujme

g (ζ) ≔ {\begin{matrix} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z}, & ζ \neq z \\ f^{'} (z), & ζ = z \end{matrix}

Zjevně

g \in H (Ω ∖ {z}), g \in 𝒞 (Ω)

. Z předchozí věty

0 = \int_{γ} g = \int_{γ} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} d ζ = \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - 2 π i \cdot {ind}_{γ} (z) \cdot f (z)

Kořeny holomorfních funkcí

Definice. Pro

f \in H (Ω)

budeme značit

𝒵 (f) ≔ f^{- 1} ({0})

Poznámka.

𝒵 (f)

je uzavřená podmnožina

Ω

Poznámka. Nechť

U_{1}, U_{2} \subset ℂ

jsou otevřené a neprázdné a

g_{1} \in H (U_{1}), g_{2} \in H (U_{2})

splňují

\forall z \in U_{1} \cap U_{2} : g_{1} (z) = g_{2} (z)

. Potom existuje právě jedna

g \in H (U_{1} \cup U_{2})

taková, že

g |_{U_{1}} = g_{1}, g |_{U_{2}} = g_{2}

Poznámka. Nechť

f \in H (Ω), a \in Ω

. Potom

f

je nulová na nějakém okolí

a

právě tehdy, pokud všechny její derivace v

a

jsou nulové.

Důkaz.

(\Rightarrow)

Zřejmé.

(\Leftarrow)

Funkci vyjádříme mocninnou řadou na nějakém disku kolem

a

Příklad. Pro reálné funkce toto neplatí. Například mějme

f \in C^{\infty} (ℝ)

definovanou jako

f (x) ≔ {\begin{matrix} \exp (- \frac{1}{x^{2}}), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{matrix}

Věta. Nechť

f \in H (Ω), a \in Ω

, přičemž

f

není všude rovna nule na žádném okolí

a

. Potom existují jednoznačná

m \in ℕ_{0}, g \in H (Ω)

taková, že

g (a) \neq 0

\forall z \in Ω : f (z) = {(z - a)}^{m} g (z)

Důkaz.

Jednoznačnost: Nechť $\forall z \in Ω : f (z) = {(z - a)}^{m_{1}} g_{1} (z) = {(z - a)}^{m_{2}} g_{2} (z)$ Kdyby $m_{1} < m_{2}$ , potom $g_{1} (a) = {(a - a)}^{m_{2} - m_{1}} = 0$ , což je spor, tudíž $m_{1} = m_{2}$ . Pro $z \neq a$ dostaneme vydělením $g_{1} (z) = g_{2} (z)$ a limitou tuto rovnost doplníme i do $a$ .
Existence: Zvolme $D (a, r) \subset Ω$ . Potom pro všechna $z \in D (a, r)$ máme $f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}$ Z předpokladu plyne, že pro nějaké $m \in ℕ_{0}$ je $c_{m} \neq 0$ . Vezměme nejmenší takové $m$ . Definujme $U_{1} ≔ D (a, r), g_{1} (z) ≔ \sum_{n = m}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n - m}$ $U_{2} ≔ Ω ∖ {a}, g_{2} (z) ≔ \frac{f (z)}{{(z - a)}^{m}}$ Zřejmě na $U_{1} \cap U_{2}$ je $g_{1} = g_{2}$ , takže je můžeme sloučit do jedné funkce $g \in H (U_{1} \cup U_{2}) = H (Ω)$ . Snadno ověříme, že toto $g$ splňuje znění věty.

Důsledek. Nechť

f \in H (Ω), a \in Ω, f (a) = 0

. Potom buď

f

je nulová na nějakém okolí

a

, nebo

a

je izolovaný kořen.

Důkaz. Nechť

f

není nulová na žádném okolí

a

. Podle předchozí věty najdeme

m, g

. Jelikož

g

je spojitá a

g (a) \neq 0

, existuje

δ \in ℝ^{+}

takové, že

\forall z \in D (a, δ) : g (z) \neq 0

. Tudíž i pro všechna

z \in D (a, δ) ∖ {a}

f (z) \neq 0

Důsledek. Nechť

f \in H (Ω)

a \in Ω

je izolovaný kořen. Potom existují jednoznačná

m \in ℕ_{0}, g \in H (Ω)

taková, že

g (a) \neq 0

\forall z \in Ω : f (z) = {(z - a)}^{m} g (z)

Definice.

m

z předchozí věty je násobnost kořenu

a

Věta. Nechť

Ω

je oblast a

f \in H (Ω)

. Potom buď

f = 0

(neboli

𝒵 (f) = Ω

), nebo

𝒵 (f)

nemá hromadný bod.

Důkaz. Označme

A \subset Ω

množinu hromadných bodů

𝒵 (f)

. Jelikož

𝒵 (f)

je uzavřená, máme

A \subset 𝒵 (f)

, z čehož plyne, že i

A

je uzavřená (protože obsahuje všechny své hromadné body). Ukážeme, že

A

je také otevřená. Máme-li nějaké

a \in A

, potom to z definice musí být neizolovaný kořen, takže

f

je nulová na nějakém jeho okolí a toto okolí je také podmnožinou

A

. Dokázali jsme, že

A

je obojetná. Jelikož jsme na souvislé množině, tak buď

A = Ω

(tedy i

𝒵 (f) = Ω

), nebo

A = \emptyset

Důsledek. Má-li

𝒵 (f)

Ω

hromadný bod, potom

f = 0

Poznámka. Nechť

U \subset ℂ

je otevřená. Potom existuje posloupnost kompaktních množin

(K_{n})

, jejíž sjednocení je celé

U

Důkaz. Vezměme systém

ℳ ≔ {D (a, r) \subset U | a \in ℚ [i], r \in ℚ^{+}}

Tento systém je spočetný, takže ho můžeme zapsat jako posloupnost, a snadno ověříme, že jeho sjednocení je celé

U

Důsledek. Nechť

Ω

je souvislá a

f \in H (Ω)

není všude nulová. Potom

𝒵 (f)

je nejvýše spočetná.

Důkaz. Víme, že

𝒵 (f)

nemá hromadný bod. Podle předchozí poznámky můžeme

Ω

pokrýt posloupností kompaktních množin. Můžeme si rozmyslet, že

𝒵 (f) \cap K_{n}

je konečná pro každé

n

, z čehož plyne tvrzení.

Důsledek. Nechť

Ω

je souvislá a

f, g \in H (Ω)

. Má-li množina

{z \in Ω | f (z) = g (z)}

hromadný bod, potom se funkce rovnají.

Důkaz. Aplikujeme předešlé poznatky na funkci

f - g

Poznámka. Existuje právě jedno prodloužení funkce

ln

ℂ ∖ (- \infty, 0]

, ale na celé

ℂ

ji prodloužit nelze.

Příklad. Na

Ω ≔ ℂ ∖ {0}

definujme funkci

f (z) ≔ \sin \frac{π}{z}

. Kořeny této funkce mají hromadný bod

0

, ale to nám nevadí, protože neleží v

Ω

Izolované singularity holomorfní funkce

Definice. Pro

a \in ℂ, r \in ℝ^{+}

budeme značit

D^{'} (a, r) ≔ D (a, r) ∖ {a}

Definice. Nechť

Ω \subset ℂ

je oblast,

a \in Ω

f \in H (Ω ∖ {a})

. Potom

f

má v

a

izolovanou singularitu. Je-li možné

f

rozšířit na celé

Ω

tak, aby pořád byla holomorfní, jde o odstranitelnou singularitu.

Věta. Nechť

a \in Ω, f \in H (Ω ∖ {a})

. Potom singularita je odstranitelná právě tehdy, pokud pro nějaké

r \in ℝ^{+}

D (a, r) \subset Ω

f

je omezená na

D^{'} (a, r)

Důkaz. Implikace

(\Rightarrow)

je zřejmá. Dokážeme

(\Leftarrow)

. Nechť

| f |

je na

D^{'} (a, r)

omezena konstantou

M

. Definujeme

h (z) ≔ {\begin{matrix} {(z - a)}^{2} f (z), & z \in Ω ∖ {a} \\ 0, & z = a \end{matrix}

Zřejmě

h \in H (Ω ∖ {a})

. Zároveň je i

h \in H (Ω)

, protože

h^{'} (a) = \lim_{z \to a} \frac{h (z) - h (a)}{z - a} = \lim_{w \to 0} w f (a + w) = 0

Z toho plyne, že

h

můžeme na

D (a, r)

vyjádřit mocninnou řadou:

h (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

Jelikož

h (a) = h^{'} (a) = 0

, máme

c_{0} = c_{1} = 0

, takže můžeme vytknout

h (z) = {(z - a)}^{2} \sum_{n = 2}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n - 2}

Z toho na

Ω ∖ {a}

platí

f (z) = \sum_{n = 2}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n - 2}

Takže stačí dodefinovat

f (a) ≔ c_{2}

a tím jsme opravili singularitu.

Definice. Nechť

a \in Ω, f \in H (Ω ∖ {a})

f

má v

a

pól řádu

m \in ℕ

, pokud existují

c_{1}, \dots, c_{m} \in ℂ, c_{m} \neq 0

taková, že funkce

f (z) - \sum_{k = 1}^{m} \frac{c_{k}}{{(z - a)}^{k}}

má v

a

odstranitelnou singularitu. Tato suma se nazývá hlavní část

f

a

Poznámka. To je ekvivalentní tomu, že

f (z) = \sum_{k = 1}^{m} \frac{c_{k}}{{(z - a)}^{k}} + g (z)

, kde

g \in H (Ω)

Definice. Nechť

a \in Ω, f \in H (Ω ∖ {a})

f

má v

a

podstatnou singularitu, pokud pro všechny

D (a, r) \subset Ω

f (D^{'} (a, r))

hustá podmnožina

ℂ

Lemma. Nechť

a \in Ω, f \in H (Ω ∖ {a})

Má-li $f$ v $a$ odstranitelnou singularitu, potom $\lim_{a} f \in ℂ$ .
Má-li $f$ v $a$ pól, potom $\lim_{a} f = \infty$ .
Má-li $f$ v $a$ podstatnou singularitu, potom neexistuje $\lim_{a} f$ .

Důkaz.

Zřejmé.
Z definice pólu máme funkci $g \in H (a)$ takovou, že $f = \frac{1}{{(z - a)}^{m}} (c_{m} + \sum_{k = 1}^{m - 1} c_{k} {(z - a)}^{k} + {(z - a)}^{m} g (z))$ Zlomek jde v limitě k $\infty$ a závorka jde k $c_{m}$ , které není $0$ , takže celý výraz jde k nekonečnu.
Vezměme fixní $w \in ℂ$ a $r$ takové, že $D (a, r) \subset Ω$ a definujme $r_{n} ≔ \frac{r}{n}$ . Z předpokladu je pro každé $n$ množina $f (D^{'} (a, r_{n}))$ hustá v $ℂ$ , takže najdeme $z_{n} \in D^{'} (a, r_{n})$ takové, že $| f (z_{n}) - w | < \frac{1}{n}$ . Potom $z_{n} \to a, f (z_{n}) \to w$ . Jelikož $w$ bylo voleno libovolně, podle Heineovy věty $f$ nemá limitu.

Věta. Nechť

a \in Ω, f \in H (Ω ∖ {a})

. Potom nastane právě jedna z možností:

$f$ má v $a$ odstranitelnou singularitu.
$f$ má v $a$ pól.
$f$ má v $a$ podstatnou singularitu.

Důkaz. Z předchozího lemmatu plyne, že může nastat nejvýše jedna z možností. Dokážeme, že pokud

f

nemá podstatnou singularitu, potom má odstranitelnou singularitu nebo pól. Předpokládejme tedy, že existují

r, δ \in ℝ^{+}

w \in ℂ

taková, že

D (a, r) \in Ω \land f (D^{'} (a, r)) \cap D (w, δ) = \emptyset

Jinými slovy, pro každé

z \in D^{'} (a, r)

| f (z) - w | \geq δ

. Na tomto disku definujme funkci

F (z) ≔ \frac{1}{f (z) - w}

Tato funkce zjevně je holomorfní a omezená, jelikož splňuje

0 < | F (z) | \leq \frac{1}{δ}

, takže má v

a

odstranitelnou singularitu. Dodefinujeme ji na celé

D (a, r)

. Platí

\forall z \in D^{'} (a, r) : f (z) = w + \frac{1}{F (z)}

Je-li

F (a) \neq 0

, potom můžeme v klidu definovat

f (a) ≔ w + \frac{1}{F (a)}

, takže

f

má odstranitelnou singularitu. Ve vopáčném případě je

a

izolovaný kořen

F

s nějakou násobností

m

\forall z \in D (a, r) : F (z) = {(z - a)}^{m} G (z), G \in H (D (a, r)), G (a) \neq 0

Jelikož pro

z \neq a

F (z) \neq 0

G

je nenulová na celém

D (a, r)

, takže i

\frac{1}{G} \in H (D (a, r))

. Rozvineme ji do mocninné řady:

\frac{1}{G (z)} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}, c_{0} = \frac{1}{G (a)} \neq 0

Dosazením dostáváme

f (z) = w + {(z - a)}^{- m} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n} = \underset{h l a v n \overset{ˊ}{ı} \overset{ˇ}{c} \overset{ˊ}{a} s t f}{\underset{⏟}{\sum_{n = 0}^{m - 1} c_{n} {(z - a)}^{n - m}}} + \underset{H (D (a, r))}{\underset{⏟}{w + \sum_{n = m}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n - m}}}

Tudíž

f

má pól řádu

m

Příklad. Funkce

f (z) ≔ \exp \frac{1}{z}

na množině

Ω ≔ ℂ ∖ {0}

má podstatnou singularitu v bodě

0

Cvičení

Věta. Nechť

A \in ℝ_{0}^{+}

(b_{n}) \subset ℝ

. Potom

\underset{n \to \infty}{lim sup} A b_{n} = A \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n}

Věta. Nechť

(a_{n}), (b_{n}) \subset ℝ

\lim_{n \to \infty} a_{n} = A \in ℝ_{0}^{+}

. Potom

\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} b_{n} = A \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n}

Důkaz. Nechť

B ≔ {lim sup}_{n \to \infty} b_{n}

. Z definice

lim sup

existuje vybraná posloupnost

(b_{n_{k}})

taková, že

\lim_{k \to \infty} b_{n_{k}} = B

. Potom

\lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} b_{n_{k}} = A B

. Nechť

(a_{n}^{'} b_{n}^{'})

je libovolná vybraná posloupnost z

a_{n} b_{n}

, která má nějakou limitu

C

, potom

\lim_{n \to \infty} b_{n}^{'} = \frac{C}{A}

. To musí být opět z definice

lim sup

menší nebo rovno

B

, z čehož plyne

C \leq A B

Cvičení. Na

Ω ≔ ℂ ∖ {\pm i}

definujme funkci

f (z) ≔ \frac{1}{z^{2} + 1}

Vyjádřete tuto funkci jako mocninnou řadu kolem daného

z_{0} \in Ω

. Určete poloměr konvergence.

Řešení

Rozložíme si funkci na parciální zlomky:

f (z) = \frac{i}{2 (z + i)} - \frac{i}{2 (z - i)}

Upravením do vhodného tvaru a aplikací vzorečku pro geometrickou řadu dostáváme

f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{i}{2 (z_{0} + i)} {(\frac{- 1}{z_{0} + i})}^{n} - \frac{i}{2 (z_{0} - i)} {(\frac{- 1}{z_{0} - i})}^{n}) {(z - z_{0})}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} i}{2} (\frac{1}{{(z_{0} + i)}^{n + 1}} - \frac{1}{{(z_{0} - i)}^{n + 1}}) {(z - z_{0})}^{n}

Poloměr konvergence můžeme určit jako vzdálenost od nejbližší singularity, tedy

R = \min {| z_{0} + i |, | z_{0} - i |}

Věta. Nechť

A \subset ℂ

nemá hromadný bod a

f \in H (ℂ ∖ A)

nemá odstranitelnou singularitu v žádném bodě

A

. Potom pro všechna

z_{0} \in ℂ ∖ A

lze

f

vyjádřit jako mocninnou řadu se středem

z_{0}

a poloměrem konvergence

R ≔ dist (z_{0}, A) > 0

Důkaz. Poloměr konvergence je alespoň

R

, protože holomorfní funkci můžeme vyjádřit mocninnou řadou na každém disku, který se vejde do jejího definičního oboru. Kdyby byl větší než

R

, potom bychom funkci mohli v nějakém

a \in A

dodefinovat tak, aby byla pořád holomorfní, takže singularita by byla odstranitelná.

Poznámka. Nechť

f \in H (Ω), z_{0} = x_{0} + i y_{0} \in Ω, f^{'} (z_{0}) ≕ α + i β \neq 0

. Vezmeme-li

f

jako funkci

ℝ^{2} \to ℝ^{2}

, potom snadno ověříme, že jakobián je nenulový, takže má inverzi na okolí

(x_{0}, y_{0})

Cvičení. Nechť

Ω \subset ℂ

je souvislá. Najďěte všechny

f \in H (Ω)

takové, že

f (Ω) \subset ℝ

Řešení

Označíme

f (x + i y) = u + i v

, přičemž

v = 0

. Podle Cauchy-Riemannových rovnic máme

\partial_{x} u = \partial_{y} v = 0

\partial_{y} u = - \partial_{x} v = 0

Z toho a z předpokladu souvislosti plyne, že

u

je konstanta. Tudíž tuto vlastnost mají jen konstantní funkce.

Cvičení. Spočtěte

\int_{[i, 2 + 3 i]} z \exp z^{2} d z

Stejnoměrná konvergence posloupnosti holomorfních funkcí

Věta (Cauchyův odhad). Nechť

a \in ℂ, R \in ℝ^{+}, f \in H (D (a, R))

| f |

je na

D (a, R)

omezená konstantou

M \in ℝ^{+}

. Potom

\forall n \in ℕ_{0} : | f^{(n)} (a) | \leq \frac{n! M}{R^{n}}

Důkaz. Vyjádříme si

f

jako mocninnou řadu:

f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

Z Parsevalovy rovnosti pro každé

n \in ℕ_{0}

dostáváme

{| c_{n} |}^{2} r^{2 n} \leq \sum_{k = 0}^{\infty} {| c_{n} |}^{2} r^{2 n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {| f (a + r \exp i θ) |}^{2} d θ \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} M^{2} d θ \leq M^{2}

Odmocněním a použitím Taylorova vztahu

c_{n} ≔ \frac{f^{(n)} (a)}{n!}

dostáváme znění věty.

Poznámka. Liouvillova věta říká, že tento odhad platí i pro

R = \infty

Definice. Nechť

f_{j} : Ω \to ℂ

pro každé

j \in ℕ

f : Ω \to ℂ

. Posloupnost

(f_{j})

konverguje stejnoměrně na kompaktních podmnožinách

Ω

, pokud konverguje stejnoměrně k

f

na každé kompaktní

K \subset Ω

Definice. Nechť

f_{j} : Ω \to ℂ

pro každé

j \in ℕ

f : Ω \to ℂ

. Posloupnost

(f_{j})

konverguje lokálně stejnoměrně na

Ω

, pokud pro každé

a \in Ω

existuje okolí

U_{a} \subset Ω

, na němž

(f_{j})

konverguje stejnoměrně k

f

Poznámka. Posloupnost konverguje stejnoměrně na kompaktních podmnožinách, právě když konverguje lokálně stejnoměrně.

Důkaz.

(\Rightarrow)

Stačí zvolit

U_{a} ≔ D (a, r)

takové, že

U_{a} \subset Ω

(\Leftarrow)

Nechť

K \subset Ω

je kompaktní. Pro každé

a \in K

zvolíme

U_{a}

, na němž posloupnost konverguje stejnoměrně. Tato okolí tvoří pokrytí

K

, z něhož vybereme konečné podpokrytí. Potom v definici stejnoměrné konvergence stačí pro dané

ε

vybrat maximální

n_{0}

ze všech okolí z tohoto podpokrytí.

Věta. Nechť

f_{j} \in H (Ω)

pro každé

j \in ℕ

(f_{j})

konverguje stejnoměrně k

f : Ω \to ℂ

na kompaktních podmnožinách

Ω

. Potom

f \in H (Ω)

f_{j}^{'} ⇉ f^{'}

na kompaktních podmnožinách

Ω

Důkaz. Pro dané

a \in Ω

zvolme

r \in ℝ^{+}

takové, aby

D (a, e) \subset Ω

. Podle předpokladu je

f_{j} ⇉ f

D (a, r)

, takže

f \in 𝒞 (D (a, r))

. Z toho plyne

f \in 𝒞 (Ω)

. Vezměme trojúhelník

Δ \subset Ω

. Podle Goursatovy věty je

\int_{\partial Δ} f = \int_{\partial Δ} \lim_{j \to \infty} f_{j} = \lim_{j \to \infty} \int_{\partial Δ} f_{j} = 0

(kde limitu a integrál můžeme prohodit, protože konvergence je stejnoměrná). Podle Morerovy věty je i

f \in H (Ω)

. Vezměme opět

a \in Ω

libovolné a

r \in ℝ^{+}

takové, že

D (a, e) \subset Ω

. Označme

K_{1} ≔ D (a, \frac{r}{2}), K_{2} ≔ D (a, r)

Z předpokladu plyne, že

{‖ f_{j} - f ‖}_{𝒞 (K_{2})} \to 0

(tím se myslí maximová norma). Vezmeme-li

w \in K_{1}

, potom

K_{3} ≔ D (w, \frac{r}{2}) \subset K_{2}

. Z toho pomocí Cauchyova odhadu máme

| f_{j}^{'} (w) - f^{'} (w) | = | {(f_{j} - f)}^{'} (w) | \leq \frac{1!}{\frac{r}{2}} \max_{z \in K_{3}} \max | (f_{j} - f) (z) | \leq \frac{2}{r} {‖ f_{j} - f ‖}_{𝒞 (K_{2})}

Odsud máme

{‖ f_{j}^{'} - f^{'} ‖}_{𝒞 (K_{1})} \leq \frac{2}{r} {‖ f_{j} - f ‖}_{𝒞 (K_{1})} \to 0

Tedy

f_{j}^{'} ⇉ f^{'}

U_{a} ≔ K_{1}^{\circ} = D (a, \frac{r}{2})

Obecná Cauchyova věta

Definice. Nechť

Γ ≔ (γ_{1}, \dots, γ_{n})

je soubor regulárních uzavřených křivek v

Ω

. Značíme

⟨ Γ ⟩ ≔ ⋃_{j = 1}^{n} ⟨ γ_{j} ⟩

Pro

f \in 𝒞 (⟨ Γ ⟩)

značíme

\int_{Γ} f ≔ \sum_{i = 1}^{n} \int_{γ_{j}} f

Pro

a \in ℂ ∖ ⟨ Γ ⟩

značíme

{ind}_{Γ} (a) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{d z}{z - a} = \sum_{j = 1}^{n} {ind}_{γ_{j}} (a)

Poznámka. Je-li

n = 1

, potom tyto definice zjevně odpovídají, pokud identifikujeme

Γ = γ_{1}

Poznámka. Identifikujeme-li symbolicky

Γ = \sum_{j = 1}^{n} γ_{n}

, potom

γ \mapsto \int_{γ} f

je lineární funkcionál na prostoru křivek.

Věta (Cauchy). Nechť

Γ

je soubor uzavřených křivek v

Ω

\forall a \in ℂ ∖ Ω : {ind}_{Γ} (a) = 0

f \in H (Ω)

. Potom

$\begin{matrix} \int_{Γ} f = 0 & (C a u c h y o v a v \overset{ˇ}{e} t a) \end{matrix}$
$\begin{matrix} \forall z \in Ω ∖ ⟨ Γ ⟩ : \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w)}{w - z} d w = {ind}_{Γ} (z) \cdot f (z) & (C a u c h y \overset{˚}{u} v v z o r e c) \end{matrix}$

Důkaz. Definujme

g : Ω^{2} \to ℂ

jako

g (z, w) ≔ {\begin{matrix} \frac{f (z) - f (w)}{z - w}, & z \neq w \\ f^{'} (z), & z = w \end{matrix}

Nejprve dokážeme, že

g \in 𝒞 (Ω^{2})

. V bodech, kde

z \neq w

, je to zřejmé. Zároveň máme

f (z) - f (w) = \int_{0}^{1} \frac{d}{d t} f (w + t (z - w)) d t = (z - w) \int_{0}^{1} f^{'} (w + t (z - w)) d t

Neboli pro každá

z, w \in Ω

(i v případě

z = w

) platí

g (z, w) = \int_{0}^{1} f^{'} (z + t (z - w)) d t

Vezmeme-li libovolné

a \in Ω

, potom

\lim_{z, w \to a} g (z, w) = \lim_{z, w \to a} \int_{0}^{1} f^{'} (z + t (z - w)) d t = \int_{0}^{1} f^{'} (a) d t = f^{'} (a) = g (a, a)

přičemž můžeme prohodit integrál a limitu, protože

f^{'}

je spojitá, takže na nějakém kompaktním okolí bodu

a

je omezená. Nyní pro

z \in Ω

definujme

h (z) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} g (z, w) d w

Dokážeme, že

h \in H (Ω)

. Pro pevné pevné

w \in Ω

snadno ověříme, že funkce

z \mapsto g (z, w)

je holomorfní: pro

z \neq w

je to zřejmé a jelikož

g

je spojitá, singularita v

z = w

je odstranitelná. Nyní vezměme trojúhelník

Δ \subset Ω

, potom

2 π i \int_{\partial Δ} h = \int_{\partial Δ} \int_{Γ} g (z, w) d w d z \overset{\overset{}{Fubini}}{=} \int_{Γ} \int_{\partial Δ} g (z, w) d z d w \overset{\overset{}{Goursat}}{=} \int_{Γ} 0 d w = 0 \overset{\overset{}{Morera}}{\to} h \in H (Ω)

kde Fubiniho větu můžeme použít, protože

⟨ \partial Δ ⟩ \times ⟨ Γ ⟩

je kompaktní a

g

je spojitá. Teď dokážeme, že

h (z) = 0

. Definujme

Ω_{1} ≔ {z \in ℂ ∖ ⟨ Γ ⟩ | {ind}_{Γ} (z) = 0}

Podle předpokladu je

ℂ ∖ Ω \subset Ω_{1}

, tedy

Ω \cup Ω_{1} = ℂ

. Definujme funkci

h_{1} : Ω_{1} \to ℂ

h_{1} (z) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w)}{w - z} d w

Zřejmě

h_{1} \in H (Ω_{1})

(jmenovatel zlomku nikdy nebude nula, protože

z \in Ω_{1} ⟹ z \notin ⟨ Γ ⟩

). Jelikož pro

z \in Ω

{ind}_{γ} (z) = 0

, pro každé

z \in Ω \cap Ω_{1}

platí

h_{1} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w)}{w - z} d w - {ind}_{Γ} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w) - f (z)}{w - z} d w = \frac{1}{2 π i} g (z, w) d w = h (z)

Tudíž je možné spojit

h

h_{1}

do jedné funkce

φ \in H (ℂ)

. Vezměme

R \in ℝ^{+}

takové, že

⟨ Γ ⟩ \subset D (0, R)

. Potom pro každé

z \in ℂ ∖ D (0, R)

{ind}_{Γ} (z) = 0

, takže

z \in Ω_{1}

, z čehož plyne

φ (z) = h_{1} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w)}{w - z} d w \overset{\overset{}{| z | \to \infty}}{\to} 0

Tudíž

φ

je omezená a podle Liouvillovy věty je nulová. Speciálně pro

z \in Ω ∖ ⟨ Γ ⟩

máme

0 = φ (z) = h (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (z) - f (w)}{z - w} d w = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w)}{w - z} d w - {ind}_{Γ} (z) \cdot f (z)

což je přesně tvrzení Cauchyova vzorce. Zbývá dokázat Cauchyovu větu. Vezměme libovolné

a \in Ω ∖ ⟨ Γ ⟩

. Pro

z \in Ω

definujme

F (z) ≔ (z - a) \cdot f (z)

Zjevně

F \in H (Ω)

. Z Cauchyova vzorce plyne

\int_{Γ} f (z) d z = \int_{Γ} \frac{F (z)}{z - a} d z = 2 π i \cdot {ind}_{Γ} (a) \cdot F (a) = 0

Důsledek. Nechť

Γ_{0}, Γ_{1}

jsou soubory regulárních uzavřených křivek v

Ω

a pro všechna

a \in C ∖ Ω

{ind}_{Γ_{0}} (a) = {ind}_{Γ_{1}} (a)

. Potom pro každou

f \in H (Ω)

\int_{Γ_{0}} f = \int_{Γ_{1}} f

Důkaz. Nechť

Γ_{0} = (γ_{1}, \dots, γ_{m}), Γ_{1} = (η_{1}, \dots, η_{n})

. Definujme

Γ ≔ (γ_{1}, \dots, γ_{m}, - η_{1}, \dots, - η_{n})

(s vopáčnými křivkami). Potom pro všechna

a \in C ∖ Ω

{ind}_{Γ} (a) = {ind}_{Γ_{0}} (a) - {ind}_{Γ_{1}} (a) = 0

a stačí použít Cauchyovu větu.

Důsledek. Nechť

γ

je regulární Jordanova křivka v

Ω

int Γ \subset Ω

. Potom

\forall f \in H (Ω) : \int_{γ} f = 0

Důkaz. Vezmeme

Γ ≔ ⟨ Γ ⟩

a použijeme Cauchyovu větu s vědomím, že

\forall a \in ℂ ∖ Ω \subset ext γ : {ind}_{γ} (a) = 0

Souvislost s homotopií

Definice. Uzavřené křivky

γ_{0}, γ_{1} : [α, β] \to Ω

jsou homotopické v

Ω

, pokud existuje spojitá funkce

H : [α, β] \times [0,1] \to Ω

taková, že

$\forall s \in [0,1] : H (α, s) = H (β, s)$
$\forall t \in [α, β] : H (t, 0) = γ_{0} (t)$
$\forall t \in [α, β] : H (t, 1) = γ_{1} (t)$

Poznámka. Pro každé

s \in [0,1]

můžeme definovat křivku

γ_{s} (t) ≔ H (t, s)

, přičemž

γ_{0}, γ_{1}

odpovídají této definici.

Lemma. Nechť

γ_{0}, γ_{1}

jsou regulární uzavřené křivky v

ℂ

w \in ℂ

a křivky jsou k sobě blíž, než je jedna z nich k bodu

w

, formálně řečeno platí

\forall t \in [α, β] : | γ_{1} (t) - γ_{0} (t) | < | w - γ_{0} (t) |

Potom

{ind}_{γ_{0}} (w) = {ind}_{γ_{1}} (w)

Důkaz. Zjevně pro každě

t \in [α, β]

γ_{0} (t), γ_{1} (t) \neq w

, takže můžeme definovat

γ (t) ≔ \frac{w - γ_{1} (t)}{w - γ_{0} (t)}

To je zřejmě uzavřená křivka a platí

| γ (t) - 1 | = | \frac{γ_{0} (t) - γ_{1} (t)}{w - γ_{0} (t)} | < 1 ∴ ⟨ γ ⟩ \subset D (1,1)

Tudíž

0

patří do neomezené souvislé komponenty

ℂ ∖ ⟨ γ ⟩

, takže

0 = {ind}_{γ} (0) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{d z}{z} = \frac{1}{2 π i} \int_{α}^{β} \frac{γ^{'} (t)}{γ (t)} d t = \frac{1}{2 π i} \int_{α}^{β} \frac{γ_{1}^{'} (t)}{γ_{1} (t) - w} d t - \frac{1}{2 π i} \int_{α}^{β} \frac{γ_{0}^{'} (t)}{γ_{0} (t) - w} d t = {ind}_{γ_{1}} (w) - {ind}_{γ_{0}} (w)

Věta. Nechť

γ_{0}, γ

jsou regulární uzavřené křivky v

Ω

a jsou homotopické. Potom pro každé

w \in ℂ ∖ Ω

{ind}_{γ_{0}} (w) = {ind}_{γ} (w)

Důkaz. Nechť bez újmy na obecnosti jsou

γ_{0}, γ

definované na intervalu

[0,1]

. Jelikož jejich homotopie

H : [0,1] \times [0,1] \to Ω

je spojitá na kompaktní množině, je stejnoměrně spojitá a její obraz

H ([0,1] \times [0,1])

je kompaktní, tedy i uzavřený, z čehož plyne

dist (w, H ([0,1] \times [0,1]))

(jelikož

w \notin Ω

). Zvolme

ε \in ℝ^{+}

takové, že

\forall t, s \in [0,1] : | H (t, s) - w | > 2 ε

. Z definice spojitosti existuje

n \in ℕ

takové, že

\forall t, s, t^{'}, s^{'} \in [0,1] : | t - t^{'} | + | s - s^{'} | < \frac{1}{n} ⟹ | H (t, s) - H (t^{'}, s^{'}) | < ε

Pro každé

t \in [0,1], k - 0, \dots, n

položme

γ_{k} (t) ≔ H (t, \frac{k}{n})

. Potom

γ_{0}

odpovídá původnímu

γ_{0}

γ_{n} = γ

. Pro každé

k

definujme

{\tilde{γ}}_{k}

jako lineární aproximaci

γ_{k}

\forall j = 0, \dots, n : {\tilde{γ}}_{k} (\frac{j}{n}) ≔ γ_{k} (\frac{j}{n})

\forall j = 1, \dots, n, t \in (\frac{j - 1}{n}, \frac{j}{n}) : {\tilde{γ}}_{k} (t) ≔ n \cdot ((\frac{j}{n} - t) γ_{k} (\frac{j - 1}{n}) + (t - \frac{j - 1}{n}) γ_{k} (\frac{j}{n}))

Zjevně

{\tilde{γ}}_{k}

jsou regulární uzavřené křivky. Pro každé

k, t

platí (s vhodně zvoleným

j

)

\begin{aligned} | {\tilde{γ}}_{k} (t) - γ_{k} (t) | & = | (j - n t) γ_{k} (\frac{j - 1}{n}) + (n t - j + 1) γ_{k} (\frac{j}{n}) - γ_{k} (t) | \\ \leq (j - n t) | γ_{k} (\frac{j - 1}{n}) - γ_{k} (t) | + (n t - j - 1) | γ_{k} (\frac{j}{n}) - γ_{k} (t) | \\ = (j - n t) | H (\frac{j - 1}{n}, \frac{k}{n}) - H (t, \frac{k}{n}) | + (n t - j - 1) | H (\frac{j}{n}, \frac{k}{n}) - H (t, \frac{k}{n}) | \\ < (j - n t) ε + (n t - j - 1) ε = ε \end{aligned}

Z toho plyne, že

| {\tilde{γ}}_{k} (t) - w | \geq | γ_{k} (t) - w | - | {\tilde{γ}}_{k} (t) - γ_{k} (t) | > ε

. Podobně pro

k \geq 1

dokážeme

| {\tilde{γ}}_{k} (t) - {\tilde{γ}}_{k - 1} (t) | < ε

, z čehož společně s předtím dokázaným tvrzením máme

| {\tilde{γ}}_{k} (t) - {\tilde{γ}}_{k - 1} (t) | < | {\tilde{γ}}_{k} (t) - w |

Podle lemmatu pro všechna

k = 1, \dots, n

platí

{ind}_{{\tilde{γ}}_{k}} (w) = {ind}_{{\tilde{γ}}_{k - 1}} (w)

Zároveň je

| {\tilde{γ}}_{k} (t) - γ_{k} (t) | < ε < 2 ε < | w - γ_{k} (t) |

, takže podle lemmatu

{ind}_{{\tilde{γ}}_{k}} (w) = {ind}_{γ_{k}} (w)

Poskládáním rovností dostaneme tvrzení věty.

Poznámka. Je-li

γ

konstantní křivka, potom zjevně z definice její index ve všech bodech kromě toho jednoho je

0

Důsledek. Nechť

γ

je regulární uzavřená křivka v

Ω

homotopická nule. Potom pro všechny

f \in H (Ω)

platí

$\int_{γ} f = 0$
$\forall z \in Ω ∖ ⟨ γ ⟩ : \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (w)}{w - z} d w = {ind}_{γ} (z) \cdot f (z)$

Důkaz. Speciální případ Cauchyovy věty.

Poznámka. Je-li

Ω

jednoduše souvislá, potom to platí pro všechny uzavřené křivky.

Důsledek. Nechť

γ_{1}, γ_{2}

jsou dvě homotopické křivky v

Ω

. Potom pro všechny

f \in H (Ω)

platí

\int_{γ_{1}} f = \int_{γ_{2}} f

Důkaz. Použijeme Cauchyovu větu na soubor

Γ ≔ (- γ_{1}, γ_{2})

Laurentovy řady

Definice. Nechť

a \in ℂ

r_{1}, r_{2} \in [0, \infty], r_{1} < r_{2}

. Potom mezikruží se středem

a

a poloměry

r_{1}, r_{2}

P (a, r_{1}, r_{2}) ≔ {z \in ℂ | r_{1} < | z - a | < r_{2}} = D (a, r_{2}) ∖ D (a, r_{1})

Poznámka. Speciálně:

P (a, 0, r) = D^{'} (a, r)

P (a, 0, \infty) = ℂ ∖ {a}

Definice. Nechť

a \in ℂ, {(c_{n})}_{n \in ℤ} \subset ℂ

. Potom Laurentova řada v proměnné

z

\sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n} = \underset{h l a v n \overset{ˊ}{ı} \overset{ˇ}{c} \overset{ˊ}{a} s t}{\underset{⏟}{\sum_{n = 1}^{\infty} c_{- n} {(z - a)}^{- n}}} + \underset{r e g u l \overset{ˊ}{a} r n \overset{ˊ}{ı} \overset{ˇ}{c} \overset{ˊ}{a} s t}{\underset{⏟}{\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}}}

Věta. Nechť

a \in ℂ, {(c_{n})}_{n \in ℤ} \subset ℂ

. Označme

R_{+} ≔ p o l o m \overset{ˇ}{e} r k o n v e r g e n c e \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} w^{n}

R_{-} ≔ p o l o m \overset{ˇ}{e} r k o n v e r g e n c e \sum_{n = 1}^{\infty} c_{- n} w^{n}

Jestliže

\frac{1}{R_{-}} < R_{+}

, potom Laurentova řada konverguje lokálně stejnoměrně na

P (a, \frac{1}{R_{-}}, R_{+})

a její součet

f

je na tomto mezikruží holomorfní. Navíc pro každé

r \in (\frac{1}{R_{-}}, R_{+}), n \in ℤ

platí

c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (z)}{{(z - a)}^{n + 1}} d z

kde

γ_{r} (t) ≔ a + r \exp i t, t \in [0,2 π]

Důkaz. Důkaz konvergence z toho, co už známe, není složitý, máme si ho rozmyslet samostatně. Pro

m \in ℕ

definujme

f_{m} (z) ≔ \sum_{n = - m}^{m} c_{n} {(z - a)}^{n}

Zjevně

f_{m} \in H (P (a, \frac{1}{R_{-}}, R_{+}))

a na tomto mezikruží

f_{m}

lokálně stejnoměrně konverguje k

f

. Platí

{(z - a)}^{m} = \frac{1}{m + 1} {({(z - a)}^{m + 1})}^{'}

\frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} {(z - a)}^{m} d z = {\begin{matrix} ??? \end{matrix}

Něco se stejnoměrnou konvergencí na

⟨ γ_{r} ⟩

\frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (z)}{{(z - a)}^{n + 1}} d z = \sum_{k = - \infty}^{\infty} c_{k} \underset{δ_{k, m}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2 π i} \int_{r} \frac{d z}{{(z - a)}^{n + 1 - k}}}} = c_{n}

Důsledek. Nechť

a \in ℂ, r_{1}, r_{2} \in [0, \infty], r_{1} < r_{2}, f \in H (P (a, r_{1}, r_{2}))

. Lze-li

f

vyjádřit jako Laurentovu řadu, potom toto vyjádření je jednoznačné.

Důkaz. Z toho, že Laurentova řada koverguje k

f

, plyne

r_{1} \geq \frac{1}{R_{-}}, r_{2} \leq R_{+}

. Jelikož na mezikruží

P (a, \frac{1}{R_{-}}, R_{+})

máme vzoreček pro členy řady, řada je jednoznačná.

Poznámka. Mějme funkci vyjádřenou jako Laurentovu řadu na

P (a, r_{1}, r_{2})

f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

Nechť

γ

je uzavřená regulární křivka v

P (a, r_{1}, r_{2})

a pro každé

w \in D (a, r_{1})

{ind}_{γ} (w) = 1

. Potom pro všechna

n \in ℤ

platí

c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z)}{{(z - a)}^{n + 1}} d z

Důkaz. Do Cauchyovy věty vezměme

Ω ≔ P (a, r_{1}, r_{2})

. TBD

Lemma. Nechť

a \in ℂ, r \in ℝ^{+}

. Definujme

γ_{r} (t) ≔ a + r \exp i t, t \in [0,2 π]

. Nechť

f \in 𝒞 (⟨ γ_{r} ⟩)

. Označme

g : ℂ ∖ ⟨ γ_{2} ⟩ \to ℂ, g (z) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (w)}{w - z} d w

c_{n} ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (w)}{{(w - a)}^{n + 1}} d w

Potom pro všechna

z \in int γ_{r} = D (a, r)

platí

g (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

a pro všechna

z \in ext γ_{r} = ℂ ∖ D (a, r)

platí

g (z) = - \sum_{n = 1}^{\infty} c_{- n} {(z - a)}^{n}

TBD

Věta. Nechť

a \in ℂ, r_{1}, r_{2} \in [0, \infty], r_{1} < r_{2}, f \in H (P (a, r_{1}, r_{2}))

. Potom

f

lze jednoznačně vyjádřit jako Laurentovu řadu.

Důkaz. Jednoznačnost je již dokázána, stačí tedy existence. Zvolme

ρ_{1}, ρ_{2} \in (r_{1}, r_{2}), ρ_{1} < ρ_{2}

. Pro každé

r \in (r_{1}, r_{2})

definujme

γ_{r} (t) ≔ a + r \exp i t, t \in [0,2 π]

. Pro

n \in ℤ

označme

c_{n} ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (w)}{{(w - a)}^{n + 1}} d w

Dále označme

f_{+} : ℂ ∖ ⟨ γ_{ρ_{2}} ⟩ \to ℂ, f_{+} (z) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{ρ_{2}}} \frac{f (w)}{w - z} d w

f_{-} : ℂ ∖ ⟨ γ_{ρ_{1}} ⟩ \to ℂ, f_{+} (z) ≔ - \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{ρ_{1}}} \frac{f (w)}{w - z} d w

Vezměme

Ω ≔ P (a, r_{1}, r_{2}), Γ ≔ (- γ_{ρ_{1}}, γ_{ρ_{2}})

. Pro každé

w \in D (a, r_{1})

{ind}_{Γ} (w) = 1

a stejně tak pro každé

w \in C ∖ D (a, r_{2})

, takže dohromady to platí pro celé

ℂ ∖ Ω

. Zároveň pro každé

z \in P (a, ρ_{1}, ρ_{2})

{ind}_{Γ} (z) = 1

. Z obecného Cauchyova vzorce dostaneme pro

z \in P (a, ρ_{1}, ρ_{2})

f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w)}{w - z} d w = f_{-} (z) + f_{+} (z)

Podle předchozího lemmatu můžeme pro

z \in D (a, ρ_{2})

vyjádřit

f_{+} (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}, c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{ρ_{2}}} \frac{f (w)}{{(w - a)}^{n + 1}} d w = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (w)}{{(w - a)}^{n + 1}} d w

f_{-} (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{- n} {(z - a)}^{n}, c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{ρ_{1}}} \frac{f (w)}{{(w - a)}^{n + 1}} d w = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (w)}{{(w - a)}^{n + 1}} d w

Dohromady máme

f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

Jelikož jsme

ρ_{1}, ρ_{2}

volili libovolně, platí to na celém

P (a, r_{1}, r_{2})

, což jsme chtěli dokázat.

Poznámka (izolovaná singularita). Nechť

f \in H (D^{'} (a, r))

. Podle předchozí věty můžeme

f

vyjádřit na

D^{'} (a, r) = P (a, 0, r)

jako Laurentovu řadu:

f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

Potom

singularita je odstranitelná, právě když $\forall n \in ℤ^{-} : c_{n} = 0$ (neboli $f$ lze vyjádřit jako mocninnou řadu),
singularita je pól řádu $m \in ℕ$ , právě když $c_{- m} \neq 0$ a $\forall n \in ℤ^{-}, n < m : c_{n} = 0$ (plyne přímo z definice pólu),
singularita je podstatná, právě když $\exists_{\infty} n \in ℤ^{-} : c_{n} \neq 0$ (plyne z toho, že to je doplněk zbylých dvou možností).

Poznámka. Nechť

f \in H (P (a, r_{1}, r_{2}))

. Potom nutně

R_{+} \geq r_{2}, R_{-} \geq \frac{1}{r_{1}}

. Označme

Q (z) ≔ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{- n}}{{(z - a)}^{n}}

Potom

Q \in H (ℂ ∖ D (a, r_{1}))

. Speciálně pro

r_{1} = 0

Q \in H (ℂ ∖ {a})

Funkce komplexní proměnné

Literatura

Rozdíly ve značení

Souvislost a křivky

Variace

Riemannův-Stieltjesův integrál

Holomorfní funkce

Analytické funkce

Cvičení

Křivkový integrál

Goursatova věta

Cauchyova věta pro konvexní množiny

Kořeny holomorfních funkcí

Izolované singularity holomorfní funkce

Liouvillova věta

Cvičení

Princip maximálního modulu

Stejnoměrná konvergence posloupnosti holomorfních funkcí

Obecná Cauchyova věta

Souvislost s homotopií

Laurentovy řady

Reziduová věta

Meromorfní funkce