[REKLAMA]

Funkcionální analýza

Zápočet: nejvýše dvě absence na cvičení

Téma: nekonečně-rozměrné vektorové prostory

Literatura:

Obsah

  1. Rozdíly ve značení
  2. Topologické prostory
  3. Vnitřky a uzávěry
  4. Hromadné body
  5. Báze a součinové topologie
  6. Separabilita
  7. Spojitost
  8. Oddělitelnost
  9. Relativní topologie
  10. Kompaktnost
  11. Konvergence
  12. Metrické prostory
  13. Kompaktnost a metrické prostory
  14. Úplné prostory
  15. Pseudometrické prostory
  16. Tady už jsem vzdal myšlenku, že to bude nějak roztříděné do sekcí
  17. Topologické vektorové prostory
  18. Metrické vektorové prostory
  19. Normované vektorové prostory
  20. Banachovy prostory
  21. Konvergence v normovaných prostorech
  22. Lebesgueovy prostory
  23. Zatím nezařazeno
  24. Hilbertovy prostory
Komiksový vtip. Student povídá studentce: “How do you like your topology class?” Studentka na to: “I was hoping for more donuts.”

Tyto zápisky jsou velmi pomíchané, protože to prof. Šťovíček na přednášce a na cvičení vykládal v úplně jiném pořadí. O zkouškovém se pokusím zavést dobré uspořádání.

Rozdíly ve značení

Moje značen튝ovíčkovo značeníVýznam
Ahromadneˊ body Amnožina všech hromadných bodů množiny A
AcτA=Amnožina A je uzavřená
0+[0,)nezáporná reálná čísla
+(0,)kladná reálná čísla
xpx1pp-tá odmocnina z x
VWVW podprostorV je lineární podprostor lineárního prostoru W
Rereálná část
Imimaginární část
x|yx,yskalární součin x a y
x0=arg minxXf(x)f(x)xXmin pro x=x0funkce f nabývá svého minima v bodě x0
AXRanAobor hodnot lineárního zobrazení A z prostoru X

Topologické prostory

Definice. Nechť X je množina, potom její potenční množina je 𝒫(X){M|MX}.
Definice. Nechť A,B jsou množiny, potom BA je množina všech funkcí z A do B. Je-li |B|=n, píšeme také nA. Speciálně potenční množinu X lze tedy také značit 2X.
Definice. Nechť X je množina a τ𝒫(X). Dvojice (X,τ) je topologický prostor na X, pokud τ je topologie a její prvky se nazývají otevřené množiny.
Definice. Nechť (X,τ) je topologický prostor. Kotopologie je množina cτ{XM|Mτ} Prvky cτ se nazývají uzavřené množiny.
Věta. Nechť (X,τ) je topologický prostor. Pro kotopologii platí
Komiksový vtip. Obchod s cedulí “Not Closed”. Přijde zákazník a snaží se otevřít dveře, ale nejde to. Uvnitř se objeví majitel obchodu, otočí ceduli a zlověstně se usměje. Na druhé straně cedule je nápis “Not Open Either”. Pod posledním okénkem je nápis “Scumbag topologist 'opens' a store”.

Vnitřky a uzávěry

Definice. Nechť (X,τ) je topologický prostor a MX. Potom vnitřek M a uzávěr M jsou M°{G|Gτ,GM} M{F|Fcτ,FM}
Věta. XM°=XM
Věta. XM=(XM)°
Věta. MN=MN
Věta. (MN)°=M°N°
Věta. MNMN
Věta. (MN)°M°N°

Důkazy viz skripta Dr. Štampacha nebo se dají celkem snadno vymyslet.

Definice. Nechť (X,τ) je topologický prostor, xX a UX. U je okolí x, pokud xU°.
Věta. Nechť (X,τ) je topologický prostor, xX a UX. Potom xM(U okolıˊ x)(UM)
Věta. Nechť (X,τ) je topologický prostor a MX. Potom Mτ(xM)(U okolıˊ X)(UM)
Definice. Nechť (X,τ) je topologický prostor. Řekneme, že MX je hustá v X, pokud M=X.
Věta. Nechť (X,τ) je topologický prostor a MX. Následující tři výroky jsou ekvivalentní:
  1. M je hustá v X
  2. (XM)°=
  3. Gτ{}:GM
[REKLAMA]

Hromadné body

Definice. Nechť (X,τ) je topologický prostor, MX a xX. x je hromadný bod M, pokud (U okolıˊ x)((U{x})M) Bod xM je izolovaný, pokud není hromadný, neboli (U okolıˊ x)(UM={x}). (Izolovaný bod na rozdíl od hromadného musí v množině ležet!)
Věta. Nechť (X,τ) je topologický prostor a MX. Potom MM=MM.
Důsledek. Nechť (X,τ) je topologický prostor a MX. Potom M je sjednocením disjunktních množin: M=Mi(MM)(MM).
Důsledek. Nechť (X,τ) je topologický prostor a MX. Potom McτMM. Speciálně M=Mcτ.

Báze a součinové topologie

Definice. Nechť (X,τ) je topologický prostor. τ je báze τ, pokud τ={~|~}
Věta. Nechť (X,τ) je topologický prostor a je báze τ. Potom pro každé MX platí Mτ(xM)(G)(xGM)
Věta. Nechť X je množina. Systém 𝒢𝒫(X) je bází nějaké topologie právě tehdy, pokud
Věta. Nechť X je množina se dvěma topologiemi τ1,τ2 generovanými bázemi 1,2. Potom τ1=τ21τ22τ1
Věta. Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou topologické prostory. Potom {U×V|UτX,VτY} je báze nějaké topologie τXτY na X×Y.
Věta. Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou topologické prostory s bázemi X,Y. Potom {U×V|UX,VY} je báze topologie τXτY.
Definice. Nechť (X,τ) je topologický prostor, xX. Systém xτ je báze okolí (lokální báze) v bodě x, pokud (Bx)(xB)(U okolıˊ x)(B)(BU)

Separabilita

Definice. Topologický prostor (X,τ) je separabilní, pokud existuje spočetná množina S taková, že S=X.
Definice. Topologický prostor (X,τ) splňuje druhý axiom spočetnosti, pokud má spočetnou bázi.
Věta. Pokud topologický prostor (X,τ) splňuje druhý axiom spočetnosti, potom je separabilní.

Spojitost

Definice. Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou topologické prostory. Funkce f:XY je spojitá v x0X, pokud (V okolıˊ f(x0))(U okolıˊ x0)(f(U)V)
Věta. Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou topologické prostory. Funkce f:XY je spojitá v x0X právě tehdy, pokud (VτY,f(x0)V)(x0f1(V)°)
Definice. Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou topologické prostory. Funkce f:XY je spojitá, pokud (VτY)(f1(V)τX)
Věta. Složení dvou spojitých funkcí je spojitá funkce.
Věta. Funkce je spojitá právě tehdy, pokud je spojitá ve všech bodech.
Věta. Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou topologické prostory. Potom funkce pX:X×YX,pX(x,y)x je spojitá.
[REKLAMA]

Oddělitelnost

Definice. Topologický prostor (X,τ) je T1-prostor, pokud (x,yX,xy)(Uτ)(xUyU)
Definice. Topologický prostor (X,τ) je T2-prostor (Hausdorffův), pokud (x,yX,xy)(U,Vτ)(xUyVUV=)
Definice. Topologický prostor (X,τ) je regulární, pokud (Acτ)(xXA)(U,Vτ)(xUAVUV=) Je-li navíc T1-prostor, potom je T3-prostor.
Definice. Topologický prostor (X,τ) je normální, pokud (A,Bcτ,AB=)(U,Vτ)(AUBVUV=) Je-li navíc T1-prostor, potom je T4-prostor.
Věta. Topologický prostor (X,τ) je T1 právě tehdy, pokud každá jednoprvková množina je uzavřená.
Obrázkové makro. “Car Salesman: *slaps roof of Hausdorff space* This bad boy can fit open sets 𝑈, 𝑉 containing 𝑥, 𝑦 such that 𝑈 ∩ 𝑉 = ∅”.
Cvičení. Mějme topologické prostory (X,{,X}),(Y,τY), kde (Y,τY) je T1. Najděte všechny spojité funkce f:XY.
ŘešeníNechť xX. Potom Yf(x) je otevřená množina, takže f1(Yf(x)) musí být taky otevřená. Pokud to je , potom (xX)(f(x)=f(x)). Pokud to je X, potom f(x)f(X), což je spor. Tedy f musí být konstantní funkce.
Cvičení. Mějme topologické prostory (X,𝒫(X)),(Y,τY). Najděte všechny spojité funkce f:XY.
ŘešeníÚplně všechny jsou spojité.
Cvičení. Nechť X{a,b},τ{,{a},{a,b}}. Dokažte, že (X,τ) je topologie, a vyšetřete axiomy oddělitelnosti.

Relativní topologie

Definice. Nechť (X,τ) je topologický prostor a YX. Potom τY{GY|Gτ} je relativní topologie na Y.
Věta. Nechť (X,τ) je topologický prostor. Pro danou množinu MY značíme MY její uzávěr v (Y,τY). Potom MY=M.

Kompaktnost

Definice. Topologický prostor (X,τ) je kompaktní, pokud každé otevřené pokrytí má konečné podpokrytí, tedy (𝒢τ,𝒢=X)(𝒢~𝒢,|𝒢~|<)(𝒢~=X) Množina MX je kompaktní, jestliže prostor M,τM je kompaktní.
Věta. Topologický prostor (X,τ) je kompaktní právě tehdy, pokud (cτ)((~,|~|<)(~))
Věta. Nechť (X,τ) je topologický prostor. Množina MX je kompaktní právě tehdy, pokud (𝒢τ,𝒢M)(𝒢~𝒢,|𝒢~|<)(𝒢~M)
Věta. Nechť (X,τ) je kompaktní topologický prostor. Potom každá množina Mcτ je kompaktní.
Věta. Nechť (X,τ) je kompaktní topologický prostor. Potom každá nekonečná množina MX má hromadný bod.
Věta. Nechť (X,τ) je Hausdorffův prostor. Potom každá kompaktní množina KX je uzavřená.
Důkaz. Nechť xXK. Pro každé yK existují disjunktní otevřená okolí Vyy,Uyx. Potom Vy je otevřené pokrytí K, takže má konečné podpokrytí {Vy1,,Vyn}. Nechť Uk=1nUyk. Z konstrukce je xUτ,UK=. Kolem každého prvku XK jsme našli otevřené okolí, takže XK je otevřená.
Věta. Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou topologické prostory, (X,τX) je kompaktní a f:XY je spojitá. Potom f(X) je kompaktní.
Definice. Topologický prostor (X,τ) je lokálně kompaktní, pokud každý bod má kompaktní okolí.
Lemma. Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou topologické prostory a x0X. Potom funkce f:YX×X,f(y)(x0,y) je spojitá.
Lemma. Nechť (X,τX),(Y,τY),(Z,τZ) jsou topologické prostory, g:X×YZ je spojité a x0X. Potom funkce h:YZ,h(y)g(x0,y) je spojitá.
Lemma (tubulární). Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou topologické prostory, x0X, KY je kompaktní a WτX×Y,{x0}×KW. Potom existuje otevřené okolí Ux0 takové, že U×KW.
𝑊 𝑈×𝐾 {𝑥₀}×𝐾
Věta. Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou kompaktní topologické prostory. Potom (X×Y,τX×Y) je kompaktní.
[REKLAMA]

Konvergence

Definice. Nechť (X,τ) je topologický prostor a (xn):X. Řekneme, že posloupnost (xn) konverguje k x, psáno xnx, pokud každé okolí x obsahuje všechny body (xn) až na konečně mnoho. x je poté limita xn.
Věta. Nechť (X,τ) je Hausdorffův prostor. Potom každá posloupnost (xn) má nejvýše jednu limitu.
Definice. Topologický prostor (X,τ) je sekvenciálně kompaktní, pokud každá posloupnost má konvergentní podposloupnost.

Metrické prostory

Definice. Nechť X je množina a ρ:X20+. (X,ρ) je metrický prostor, pokud platí Funkce ρ se pak nazývá metrika.
Definice. Nechť (X,ρ) je metrický prostor. Potom otevřená koule se středem xX o poloměru r+ je B(x,r){yX|ρ(x,y)<r}
Definice. Nechť (X,ρ) je metrický prostor. Potom uzavřená koule se středem xX o poloměru r+ je B(x,r){yX|ρ(x,y)r}
Věta. Nechť (X,ρ) je metrický prostor. Potom systém {B(x,r)|xX,r+} je báze nějaké topologie.
Definice. Nechť (X,ρ) je metrický prostor. Topologii generovanou bází z věty výše budeme brát jako topologii τ metrického prostoru.
Věta. Nechť (X,ρ) je metrický prostor a UX. Potom Uτ(xU)(yX,r+)(xB(y,r)U)(xX)(r+)(B(x,r)U) Tedy množina je otevřená, pokud v ní každý bod leží i s nějakou svou koulí.
Definice. Nechť X je množina. Diskrétní metrika je funkce ρd:X2,ρd(x,y)[xy].
Věta. Diskrétní metrika je metrika.
Věta. Nechť (X,ρ) je metrický prostor a xX,r+. Potom B(x,r)cτ.
Důsledek. Nechť (X,ρ) je metrický prostor a xX,r+. Potom B(x,r)B(x,r).
Definice. Nechť X je množina. Metriky ρ1,ρ2 na X jsou ekvivalentní, pokud A,B+,x,yX:Aρ1(x,y)ρ2(x,y)Bρ2(x,y)
Věta. Ekvivalence metrik je ekvivalence.
Věta. Nechť X je množina a ρ1,ρ2 jsou ekvivalentní metriky na X. Potom indukují stejné topologie τ1=τ2.
Věta. Nechť (X,ρX),(Y,ρY) jsou metrické prostory. Potom funkce ρX×Y,ρX×Y,ρX×Y:X×Y0+ definované jako ρX×Y((x1,y1),(x2,y2))ρX(x1,x2)+ρY(y1,y2) ρX×Y((x1,y1),(x2,y2))max{ρX(x1,x2),ρY(y1,y2)} ρX×Y((x1,y1),(x2,y2))ρX(x1,x2)2+ρY(y1,y2)2 jsou ekvivalentní metriky. Zároveň tX×Y bude vypadat stejně, ať už ji odvodíme z kterékoli z těchto metrik, nebo pomocí součinu topologií.
Věta. Nechť (X,ρ) je metrický prostor a (xn)X. Potom xnxlimnρ(xn,x)=0.
Věta. Nechť (X,ρ) je metrický prostor a SX. Potom Scτ((xn)S)(xnxXxS).
Věta. Každý metrický prostor (X,ρ) je T1, T2, T3 i T4.
Věta. Metrický prostor (X,ρ) splňuje druhý axiom spočetnosti právě tehdy, když je separabilní.
Věta. Nechť (X,ρX),(Y,ρY) jsou metrické prostory, x0X a f:XY. Potom f je spojitá, právě když (ε+)(δ+)(xB(x0,δ))(f(x)B(f(x0),ε))
Věta. Nechť (X,ρX),(Y,ρY) jsou metrické prostory a f:XY. Potom f je spojitá, právě když pro všechny (xn)X platí xnxXf(xn)f(x).
Věta. Nechť (X,ρ) je metrický prostor. Potom funkce ρ je spojitá.
[REKLAMA]

Kompaktnost a metrické prostory

Definice. Nechť (X,ρ) je metrický prostor. MX je omezená, pokud (xX,r+)(MB(x,r)).
Poznámka. Zřejmě:
Definice. Nechť (X,ρ) je metrický prostor, MX a ε+. Množina AX je ε-síť množiny M, pokud xAB(x,ε)M.
Věta. Nechť (X,ρ) je metrický prostor a množina AX je ε-síť množiny MX. Potom existuje množina A~M, která je 2ε-síť M a |A~||A|.
Definice. Nechť (X,ρ) je metrický prostor. MX je totálně omezená, pokud pro každé ε+ má konečnou ε-síť.
Poznámka. Zřejmě:
Lemma. Nechť (X,τ) je T1-prostor, MX a xM. Potom pro všechna U okolí x je množina MU nekonečná.
Lemma. Nechť (X,ρ) je metrický prostor. Pokud každá nekonečná množina MX má hromadný bod, potom X je totálně omezený.
Věta. Nechť (X,ρ) je metrický prostor a KM je kompaktní. Potom K je totálně omezená.
Věta. Kompaktní metrický prostor (X,ρ) je separabilní.
Věta. Nechť topologický prostor X,τ splňuje druhý axiom spočetnosti. Potom každé otevřené pokrytí X má spočetné podpokrytí.
Věta. Metrický prostor (X,ρ) je kompaktní právě tehdy, pokud každá nekonečná podmnožina má hromadný bod.
Věta. Metrický prostor (X,ρ) je sekvenciálně kompaktní právě tehdy, pokud každá nekonečná podmnožina má hromadný bod.
Důsledek. Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, pokud je sekvenciálně kompaktní.
Poznámka. Nechť M je uzavřená a omezená, (xn)M a ylim supxn, přičemž yM. Potom zjevně existuje vybraná posposloupnost (xn) taková, že y=limxn. Tedy M je sekvenčně kompaktní a tedy i kompaktní.
[REKLAMA]

Úplné prostory

Definice. Nechť (X,ρ) je metrický prostor. Posloupnost (xn)X je cauchyovská, pokud limm,nρ(xm,xn)=0.
Věta. Pokud posloupnost konverguje, potom je cauchyovská.
Věta. Pokud je posloupnost cauchyovská, potom je omezená.
Definice. Metrický prostor (X,ρ) je úplný, pokud každá cauchyovská posloupnost má limitu.
Věta. Nechť (X,θ) je úplný metrický prostor a YX. Potom metrický prostor (Y,ρY) je úplný právě tehdy, pokud Ycτ.
Lemma. Nechť (X,ρ) je metrický prostor, (xn)X je cauchyovská a podposloupnost (xnk) konverguje k y. Potom xny.
Věta. Nechť (X,ρ) je kompaktní metrický prostor. Potom (X,ρ) je úplný.
Věta. Metrický prostor (X,ρ) je kompaktní právě tehdy, pokud je úplný a totálně omezený.
Definice. Nechť (X,ρX),(Y,ρY) jsou metrické prostory. Funkce f:XY je izometrie, pokud x1,x2X:ρX(x1,x2)=ρY(f(x1),f(x2)). Pokud izometrie existuje, prostory jsou izometrické.
Poznámka. Zjevně platí:
Definice. Zúplnění (úplný obal) metrického prostoru (X,ρ) je úplný metrický prostor (X*,ρ*) takový, že existuje izometrie f:XX*,f(X)=X*.
Lemma. Nechť (X,τX),(Y,τY) jsou topologické prostory, (Y,τY) je Hausdorffův, f,g:XY jsou spojité a MX:M=X,f|M=g|M. Potom f=g.
Věta (o zúplnění). Každý metrický prostor má zúplnění, které je jednoznačné až na izometrii.

Pseudometrické prostory

Definice. Nechť X je množina a ρ:X20+. (X,ρ) je pseudometrický prostor, pokud platí Funkce ρ se pak nazývá pseudometrika.
Věta. Nechť (X,ρ) je pseudometrický prostor. Potom relace xyρ(x,y)=0 je ekvivalence.
Definice. Nechť (X,ρ) je pseudometrický prostor. Potom faktorprostor je X~X.
Věta. Nechť (X,ρ) je pseudometrický prostor. Potom funkce ρ~:X~20+,ρ~([x],[y])ρ(x,y) je dobře definovaná metrika.
Poznámka. Typickým příkladem pseudometrického prostoru je prostor lebesgueovsky integrabilních funkcí 1() s pseudometrikou ρ(f,g)|fg|. Faktorizací z něj dostaneme Lebesgueův prostor L1().
[REKLAMA]

Tady už jsem vzdal myšlenku, že to bude nějak roztříděné do sekcí

Věta. Nechť (K,τ) je kompaktní topologický prostor a f:K je spojitá. Potom f nabývá svého maxima.
Věta. Nechť (K,ρ) je kompaktní metrický prostor a f:K je spojitá. Potom f je stejnoměrně spojitá.
Věta. Na množině {x=(xn)ω|supn|xn|<} definujme normu xsupn|xn|. Potom to je skutečně norma.
Věta. Prostor není separabilní.
Definice. Topologický prostor (X,τ) je lokálně kompaktní, pokud každý bod má kompaktní okolí.
Věta (jednobodová kompaktifikace). Nechť (X,τ) je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor. Definujme X*X{},X a τ*τ{X*K|KX kompaktnıˊ}. Potom (X*,τ*) je kompaktní Hausdorffův prostor.
Věta. Nechť (X,ρ) je metrický prostor a f:X je stejnoměrně spojitá funkce. Potom f zobrazuje cauchyovské posloupnosti na cauchyovské.
Věta. Na vektorech 2 zaveďme normu (x,y)|x|p+|y|pp,p+. Potom je to norma, právě když p1.
Věta. Nechť (V,) je normovaný prostor. Potom funkce je stejnoměrně spojitá.
Věta. Nechť (K,ρ) je kompaktní metrický prostor. Pro spojité funkce f:K definujme fmax{|f(x)||xK}. Máme-li posloupnost funkcí (fn), potom fn konverguje v 𝒞(K) právě tehdy, pokud stejnoměrně konverguje na K.
Věta. Prostor 𝒞(k) z předchozí věty je úplný.
Věta. Nechť 𝒞b() je množina omezených spojitých reálných funkcí. Definujme na ní normu fsupxf(x). Potom tento prostor je úplný.
Věta. ??????????????????????????????
[REKLAMA]

Topologické vektorové prostory

Definice. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T a τ je topologie na V. (V,τ) je topologický vektorový prostor, pokud + a jsou spojitá zobrazení.
Věta. Nechť V je topologický vektorový prostor nad T a xV,λT,λ0. Potom
Věta. Nechť V je topologický vektorový prostor nad T a AV,Uτ. Potom A+Uτ. Navíc pokud U je okolí nuly, potom A+U je okolí A.
Věta. Nechť V je topologický vektorový prostor nad T. Potom následující funkce jsou spojité:
Důsledek. Nechť V je topologický vektorový prostor nad T a Uτ,0U. Potom Wτ,0W:W+WU.
Důsledek. Nechť V je topologický vektorový prostor nad T a Uτ,0U. Potom Wτ,0W:WWU.
Věta. Nechť V je topologický vektorový prostor nad T. Potom V je regulární.
Definice. Nechť V je vektorový prostor nad a XV. Potom konvexní obal X, značeno [X]κ, je nejmenší konvexní nadmnožina X.
Věta. Nechť V je vektorový prostor nad a XV. Potom [X]κ={j=1nαjxj|n,xjM,αj+,αj=1}.
Věta. Nechť V je topologický vektorový prostor nad a Mτ. Potom [M]κτ.
Věta. Nechť V je topologický vektorový prostor nad a MV je konvexní. Potom M°,M jsou konvexní.
Definice. Nechť V je topologický vektorový prostor nad . Funkce p:V0+ je konvexní funkcionál, pokud
Věta. Nechť . Potom p(0)=0.
Věta. Nechť p je konvexní funkcionál na V a k+. Položme E{xV|p(x)<k},F{xV|p(x)k} Potom E,F jsou konvexní množiny a platí xV,ε+,λ[0,ε):λxE.
Definice. Nechť V je topologický vektorový prostor nad a EV je konvexní. Nechť xX,ε+,λ[0,ε):αxE. Položme pE:V0+,pE(x)inf{λ+|1λxE} Potom pE je Minkowského funkcionál příslušející E.
Věta. Minkowského funkcionál je konvexní funkcionál.
Věta (Hahn-Banach pro T=). Nechť V je topologický vektorový prostor nad , p je konvexní funkcionál na V, V0V je podprostor a f0 je lineární funkcionál na V0 takový, že xV0,f0(x)p(x). Potom existuje lineární funkcionál f na V takový, že f|V0=f0 a xV:f(x)p(x).
Definice. Nechť V je vektorový prostor. Funkce :V0+ je seminorma, pokud je to norma, akorát může pro nenulový vektor být nulová.
Věta (Hahn-Banach pro T=). Nechť V je vektorový prostor nad a p je seminorma na V, V0V je podprostor a f0 je lineární funkcionál na V0 takový, že xV0,|f0(x)|p(x). Potom existuje lineární funkcionál f na V takový, že f|V0=f0 a xV:|f(x)|p(x).
[REKLAMA]

Metrické vektorové prostory

Definice. Metrika ρ na vektorovém prostoru V je invariantní, pokud x,y,zV:ρ(x+z,y+z)=ρ(x,y).
Poznámka. Nechť ρ je invariantní metrika na V. Potom ρ(x,y)=ρ(0,xy). Speciálně ρ(0,x)=ρ(0,x).
Poznámka. Nechť ρ je invariantní metrika na V. Potom ρ(x+x,y+y)ρ(x,x)+ρ(y,y), tedy + je spojitá funkce.
Definice. Topologický vektorový prostor je metrický vektorový prostor, pokud je topologie určena invariantní metrikou.
Definice. Fréchetův prostor je úplný metrický vektorový prostor.
Věta. Nechť V je vektorový prostor a p je posloupnost seminorem taková, že xV:(p:xp=0)x=0. Potom funkce ρ:V×V0+ definovaná následovně je invariantní metrika: ρ(x,y)p=12pxyp1+xyp
Věta. Nechť V je vektorový prostor a p je posloupnost seminorem taková, že xV:(p:xp=0)x=0. Vezměme topologii τ2 definovanou metrikou z předchozí věty a topologii τ2 danou následující bází: U(n,ε){xV|p{0,,n}:xp<ε}=p=0nBp(0,ε) 2{x+U(n,ε)|xV,n0,ε+} Potom τ1=τ2.

Normované vektorové prostory

Definice. Nechť V je vektorový prostor. Zobrazení je norma, pokud… to už snad všichni víme, ne?
Definice. Nechť (X,X),(Y,Y) jsou normované prostory. Zobrazení A(X,Y) je omezené, pokud M+,xX:AxYMxX
Věta. Nechť (X,X),(Y,Y) jsou normované prostory. Je-li zobrazení A(X,Y) omezené, potom je spojité.
Věta. Uvažujme Fourierovu transformaci :L1()𝒞b() definovanou jako [f](x)exp(ixy)f(y)dy Potom je omezené lineární zobrazení.
Definice. Nechť (X,X),(Y,Y) jsou normované prostory. Norma omezeného zobrazení A(X,Y) je AsupxX1AxY=supxX{0}AxYxX=supxX=1AxY=min{M0+|xX:AxM}
Příklad. Jelikož M u Fourierovy transformace bylo 1, jistě 1. Abychom normu odhadli zespodu, zkusme najít Fourierovu transformaci nějaké konkrétní funkce. Nechť f(y)exp(y)ϑ(y)exp(y)[y0], potom [f](x)=0exp((1ix)y)dy=11ix [f]b=supx|[f](x)|=supx0+1|1ix|=1 f1=|f|=0|exp(y)|dy=1 Tedy [f]𝐜f1=1, tudíž =1.
Věta. Nechť X,Y jsou normované vektorové prostory. Potom prostor omezených lineárních zobrazení (X,Y)(X,Y) s operátorovou normou je normovaný prostor.
Věta. Nechť X,Y jsou normované vektorové prostory a A(X,Y). Potom následující výroky jsou ekvivalentní:
  1. A je omezené
  2. A je stejnoměrně spojité
  3. A je spojité
  4. A je spojité v nějakém bodě
Věta. Nechť X,Y,Z jsou normované vektorové prostory, A(X,Y),B(Y,Z). Potom BA(X,Z),BABA.
Důsledek. Je-li X normovaný prostor, potom (X) je normovaná algebra s jednotkou (vektorový prostor, kde se vektory navíc dají násobit).
Důsledek. Je-li A(X), potom AnAn.
Definice. Nechť X je normovaný prostor s dvěma normami 1,2. Tyto normy jsou ekvivalentní, pokud A,B+,xX:Ax2x1Bx2
Věta. Normy jsou ekvivalentní, právě když indukují stejnou topologii.
Věta. Každé dvě normy na prostoru konečné dimenze jsou ekvivalentní.
Důsledek. Normovaný prostor konečné dimenze je úplný.
Důsledek. Nechť X je normovaný prostor a VX je konečné dimenze. Potom V je uzavřený.
Věta. Nechť X,Y jsou vektorové prostory, VX a A(X,Y),BA|V. Potom BA.
Definice. Duální prostor k normovanému prostoru X nad tělesem T je X*(X,T) (množina omezených lineárních zobrazení z prostoru do tělesa).
Věta (Hahn-Banach). Nechť X je normovaný vektorový prostor nad nebo , X0X a f0X0*. Potom existuje fX* takové, že F|X0=f0 a f=f0.
Věta. Nechť X je normovaný prostor nad tělesem T a x,yX,xy. Potom existuje fX* takové, že f(xy)=xy a f=1.

Banachovy prostory

Definice. Banachův prostor je úplný normovaný prostor.
Věta (o zúplnění normovaného prostoru). Nechť X je normovaný prostor. Potom existuje Banachův prostor X^ takový, že XX^ a X=X^. Navíc je určen jednoznačně až na izometrii, jejíž zúžení na X je identita.
Věta. Nechť X je normovaný prostor, VX, 𝒴 je Banachův prostor a A(V,𝒴). Potom 1A^(V,𝒴):A^|V=A. Navíc A^=A.
Důsledek. Nechť X je normovaný prostor, 𝒳 jeho zúplnění a 𝒴 Banachův prostor. Potom zobrazení (𝒳,𝒴)(X,𝒴),AA|X je izometrický izomorfismus. Tedy speciálně X*𝒳*.
Věta. Nechť X je normovaný prostor a 𝒴 Banachův prostor. Potom (X,𝒴) je Banachův prostor.
Důsledek. Je-li 𝒳 Banachův prostor, potom (𝒳) je Banachův prostor.
Důsledek. Je-li X normovaný prostor, potom X* je Banachův prostor.

Konvergence v normovaných prostorech

Definice. Nechť X je normovaný prostor, (xn)X a xX. Říkáme, že
Věta. Nechť X je normovaný prostor. Pro φ1,,φnX*,ε+ definujme U(φ1,,φn;ε){xX|jn^:|φj(x)|<ε} {x+U(φ1,,φn;ε)|xX,φ1,,φnX*,ε+} Potom je báze topologie a posloupnost konverguje v této topologii právě tehdy, pokud slabě konverguje v normě.
Definice. Topologie z věty výše je slabá topologie.
Definice. Nechť X,Y jsou normované prostory, (An)(X,Y) a A(X,Y). Říkáme, že

Lebesgueovy prostory

Definice. Nechť (X,μ) je prostor s mírou a p[1,). Pro měřitelnou funkci f:X definujeme fpX|f|pdμp fess supxX|f(x)|inf{M0+|μxX:|f(x)|M} Funkce f je p-integrovatelná, pokud fp<. Speciálně pro p=1 říkáme jen integrovatelná.
Poznámka. Ve skutečnosti budeme brát funkce jako třídy ekvivalence, kde fgμxX:f(x)=g(x)
Věta (Youngova nerovnost). Nechť p,q(1,),1p+1q=1 (jsou to sdružené exponenty). Potom a,b0+:abapp+bqq
Věta (Hölderova nerovnost). Nechť (X,μ) je prostor s mírou, f,g:X0+ jsou měřitelné funkce a p,q jsou sdružené exponenty. Potom Xfgdμfpgq
Věta (Minkowského nerovnost). Nechť (X,μ) je prostor s mírou, f,g:X0+ jsou měřitelné funkce a p[1,). Potom f+gpfp+gp
Důsledek. Nechť (X,μ) je prostor s mírou, p,q jsou sdružené exponenty a fLp(X,dμ),gLq(X,dμ). Potom fgL1(X,dμ) a |Xfgdμ|fpgq
Důsledek. Nechť (X,μ) je prostor s mírou, p[1,) a f,gLp(X,dμ). Potom f+gLp(X,dμ).
Věta. Nechť (X,μ) je prostor s mírou a p[1,]. Potom (Lp(X,dμ),p) je Banachův prostor.

Zatím nezařazeno

Definice. Nechť X je množina. Algebraická míra je míra definovaná jako μ:𝒫(X)0+,μ(A)|A|.
Věta. Nechť X je množina, μ počítací míra na X a fL1(X,dμ). Potom množina hodnot, pro něž f0, je nejvýše spočetná.
Definice. Nechť X je množina a f:X[0,). Zavedeme značení xXf(x)supaX|a|<xAf(x)
Věta. Nechť f:[0,) je posloupnost. Potom nfn=n=1fn
Věta. Nechť 𝒳 je Banachův prostor a (xn)𝒳. Potom n=1xn<n=1xn konverguje
Věta. Nechť 𝒳 je Banachův prostor a A(𝒳),A<1. Potom existuje (IA)1(𝒳) a platí (IA)111A.
Věta. Nechť X,Y,Z jsou normované prostory a (An)(X,Y),(Bn)(Y,Z) jsou posloupnosti takové, že AnA,BnB. Potom BnAnBA.
Definice. 𝒞() je prostor reálných funkcích, které mají v obou nekonečnech limitu 0.
Definice. Funkce φ: je testovací funkce, pokud je hladká a má omezený nosič. Značíme φ𝒟().
Věta. Nechť φ𝒟(). Potom lim|x|exp(ixy)φ(y)dy=0 neboli [φ]𝒞().
Věta. FL1():[f]𝒞()
Věta. Nechť X je normovaný vektorový prostor, VX je hustý podprostor, 𝒴 je Banachův prostor a A(V,𝒴). Potom existuje právě jedno A~(X,𝒴) takové, že A~|V=A. Navíc A~=A.

Hilbertovy prostory

Definice. Nechť V je vektorový prostor nad . Zobrazení |:V×V je skalární součin, pokud K němu definujeme normu xx|x, tedy jde zároveň o normovaný prostor.
Definice. Hilbertův prostor je úplný vektorový prostor se skalárním součinem.
Věta. Nechť V je prostor se skalárním součinem. Potom existuje Hilbertův prostor takový, že VH, V= a je určen jednoznačně až na izometrický izomorfismus působící jako identita na v.
Věta (Cauchy-Schwartz). |x|y|xy
Věta. Nechť (,|) je Hilbertův prostor. Potom zobrazení | je lineární.
Definice. Vektory x,y v prostoru se skalárním součinem jsou kolmé, pokud x|y=0. Značíme xy.
Definice. Nechť je Hilbertův prostor a M. Potom ortogonální doplněk M je M{x|yM:xy}
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a M. Potom M je uzavřený podprostor.
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a V. Potom VV.
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a MN. Potom NM.
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a x,y. Potom x+y2x2y2=2x|y.
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a V. Potom VV={0}.
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a V je uzavřený. Potom H=V⊕︎V, kde ⊕︎ značí ortogonální direktní součet.
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a M. Potom M=M.
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a V1,V2,=V1⊕︎V2. Potom V2=V1.
Důsledek. Nechť je Hilbertův prostor a V. Potom V=V.
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a V je konečné dimenze s ortonormální bází (u1,,un). Pro x definujme projekci Pxj=1nuj|xuj. Potom PxV a (IP)xV.
Důsledek. Nechť je Hilbertův prostor a V,dimV=n. Potom =V⊕︎V, tedy V=V.
Věta (Besselova nerovnost). Nechť je Hilbertův prostor, (u1,,un) jsou ortonormální vektory a x. Potom j=1n|uj|x|2x2
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a V je konečné dimenze s ortonormální bází (u1,,un). Potom pro všechna x,λ1,,λn platí xj=1nuj|xujxj=1nλjuj neboli Px=arg minyVxy Tedy ortogonální projekce nejlépe odhaduje původní vektor ze všech možných projekcí.
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a (xj) je posloupnost vzájemně kolmých vektorů. Potom j=1xj konvergujej=1xj2 konverguje
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a MH je uzavřená konvexní množina. Potom v M existuje právě jeden vektor s nejmenší normou.

[sem doplnit konec FANA1]

[REKLAMA]

FAN2

Věta (Baire). Nechť (X,ρ) je úplný metrický prostor. Pak průnik libovolného spočetného systému otevřených hustých podmnožin je hustá podmnožina.
Důsledek. Úplný metrický prostor (X,ρ) nelze zapsat jako spočetné sjednocení řídkých podmnožin.
Věta (princip stejnoměrné omezenosti (Banach-Steinhaus)). Nechť 𝒳 je Banachův prostor, Y je normovaný prostor a 𝒜(𝒳,Y). Potom nastane právě jedna z následujících dvou možností:

Konvence: V normovaném prostoru budeme značit BrB(0,r), neboli B(x,r)=x+Br=x+rB1.

Definice. Zobrazení mezi topologickými prostory je otevřené, pokud zobrazuje otevřené množiny na otevřené množiny.
Věta. Nechť 𝒳,𝒴 jsou Banachovy prostory a A(𝒳,𝒴) je surjektivní. Potom A je otevřené.
Důsledek. Nechť 𝒳,𝒴 jsou Banachovy prostory a A(𝒳,𝒴) je izomorfismus. Potom A1(𝒴,𝒳).
Definice. Nechť X=V+W je vektorový prostor vyjádřený jako direktní součet dvou vektorových prostorů. Projekce X na V podle W je lineární zobrazení P:XV takové, že xV:Px=x xW:Px=0
Věta. Nechť X je normovaný prostor a A(X). Potom kerAcτ.
Věta. Nechť X je normovaný prostor a P(X),P2=P. Potom
  1. (IP)2=IP
  2. kerP=(IP)X
  3. ker(IP)=PX
  4. X=PX+kerP (direktní součet)
  5. PX,kerPcτ
  6. P je projekce na PX podle kerP
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a A(). Potom A=A*x,y:x|Ay=Ax|yx:x|Ax
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a A(). Potom A*=A a A*A=A2.
Věta. Nechť je Hilbertův prostor a P(),P2=P. Potom P je ortogonální projekce, právě když P*=P.
Věta. Vezměme lineární prostor Xspan{us|s}, kde us:,us(t)exp(ist). Definujme zobrazení f|glimR012RRRfg Potom to je skalární součin a {us|s} je ortonormální báze , kde je zůplnění X.
Definice. Nechť X,Y jsou vektorové prostory a A je lineární zobrazení z nějaké podmnožiny X do Y. Budeme značit DomAX jeho definiční obor a RanAY jeho obor hodnot. Graf A je množina Γ(A){(x,Ax)|xDomA}X×Y Často budeme ztotožňovat X=X×{0},Y={0}×Y,X×Y=X+˙Y. Jsou-li X,Y normované, na prostoru X×Y můžeme zavést jednu z norem:
Definice. Nechť X,Y jsou vektorové prostory, A,B jsou lineární zobrazení z podmnožin X do Y, xX a λ je prvek tělesa. Potom definujeme Dom(A+B)DomADomB (A+B)xAx+Bx Dom(λA)DomA (λA)xλ(Ax) Teky zřejmým zpsobem zavedeme skládání lineárních zobrazení, to už se mi sem nechce psát.
Definice. Nechť X,Y jsou normované vektorové prostory a A je lineární zobrazení z podmnožiny X do Y. A je uzavřené, pokud Γ(A) je uzavřená množina v X×Y.
Definice. Nechť X,Y jsou vektorové prostory. Zavedeme projekce: PX:X×YX,PX(x,y)x PY:X×YY,PY(x,y)y
Poznámka. Lineární zobrazení je jednoznačně určeno svým grafem.
Věta. Jsou-li X,Y vektorové prostory a VX×Y, potom V je graf nějakého lineárního zobrazení, právě když V({0}×Y)={(0,0)}.
Věta. Jsou-li X,Y vektorové prostory a VX×Y je graf lineárního zobrazení, potom WV je také graf lineárního zobrazení.
Věta. Nechť X,Y jsou normované vektorové prostory a A je lineární zobrazení z podmnožiny X do Y.. Potom A je uzavřené právě tehdy, pokud pro každou posloupnost (xn)DomA platí, že pokud xnxX a AxnyY, potom xDomA a y=Ax.
Věta. Nechť X,Y jsou normované vektorové prostory a A je lineární zobrazení z podmnožiny X do Y.. Jestliže A má uzavřené rozšíření, potom má nejmenší uzavřené rozšíření.
Definice. Nechť X,Y jsou normované vektorové prostory a A je lineární zobrazení z podmnožiny X do Y.. A je uzavíratelné, pokud má uzavřené rozšíření. V takovém případě jeho nejmenší uzavřené rozšíření značíme A.
Věta. Nechť X,Y jsou normované vektorové prostory a A je uzavřené lineární zobrazení z podmnožiny X do Y.. Existuje-li A1, potom je uzavřené.
Věta. Nechť X,Y jsou normované vektorové prostory a A je uzavřené lineární zobrazení z podmnožiny X do Y.. Potom pro každé λ z tělesa je A+λI uzavřené.
Věta. Jsou-li 𝒳,𝒴 Banachovy prostory, potom 𝒳×𝒴 je Banachův prostor.
Věta. Nechť X,Y jsou normované vektorové prostory a A je lineární zobrazení z podmnožiny X do Y.. Je-li A omezené, potom A je uzavřené právě tehdy, pokud DomAcτX. Speciálně každé A(X,Y) je uzavřené.
Věta (o uzavřeném grafu). Nechť 𝒳,𝒴 jsou Banachovy prostory a A(𝒳,𝒴) je uzavřené. Potom A(𝒳,𝒴).
Definice. Nechť 𝒳 je Banachův prostor a A je uzavřený lineární operátor definovaný na husté podmnožině 𝒳. Potom jeho resolventní množina je ρ(A){λ|ker(AλI)={0},Ran(AλI)=𝒳} a jeho spektrum je σ(A)ρ(A).