Möbiova transformace
Möbiova transformace je na komplexní rovině předepsána vzorcem ζ ↦ (aζ + b)/(cζ + d) pro komplexní koeficienty a, b, c, d tvořící nějakou regulární matici M. Zobrazuje kružnice na kružnice, případně na přímky, odpovídající limitě nekonečného poloměru. Je konformní, bijektivní, zachovává orientaci a tvoří grupu automorfismů komplexní projektivní roviny se skládáním operací daným součinem matic.
Volba matice:
Vysvětlivky
- Pokud matice M je unitární (1), má transformace ve stereografické projekci význam rotace sféry.
- Pokud je reálná s kladným determinantem (2), transformace zachovává horní a spodní komplexní polorovinu.
- Pokud je prvkem zobecněné unitární grupy U(1,1) (3), transformace zachovává jednotkový kruh (Poincarého kruh) a ve stereografické projekci na vrchní plochu dvoudílného hyperboloidu má smysl SO(2,1) rotace.
- Případný prefaktor matice nezmění jí indukovanou transformaci. Proto například σy dává transformaci odpovídající SL(2,R) matici, i když taková není.