Combinatorical and Algebraic Structures Seminar

Session details

Date: 12.3.2013
Speaker: Drahoslava Janovská, Ústav matematiky, VŠCHT Praha
Title: Kvaterniony a kvaternionové polynomy
Abstract: Budeme se zabývat dvěma typy kvaternionových polynomů, tzv. jednostrannými polynomy, v nichžjsou mocniny ``neznámého kvaternionu'' násobeny koeficienty (kvaterniony) zleva nebo zprava, \[ p_n(z):=\sum_{j=0}^na_jz^j,\quad z,a_j\in\mathbb{H},\quad a_0,a_n\neq0\,, \] a tzv.\ oboustrannými kvaternionovými polynomy, kde je neznámá vynásobena (různými) kvaternionovými koeficienty zleva i zprava, \[ p_n(z):=\sum_{j=0}^na_jz^jb_j,\quad z,a_j,b_j\in\mathbb{H}, a_0b_0\neq 0,a_nb_n\neq0\,. \] Množina kořenů jednostranných kvaternionových polynomů se skládá ze dvou tříd. Není-li kořen $z_0$ jednostranného polynomu $p_n$ reálný a má vlastnost, že $p_n(z) = 0$ pro všechna $z$ ze třídy ekvivalence $[z_0]$, kde $[z_0] := \{z\in\mathbb{H}\ :\ \Re{z} = \Re{z_0}, |z| = |z_0|\}$, říkáme, že $z_0$ je sférický kořen polynomu $p_n$. Třída ekvivalence $[z_0]$ je množina všech kvaternionů, které jsou podobné kvaternionu $z_0$ v maticovém smyslu, t.j. $[z_0] = $\{z\ :\ z = hz_0h^{-1} \text{ pro všechna }h\in\mathbb{H}\setminus\{0\}\}$. Je-li $z_0$ reálné nebo negeneruje-li sférický kořen, říkáme, že $z_0$ je izolovaný kořen polynomu $p_n$. Tedy je-li $z_0$ kořenem kvaternionového polynomu $p_n$, pak buď všechny prvky v $[z_0]$ jsou kořeny $p_n(z)$ nebo je $z_0$ jediný kořen v této třídě ekvivalence. Obecně jsou všechny komplexní (nereálné) kořeny jednostranných kvaternionových polynomů sférické kořeny a všechny reálné kořeny jednostranného polynomu jsou kořeny izolované. Všechny kořeny jednostranného kvaternionového polynomu $p_n$ lze najít jako kořeny jistého přiřazeného reálného polynomu stupně $2n$. Oboustranné kvaternionové polynomy mohou mít ještě další tři třídy kořenů. Tyto třídy jsou definovány pomocí hodnosti jisté reálné matice $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{4\times 4}$. Jestliže v nějaké třídě ekvivalence najdeme kořen $z_0$, pak umíme najít všechny kořeny, které leží ve třídě ekvivalence $[z_0]$. Užitečným nástrojem je popis polynomu $p(z)$ pomocí maticové rovnice $P(z) := \boldsymbol{A}(z) z + B(z)$, kde matice $\boldsymbol{A}(z)$ je reálná matice typu $4\times 4$ definovaná koeficienty daného polynomu $p$ a $P, z, B$ jsou reálné sloupcové vektory o čtyřech složkách. Ukázalo se, že počítáme-li kořeny oboustranného kvaternionového polynomu Newtonovou metodou, metoda dobře konverguje. Poznamenejme ještě, že, protože existuje izomorfismus mezi kvaterniony a komplexními maticemi typu $2\times 2$ a také mezi kvaterniony a jistými reálnými maticemi typu $4\times 4$, lze kvaternionové polynomy považovat za speciální maticové polynomy.
Slides: 20130312.pdf

Return to index.