Poznámky [V]OAF

Harmonický oscilátor

Definice. Harmonický oscilátor je systém popsaný diferenciální rovnicí ve tvaru

\ddot{x} + ω^{2} x = 0

Příklad. Pružinka:

m \ddot{x} + k x = 0 ∴ ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

Příklad. Malé kmity kyvadla:

m l \ddot{φ} + m g φ = 0 ∴ ω = \sqrt{\frac{g}{l}}

Příklad. Pružinka:

L \ddot{I} + \frac{I}{C} = 0 ∴ ω = \sqrt{\frac{1}{L C}}

Obyčejná lineární diferenciální rovnice s konstantními reálnými koeficienty

Definice. Obyčejná lineární diferenciální rovnice s konstantními reálnými koeficienty je rovnice ve tvaru

\sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{(k)} = 0, a_{n} \neq 0, a_{k} \in ℝ

Řešení. Hledáme řešení ve tvaru

x (t) = \exp (λ t)

, tedy

x^{(k)} (t) = λ^{k} \exp (λ t)

, tudíž stačí vyřešit polynomiální rovnici

\sum_{k = 0}^{n} a_{k} λ^{k} = 0

Příklad.

Pro harmonický oscilátor: $λ^{2} + ω^{2} = 0 ∴ λ = \pm i ω$

Věta (princip superpozice). Pokud má obyčejná lineární diferenciální rovnice s konstantními reálnými koeficienty řešení

x_{1}, x_{2}

, potom i

c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}

je řešení (

c_{1}, c_{2} \in ℝ

Důsledek. Obecné řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice s konstantními reálnými koeficienty je

x (t) = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} \exp (λ_{k} t)

Věta. Pokud má obyčejná lineární diferenciální rovnice s konstantními reálnými koeficienty řešení

x

, potom i

x

je řešení.

Věta. Obecné řešení harmonického oscilátoru je

x (t) = a \cos (ω t) + b \sin (ω t)

Tlumený harmonický oscilátor

Definice. Tlumený harmonický oscilátor je systém popsaný diferenciální rovnicí ve tvaru

\ddot{x} + 2 δ \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0

Definice. Vlastní frekvence tlumeného harmonického oscilátoru je

ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - δ^{2}}

Věta. Obecné řešení tlumeného harmonického oscilátoru je

x (t) = \exp (- δ t) (a \cos (ω t) + b \sin (ω t))

Buzený harmonický oscilátor

Definice. Buzený harmonický oscilátor je systém popsaný diferenciální rovnicí ve tvaru

\ddot{x} + 2 δ \dot{x} + ω_{0}^{2} x = B (t)

Řešení. Řešme pro tvar

B (t) = B \cos (Ω t)

(ostatní tvary se dají dostat do tohoto tvaru pomocí Fourierovy transformace). Budeme hledat

\hat{x}

splňující rovnici

\ddot{\hat{x}} + 2 δ \dot{\hat{x}} + ω_{0}^{2} \hat{x} = B \exp (i Ω t)

. Předpokládejme řešení ve tvaru

\hat{x} (t) = A \exp (i Ω t) = | A | \exp (i (Ω t - \arg A))

Řešením rovnice dostaneme

A = \frac{B}{ω_{0}^{2} - Ω^{2} + 2 i δ Ω}

| A | = \frac{B}{\sqrt{{(ω_{0}^{2} - Ω^{2})}^{2} + 4 δ^{2} Ω^{2}}}

Definice. Elastická amplitude je

C ≔ ℜ (A)

. Absorpční amplitude je

D ≔ - ℑ (A)

Intuice: Elastická amplituda vyjadřuje energii dodanou do systému, kterou systém při dalším kmitu vrátí zpět. Absorpční amplituda vyjadřuje energii dodanou do systému, která v systému zůstane.

Kmity soustav s více stupni volnosti

Harmonický oscilátor má jeden stupeň volnosti

Obecně $n$ stupnů volnosti: $\vec{x}$

Pohybové rovnice mechanického systému (Newtonovy): $(\forall i \in \hat{n}) (m_{i} {\ddot{x}}_{i} = F_{i} = - \frac{\partial U}{\partial x_{i}})$

Zajímáme se o pohyb a dosažení stabilní rovnováhy

Definice.

{\vec{x}}_{0}

je rovnovážná poloha, pokud

\vec{F} ({\vec{x}}_{0}) = \vec{0}

, neboli

(\forall i \in \hat{n}) (\frac{\partial U}{\partial x_{i}} ({\vec{x}}_{0}) = 0)

Definice.

{\vec{x}}_{0}

je stabilní rovnovážná poloha, pokud je rovnovážná poloha a potenciální energie v ní má lokální minimum, tedy matice

𝐔_{i j} ≔ \frac{\partial^{2} U}{\partial x_{i} \partial x_{j}}

je pozitivně definitní.

Chceme najít nové souřadnice $\vec{ξ}$ tak, aby rovnovážná poloha byla $\vec{0}$ , tedy $\vec{ξ} ≔ \vec{x} - {\vec{x}}_{0}$ ; zavedeme k nim nový potenciál $\tilde{U} (\vec{ξ}) ≔ U (\vec{x} (\vec{ξ})) = U (\vec{x} i + {\vec{x}}_{0})$

Dosazením do pohybové rovnice dostaneme $(\forall i \in \hat{n}) (m_{i} {\ddot{ξ}}_{i} = - \frac{\partial \tilde{U}}{\partial ξ_{i}})$

Aproximace malých kmitů

Aproximujeme $\tilde{U}$ pomocí Taylora (jelikož je určená až na konstantu, můžeme zvolit $\tilde{U} (\vec{0}) ≔ 0$ ):

\tilde{U} (\vec{ξ}) = \underset{= 0}{\underset{⏟}{\tilde{U} (\vec{0})}} + \sum_{i = 1}^{n} \underset{= - F_{i} (\vec{0}) = 0}{\underset{⏟}{\frac{\partial \tilde{U} (\vec{0})}{\partial ξ_{i}}}} ξ_{i} + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial^{2} \tilde{U} (\vec{0})}{\partial ξ_{i} \partial ξ_{j}} ξ_{i} ξ_{j} + 𝒪 (ξ^{3}) \approx \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} 𝐔_{i j} ξ_{i} ξ_{j}

Zderivujme tento vztah podle $ξ_{i}$ :

\frac{\partial \tilde{U}}{\partial ξ_{i}} = \frac{1}{2} (\sum_{k} 𝐔_{i k} ξ_{k} + \sum_{j} 𝐔_{j i} ξ_{j}) = \sum_{j} 𝐔_{i j} ξ_{j}

Nyní můžeme dosadit do pohybových rovnic:

(\forall i \in \hat{n}) (m_{i} {\ddot{ξ}}_{i} + \sum_{j} 𝐔_{i j} ξ_{j} = 0)

Pokud ještě definujeme matici pohybové energie, můžeme tuto soustavu rovnic přepsat do maticové podoby.

Definice (matice pohybové energie).

𝐓 ≔ (\begin{array}{c} m_{1} \\ ⋱ \\ m_{n} \end{array})

Věta (pohybové rovnice malých kmitů).

𝐓 \ddot{\vec{ξ}} + 𝐔 \vec{ξ} = \vec{0}

Řešení. Předpokládejme řešení ve tvaru

ξ (t) = \vec{a} \cdot \exp (i ω t)

\ddot{\vec{ξ}} (t) = - \vec{a} ω^{2} \exp (i ω t)

Tedy řešíme

(𝐔 - ω^{2} 𝐓) \vec{a} = \vec{0}

(𝐓^{- 1} 𝐔 - ω^{2} 𝐈) \vec{a} = \vec{0}

Hledáme tedy vlastní čísla

ω^{2}

a vlastní vektory

\vec{a}

matice

𝐀 ≔ 𝐓^{- 1} 𝐔

. Tím najdeme

n

módů

{\vec{ξ}}_{k} (t) = {\vec{a}}_{k} \cdot \exp (i ω_{k} t)

; a obecné řešení bude jejich lineární kombinace:

\vec{ξ} (t) = \sum_{k = 1}^{n} A_{k} {\vec{a}}_{k} \exp (i ω_{k} t)

Vrátíme-li se do reálných čísel, dostaneme

\vec{ξ} (t) = \sum_{k = 1}^{n} A_{k} {\vec{a}}_{k} \cos (ω_{k} t + φ_{k})

Definice. Konfigurační prostor je abstraktní prostor všech možných poloh daného systému.

Definice. Normální souřadnice jsou souřadnice

\vec{η}

nastavené tak, aby při kmitání v

i

-tém módu bylo

η_{k} = δ_{i k} A \cos (ω_{i} t + φ_{i})

Věta. Zvolíme-li souřadnice

\vec{η}

tak, aby platilo

\vec{ξ} = 𝐀 \vec{η}

, potom budou normální.

Důsledek. V normálních souřadnicích se soustava při aproximaci malých kmitů chová jako

n

nezávislých harmonických oscilátorů.

Tlumený oscilátor s více stupni volnosti (BONUS)

Je-li oscilátor tlumený, nějakými podobnými úvahami dostaneme tuto maticovou rovnici:

𝐓 \ddot{\vec{ξ}} + 𝚪 \dot{\vec{ξ}} + 𝐔 \vec{ξ} = \vec{0}

Řešíme kvadratickou úlohu vlastních čísel: $(λ^{2} 𝐓 + λ 𝚪 + 𝐔) \vec{a} = \vec{0}$

$| λ^{2} 𝐓 + λ 𝚪 + 𝐔 |$ je polynom $2 n$ -tého stupně

Už z toho nevzniknou módy.

Buzený oscilátor s více stupni volnosti (BONUS)

𝐓 \ddot{\vec{ξ}} + 𝚪 \dot{\vec{ξ}} + 𝐔 \vec{ξ} = \vec{F} \exp (i Ω t)

$(λ^{2} 𝐓 + λ 𝚪 + 𝐔) \vec{a} = \vec{F}$

\vec{a} = {(λ^{2} 𝐓 + λ 𝚪 + 𝐔)}^{- 1} \vec{F}

Řetízek atomů (příčné kmity)

Mějme řetízek nekonečně mnoha závaží hmotnosti $m$ spojených pružinkami délky $a$ s tuhostí $k$ .

Postup: model → pohybové rovnice (aproximace malých kmitů) → řešení, spojitá limita

Zavedeme si funkce výchylek $x_{k} : ℝ \to ℝ$ (výchylky jsou v příčném směru)

Uvažujme $k$ -tý atom, který je tažený pružinkami od sousedních dvou atomů, které jsou vůči němu vychýleny o úhly $ϑ$ :

m {\ddot{x}}_{k} = - F_{1 x} + F_{2 x} = - F_{1} \sin (ϑ_{1}) + F_{2} \sin (ϑ_{2})

V rovnovážné poloze je pružinka pod napětím $T ≔ k (a - a_{0})$ , kde $a_{0}$ je klidová délka pružiny. Pokud uvažujeme, že výchylky jsou hodně malé, můžeme aproximovat $F_{1,2} \approx T; \sin (ϑ_{1,2}) \approx \tan (ϑ_{1,2})$ .

m {\ddot{x}}_{k} \approx T (\tan (ϑ_{2}) - \tan (ϑ_{1})) = T (\frac{x_{k} - x_{k - 1}}{a} - \frac{x_{k + 1} - x_{k}}{a}) = \frac{T}{a} (x_{k + 1} - 2 x_{k} + x_{k - 1})

\begin{matrix} \frac{T}{a} = k (1 - \frac{a_{0}}{a}) ≕ k^{'} & (e f e k t i v n \overset{ˊ}{ı} t u h o s t p r u \overset{ˇ}{z} i n p \overset{ˇ}{r} \overset{ˊ}{ı} \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{y} c h k m i t \overset{˚}{u}) \end{matrix}

Řešení. Předpokládejme řešení ve tvaru

x_{l} (t) = a_{l} \exp (i ω t)

, tedy

{\ddot{x}}_{l} (t) = - ω_{2} a_{l} \exp (i ω t)

. Dosazením do rovnice dostaneme

- m ω^{2} a_{k} = \frac{T}{a} (a_{k + 1} - 2 a_{k} + a_{k - 1})

(2 - \frac{m ω^{2} a}{T}) a_{l} = a_{l - 1} + a_{l + 1}

Zaveďme souřadnici $z$ , která určuje vzdálenost ve vodorovném směru, tedy její hodnota pro $l$ -tý atom je $z_{l} = l a$

Předpokládejme dále, že pohyb řetízku je harmonický jak v čase, tak ve vzdálenosti, tedy pro koeficienty platí:

a_{l} = ℜ (\exp (i k z)) = ℜ (\exp (i k l a)) = \cos (k l a)

\begin{aligned} ℜ ((2 - \frac{m ω^{2} a}{T}) \exp (i k l a)) & = ℜ (\exp (i k (l - 1) a) + \exp (i k (l + 1) a)) \\ = ℜ (\exp (i k l a)) ℜ (\exp (i k a) - \exp (- i k a)) \end{aligned}

2 - \frac{m ω^{2} a}{T} = 2 \cos (k a)

\frac{1 - \cos (k a)}{2} = \frac{m a}{2 T} ω^{2}

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{4 T}{m a} \sin^{2} \frac{k a}{2} & (d i s p e r z n \overset{ˊ}{ı} v z t a h) \end{matrix}

Tento vztah udává přípustné kombinace $ω$ a $k$ .

ω \in ⟨ 0, \frac{4 T}{m a} ⟩ \leftrightarrow k \in ⟨ 0, \frac{π}{a} ⟩ \leftrightarrow λ ≔ \frac{2 π}{k} \in ⟨ 2 a, \infty)

x_{l} (t) = \cos (k l a + φ) \cos (ω t + ϕ) ≕ \underset{tvar vlny}{\underset{⏟}{λ (z)}} \cdot \underset{h a r m o n i c k \overset{ˊ}{y} p r \overset{˚}{u} b \overset{ˇ}{e} h}{\underset{⏟}{\cos (ω t + ϕ)}}

Spojitá limita

Chceme systém „zahustit“, aby se už neskládal z diskrétních řetízků, tedy $a \to 0$ .

Na úseku délky $L$ je $N = \frac{L}{a}$ závaží o celkové hmotnosti $M = N m = \frac{L m}{a}$ . Chceme, aby tato hmotnost byla pro danou délku úseku konstantní, tedy $M ≕ ρ L$ , tedy zvolíme $m ≔ ρ a$ a máme $m \overset{\overset{}{L \to 0}}{\to} 0$ .

Také chceme, aby $T = k (a - a_{0})$ bylo konstantní, tudíž $k \to \infty$ . To odpovídá fyzikální realitě, že pokud vezmeme pružinu a přestřihneme ji, její tuhost se zvýší. (V tomto smyslu je tuhost poněkud divná veličina.)

Polohu teď budeme popisovat spojitě: $ψ (z, t) : ℝ^{2} \to ℝ; ψ (l a, t) = x_{l} (t)$

Odvodíme, jak přesně bude $ψ$ vypadat:

m {\ddot{x}}_{l} = \frac{T}{a} (x_{l + 1} - 2 x_{l} + x_{l - 1})

ρ a \frac{\partial^{2} ψ (l a, t)}{\partial t^{2}} = \frac{T}{a} (ψ ((l + 1) a, t) - 2 ψ (l a, t) + ψ ((l - 1) a, t))

Provedeme Taylorův rozvoj v $z$ kolem bodu $l a$ :

ψ (z, t) = ψ (l a, t) + \frac{\partial ψ (l a, t)}{\partial z} (z - l a) + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} ψ (l a, t)}{\partial z^{2}} {(z - l a)}^{2} + 𝒪 ({(z - l a)}^{3})

Do tohoto vztahu dosadíme $z = (l \pm 1) a$ :

ψ ((l \pm 1) a, t) = ψ (l a, t) \pm \frac{\partial ψ (l a, t)}{\partial z} a + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} ψ (l a, t)}{\partial z^{2}} a^{2} + 𝒪 (a^{3})

Získané vyjádření dosadíme do předtím upravené rovnice:

ρ \frac{\partial^{2} ψ (l a, t)}{\partial t^{2}} = \frac{T}{a^{2}} (\frac{\partial^{2} ψ (l a, t)}{\partial z^{2}} a^{2} + 𝒪 (a^{3}))

\begin{matrix} ρ \frac{\partial^{2} ψ (z, t)}{\partial t^{2}} = T \frac{\partial^{2} ψ (z, t)}{\partial z^{2}} & (v l n o v \overset{ˊ}{a} r o v n i c e) \end{matrix}

Rovnice pro strunu

Mějme strunu délky $L$ . Ta má obecně příčné výchylky $ψ_{x}, ψ_{y}$ a podélné výchylky $ψ_{z}$ ; my se omezíme na $ψ_{x}$ , tedy $\vec{ψ} = ψ \vec{x}$ (kde $\vec{x}$ je jednotkový vektor ve směru $x$ )

Vezměme úsek mezi body $z_{1}, z_{2}$ . Podle první věty impulsové platí pro celkovou hybnost úseku:

\dot{\vec{P}} = {\vec{F}}^{(v n \overset{ˇ}{e} j \overset{ˇ}{s} \overset{ˊ}{ı})}

Vnější síly jsou v tomto případě síly od zbytku struny. Jelikož zkoumáme příčné kmity, zajímá nás jen příčná složka.

\begin{aligned} {\dot{P}}_{x} & = - F_{1 x} + F_{2 x} \\ = - F_{1} \sin (ϑ_{1}) + F_{2} \sin (ϑ_{2}) \\ \approx T (- \tan (ϑ_{1}) + \tan (ϑ_{2})) \\ = T (- \frac{\partial ψ (z_{1}, t)}{\partial z} + \frac{\partial ψ (z_{2}, t)}{\partial z}) \end{aligned}

Podle Lagrangeovy věty o přírůstku funkce máme pro nějaké $ξ \in (z_{1}, z_{2})$

{\dot{P}}_{x} = T \frac{\partial^{2} ψ (ξ, t)}{\partial z^{2}} \cdot (z_{2} - z_{1})

Pokud budeme okraje úseku limitně strkat k sobě, bude $P \to M v = ρ (z_{2} - z_{1}) \frac{\partial ψ (z, t)}{\partial t}$ , z čehož dostaneme stejný vztah jako u hustého řetízku atomů:

\begin{matrix} ρ \frac{\partial^{2} ψ (z, t)}{\partial t^{2}} = T \frac{\partial^{2} ψ (z, t)}{\partial z^{2}} & (v l n o v \overset{ˊ}{a} r o v n i c e) \end{matrix}

U závaží byla pohybová rovnice

m {\ddot{x}}_{l} = k^{'} (x_{l + 1} - 2 x_{l} + x_{l - 1})

kde u přícných kmitů je $k^{'} = k (1 - \frac{a_{0}}{a})$ a u podélných $k^{'} = k$ .

U struny je $a^{'}$ velmi blízké $a$ , tedy $k^{'} ≪ k$ . To znamená, že vybudit u ní podélné kmity je mnohonásobně těžší než příčné kmity.

Okrajové podmínky

Mějme strunu délky $L$ . Vlnová rovnice nám říká, jak se budou chovat body uvnitř, ale nic nevíme o bodech na okraji. To si můžeme zadat víceméně jakkoli, ale v praxi jsou dvě základní varianty:

Pevný konec: Netřeba vysvětlovat. $ψ (z = 0, t) = 0$
Volný konec: Představíme si, že na konci je kroužek navlečený na tyči, a vytvoříme jeho pohybovou rovnici: $M \frac{\partial^{2} ψ (z = 0, t)}{\partial z^{2}} = F_{x} = T \sin (α) \approx T \tan (α) = T \frac{\partial ψ (z = 0, t)}{\partial z}$ Pokud pošleme $M \to 0$ , dostaneme $\frac{\partial ψ (z = 0, t)}{\partial z} = 0$ To znamená, že volný konec struny je vždy vodorovný!

Počáteční podmínky

Vlnová rovnice nám říká, jak se bude systém vyvíjet, ale je potřeba znát počáteční polohu a rychlost (protože je to diferenciální rovnice druhého řádu) pro všechny body.

ψ (z, t = 0) = f (z) f : ⟨ 0, t ⟩ \to ℝ

\frac{\partial ψ (z, t = 0)}{\partial t} = g (z) g : ⟨ 0, t ⟩ \to ℝ

Řešení (rovnice pro strunu délky $L$ s pevnými konci).

\begin{matrix} ρ_{0} \frac{\partial^{2} ψ (z, t)}{\partial t^{2}} = T_{0} \frac{\partial^{2} ψ (z, t)}{\partial z^{2}} ψ (0, t) = ψ (L, t) = 0 & (v l n o v \overset{ˊ}{a} r o v n i c e) \end{matrix}

Metoda separace proměnných: uvažujme

ψ (z, t) ≕ Z (z) \cdot T (t)

. Tím se nemyslí to

T

, které značí napětí, to se teď jmenuje

T_{0}

. Dosazením do vlnové rovnice dostaneme

ρ_{0} \cdot Z (z) \cdot \ddot{T} (t) = T_{0} \cdot Z^{''} (z) \cdot T (t)

\frac{Z^{''}}{Z} (z) = \frac{ρ_{0}}{T_{0}} \frac{\ddot{T}}{T} (t)

Obě strany této rovnice nemůžou záviset na

z

ani na

t

, tedy se musí rovnat stejné konstantě

- C

Z^{''} + C Z = 0

\ddot{T} + C \frac{T_{0}}{ρ_{0}} T = 0

To jsou obyčejné diferenciální rovnice, které umíme řéšit. Napřéd dosadíme okrajové podmínky:

ψ (0, t) = Z (0) \cdot T (t) = 0

ψ (L, t) = Z (L) \cdot T (t) = 0

Předpokládejme netriviální řešení, tedy

T (t) \neq 0

Z (0) = Z (L) = 0

Řešme rovnici pro

Z

. Rozlišíme tři případy:

$C = 0$: $Z^{''} (z) = 0 ∴ Z (z) = a z + b$ Dosazením okrajových podmínek dostaneme $Z (z) = 0$ , takže v tomto případě máme pouze triviální řešení.
$C < 0$: Řešení vyjde ve tvaru $Z (z) = c_{1} \exp (n \overset{ˇ}{e} c o)$ Okrajové podmínky opět vynutí $Z (z) = 0$ .
$C > 0$: Máme rovnici harmonického oscilátoru, ale v prostoru; analogii úhlové rychlosti nazveme vlnové číslo $k ≔ \sqrt{C}$ $Z^{''} (z) + k^{2} Z (z) = 0$ $Z (z) = a \cos (k z) + b \sin (k z)$ Dosazením první okrajové podmínky dostaneme $a = 0$ . Z druhé dostaneme $b \sin (k L) = 0$ Máme tedy pro každé $m \in ℤ$ řešení $k_{m} L = m π$ $k_{m} = \frac{m π}{L} ∴ C_{m} = {(\frac{m π}{L})}^{2}$ $Z_{m} (z) = b_{m} \sin (k_{m} z)$ Dosadíme do rovnice pro $T$ : $\ddot{T} (t) + ω_{m}^{2} T (t) = 0 ω_{m} = k_{m} \sqrt{\frac{T_{0}}{ρ_{0}}}$ $T_{m} (t) = a_{m} \cos (ω_{m} t + φ_{m})$ Různá řešení můžeme superponovat: $ψ (z, t) = \sum_{m = 1}^{\infty} A_{m} \sin (k_{m} z) \cos (ω_{m} t + φ_{m})$

Vlna je tedy superpozice stojatých vln, jejichž tvar je $X_{m} (z) = \sin (k_{m} z)$ .

Vznikly čtyři konstanty. Dvě z nich ( $k_{m}, ω_{m}$ ) jsou dané fyzikálním systémem, zbylé dvě ( $A_{m}, φ_{m}$ ) musíme dopočítat z počátečních podmínek (neplést s okrajovými podmínkami, ty už jsme použili).

Počáteční úloha

Máme dané počáteční podmínky

f, g

a chceme určit konstanty

A_{m}, φ_{m}

Řešení.

ψ (z, t) = \sum_{m = 1}^{\infty} A_{m} \sin (k_{m} z) \cos (ω_{m} t + φ_{m})

f (z) = ψ (z, 0) = \sum_{m = 1}^{\infty} A_{m} \cos (φ_{m}) \sin (k_{m} z)

g (z) = \frac{\partial ψ (z, 0)}{\partial t} = \sum_{m = 1}^{\infty} - A_{m} ω_{m} \sin (φ_{m}) \sin (k_{m} z)

Kdyby se nám podařilo zapsat

f (z)

jako

\sum_{m = 1}^{\infty} f_{m} \sin (k_{m} z)

a analogicky pro

g

, uměli bychom srovnáním určit

A_{m}, φ_{m}

A_{m}^{2} = f_{m}^{2} + {(\frac{g_{m}}{ω_{m}})}^{2}

\tan (φ_{m}) = - \frac{g_{m}}{ω_{m} f_{m}}

Najít

f_{m}

je možné pomocí Fourierových řad.

Fourierovy řady

Definice. Nechť

f : ℝ \to ℝ

má periodu

2 L

. Potom její Fourierova řada je

f_{F} (z) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \cos (k_{m} z) + b_{m} \sin (k_{m} z))

k_{m} = \frac{m π}{L}

a_{m} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (z) \cos (k_{m} z) d z

b_{m} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (z) \sin (k_{m} z) d z

Věta. Nechť

f

je po částech diferencovatelná a

z \in ℝ

. Potom

je-li $z$ bod spojitosti $f$ , potom $f_{F} (z) = f (z)$
není-li $z$ bod spojitosti $f$ , potom $f_{F} (z) = \frac{\lim_{z^{+}} f + \lim_{z^{-}} f}{2}$

Věta. Jestliže

f

je sudá funkce, potom

\forall m \in ℕ

b_{m} = 0

a_{m} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (z) \cos (k_{m} z) d z

Jestliže

f

je lichá funkce, potom

\forall m \in ℕ

a_{m} = 0

b_{m} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (z) \sin (k_{m} z) d z

Důkaz. Triviální.

Zpét k řešení počáteční úlohy. Jelikož známe $f$ , $g$ zadané na intervalu $⟨ 0, L ⟩$ , můžeme provést liché prodloužení a dodefinovat je, aby byly liché a periodické s periodou $2 L$ . To nám umožní nalézt $f_{m}, g_{m}$ podle předchozích dvou vět.

d'Alembertovo řešení vlnové rovnice

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} ψ (z, t)}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} ψ (z, t)}{\partial z^{2}} & (o b e c n \overset{ˊ}{a} v l n o v \overset{ˊ}{a} r o v n i c e) \end{matrix}

Řešení.

\underset{□}{\underset{⏟}{(\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}})}} ψ = 0

(\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial z}) (\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial z}) ψ = 0

Zavedeme nové souřadnice tak, aby tato rovnice vypadala hezky

ξ ≔ z - v t

η ≔ z + v t

\tilde{ψ} (ξ, η) ≔ ψ (z (ξ, η), t (ξ, η)) = ψ (\frac{η + ξ}{2}, \frac{η - ξ}{2})

ψ (ξ, η) = \tilde{ψ} (ξ (z, t), η (z, t)) = \tilde{ψ} (z - v t, z + v t)

\frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{\partial \tilde{ψ}}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial t} + \frac{\partial \tilde{ψ}}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial t} = - v \frac{\partial \tilde{ψ}}{\partial ξ} + v \frac{\partial \tilde{ψ}}{\partial η}

\frac{\partial ψ}{\partial z} = \frac{\partial \tilde{ψ}}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial z} + \frac{\partial \tilde{ψ}}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial z} = \frac{\partial \tilde{ψ}}{\partial ξ} + \frac{\partial \tilde{ψ}}{\partial η}

\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial z} = \dots = - 2 \frac{\partial}{\partial ξ}

\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial z} = \dots = 2 \frac{\partial}{\partial η}

\frac{\partial^{2} \tilde{ψ}}{\partial ξ \partial η} = 0

\frac{\partial}{\partial ξ} (\frac{\partial \tilde{ψ}}{\partial η}) = 0 ∴ \frac{\partial \tilde{ψ}}{\partial η} = g (η)

\tilde{ψ} (ξ, η) = \int g (η) d η + F (ξ) = F (ξ) + G (η)

ψ (z, t) = F (z - v t) + G (z + v t)

Pokud za $G$ dáme $0$ , potom vyjde $ψ (z, 0) = F (z)$ , analogicky při záměně $F, G$ , tedy $F, G$ určují tvar struny. To znamená, že tvar struny může být „téměř libovolná“ funkce!

Také pokud za $G$ dáme $0$ , zjistíme, že $ψ (z, t) = F (z - v t) ∴ z (t) = x_{0} + v t$ . Tedy vlna má libovolný tvar, ale musí se šířit rychlostí $v$ (fázovou rychlostí). Pokud naopak vynulujeme $F$ , dostaneme vlnu šířící se na opačnou stranu.

Vyzařování postupných vln

Víme, že vlna se po struně šíří rychlostí $v$ , ale jak ji na strunu dostaneme?

Mějme strunu ve tvaru polopřímky od $z = 0$ do $z = \infty$ . Chceme posílat vlny pouze zleva doprava, takže $G = 0$ . Máme $ψ (z, t) = F (z - v t)$ a chceme zjistit $F$ .

ψ (z = 0, t) = F (- v t) ≕ y (t)

$y$ je nějaká obecná funkce, která reprezentuje, jak máváme strunou na začátku.

F (x) = y (- \frac{x}{v})

ψ (z, t) = y (- \frac{z - v t}{v}) = y (t - \frac{z}{v}) ≕ y (t_{r})

Výška vlny v místě $z$ v čase $t$ je tedy rovna výšce na začátku struny v retardovaném čase $t_{r} = t - \frac{z}{v}$ .

Harmonické postupné vlny

Uvažujme případ $y (t) = A \cos (ω t + φ)$ . Potom

F (x) = A \cos (- \frac{ω}{v} x + φ)

ψ (z, t) = F (z - v t) = A \cos (- \underset{k}{\underset{⏟}{\frac{ω}{v}}} z + ω t + φ)

Analogicky pro strunu z $- \infty$ do $0$ , kde $F = 0$ , bychom měli

ψ (z, t) = G (z + v t) = A \cos (k z + ω t + φ)

Počáteční úloha

Mějme dané $f, g : ℝ \to ℝ$ . Chceme najít řešení s počátečními podmínkami $ψ (z, 0) = f (z), \frac{\partial ψ (z, 0)}{\partial t} = g (z)$ . Dosazením dostaneme:

f (z) = F (z) + G (z)

Zintegrujeme druhou rovnici:

g (z) = - v (F^{'} (z) - G^{'} (z))

G (z) - F (z) = \frac{1}{v} \int g (z) d z ≕ \tilde{g} (z) + c

Tím jsme získali dvě lineární rovnice o dvou neznámých $F, G$ , které vyřešíme a dostaneme

F (x) = \frac{f (x) - \tilde{g} (x) - c}{2}

G (x) = \frac{f (x) + \tilde{g} (x) + c}{2}

ψ (z, t) = \frac{f (z - v t) - \tilde{g} (z - v t) + f (z + v t) + \tilde{g} (z + v t)}{2}

(kde $\tilde{g} (x) ≔ \frac{1}{v} \int g$ )

Energie vlnění ve struně

Chceme zjistit, kolik energie je v daném čase na daném kousku struny délky $d z$ .

d E = d T + d U

d T = \frac{d m}{2} v^{2} = \frac{ρ}{2} {(\frac{\partial ψ}{\partial z})}^{2} d z ≕ τ d z

Definice. Hustota energie je

ε

dané vztahem

E_{⟨ z_{1}, z_{2} ⟩} = \int_{z_{1}}^{z_{2}} ε d z

Představme si strunu jako hromadu závaží spojených pružinami; potenciální energie je tedy uložena v pružinách.

Nechť $d N ≔ \frac{d z}{a}$ je množství pružinek na úseku.

d U = d N \cdot U_{1} = \frac{d z}{a} \frac{k}{2} (1 - \frac{a_{0}}{a}) {(Δ ψ)}^{2} = a \frac{k}{2} (1 - \frac{a_{0}}{a}) {(\frac{Δ ψ}{a})}^{2} d z \overset{\overset{}{a \to 0}}{\to} \frac{T}{2} {(\frac{\partial ψ}{\partial z})}^{2} d z ≕ μ d z

$k$ je tuhost pružiny, nikoliv vlnové číslo.

ε = μ + τ = \frac{ρ}{2} {(\frac{\partial ψ}{\partial t})}^{2} + \frac{T}{2} {(\frac{\partial ψ}{\partial z})}^{2}

$ε, τ, μ$ jsou kvadratické ve výchylkách, tedy nelze použít komplexifikaci! $ℜ {(ψ)}^{2} \neq ℜ (ψ^{2})$

\begin{aligned} \frac{d E_{⟨ z_{1}, z_{2} ⟩}}{d t} & = \frac{d}{d t} \int_{z_{1}}^{z_{2}} ε (z, t) d z \\ = \int_{z_{1}}^{z_{2}} \frac{\partial ε}{\partial t} d z \\ = \int_{z_{1}}^{z_{2}} ρ \frac{\partial ψ}{\partial t} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} + T \frac{\partial ψ}{\partial z} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial z \partial t} d z \\ \overset{\overset{}{\begin{array}{c} v l n o v \overset{ˊ}{a} \\ rovnice \end{array}}}{=} \int_{z_{1}}^{z_{2}} T \frac{\partial ψ}{\partial t} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial z^{2}} + T \frac{\partial ψ}{\partial z} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial z \partial t} d z \\ = \int_{z_{1}}^{z_{2}} T \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial ψ}{\partial t} \frac{\partial ψ}{\partial z}) d z \\ = {[T \frac{\partial ψ}{\partial t} \frac{\partial ψ}{\partial z}]}_{z_{1}}^{z_{2}} ≕ S (z_{1}, t) - S (z_{2}, t) (tok energie) \end{aligned}

S (z, t) ≔ - T \frac{\partial ψ}{\partial t} \frac{\partial ψ}{\partial z}

\begin{matrix} \frac{d E}{d t} = S_{1} - S_{2} & (z \overset{ˊ}{a} k o n z a c h o v \overset{ˊ}{a} n \overset{ˊ}{ı} e n e r g i e v i n t e g r \overset{ˊ}{a} l n \overset{ˊ}{ı} m t v a r u) \end{matrix}

Fyzikální význam: Tok energie $S$ je roven výkonu vnějších sil:

P = \vec{F} \cdot \vec{v} = - F v \cos (α) = - T \cos (α) \frac{\partial ψ}{\partial t} = - T \frac{\partial ψ}{\partial z} \frac{\partial ψ}{\partial t} = S

Podívejme se na hustotu energie:

\int_{z_{1}}^{z_{2}} \frac{\partial ε}{\partial t} d z = \int_{z_{1}}^{z_{2}} \frac{\partial}{\partial z} (T \frac{\partial ψ}{\partial t} \frac{\partial ψ}{\partial z}) d z = - \int_{z_{1}}^{z_{2}} \frac{\partial S}{\partial z} d z

\begin{matrix} \frac{\partial ε}{\partial t} + \frac{\partial S}{\partial z} = 0 & (z \overset{ˊ}{a} k o n z a c h o v \overset{ˊ}{a} n \overset{ˊ}{ı} e n e r g i e v d i f e r e n c i \overset{ˊ}{a} l n \overset{ˊ}{ı} m t v a r u a l i a s r o v n i c e k o n t i n u i t y) \end{matrix}

Energie v postupné vlně

ψ (z, t) = F (z - v t) + G (z + v t)

Uvažujme pouze dopřednou vlnu, tedy $G = 0$ .

\frac{\partial ψ}{\partial z} = F^{'} (z - v t)

\frac{\partial ψ}{\partial t} = - v F^{'} (z - v t) = - v \frac{\partial ψ}{\partial z}

τ = \frac{ρ}{2} {(\frac{\partial ψ}{\partial t})}^{2}

μ = \frac{T}{2} {(\frac{\partial ψ}{\partial z})}^{2} = \frac{T}{2 v^{2}} {(\frac{\partial ψ}{\partial t})}^{2} = \frac{ρ}{2} {(\frac{\partial ψ}{\partial t})}^{2} = τ

ε = τ + μ = 2 τ = 2 μ

S = - T \frac{\partial ψ}{\partial t} \frac{\partial ψ}{\partial z} = T v {(\frac{\partial ψ}{\partial z})}^{2} = ε v

Tedy tok energie v postupné vlně je hustota energie krát rychlost šíření — energie se šírí společně s vlnou.

S = - T \frac{\partial ψ}{\partial t} \frac{\partial ψ}{\partial z} = \frac{T}{v} {(\frac{\partial ψ}{\partial t})}^{2} = \sqrt{T ρ} {(\frac{\partial ψ}{\partial t})}^{2} ≕ Z {(\frac{\partial ψ}{\partial t})}^{2}

$Z$ je impedance a když se vynásobí druhou mocninou rychlosti výchylky, opět tedy dostaneme tok energie.

Postupné harmonické vlnění

Teď neuvažujeme strunu, ale něco obecného!

ψ (z, t) = A \cos (ω t - k z) ≕ A \cos (φ (t))

Definice. Perioda harmonického vlnění je

T ≔ \frac{2 π}{ω}

. (Neplést s tím

T

, které značí napětí struny, teď žádnou strunu nemáme.)

Definice. Vlnová délka harmonického vlnění je

λ ≔ \frac{2 π}{k}

Chceme zjistit fázovou rychlost $v$ , což je rychlost pohybu místa s konstantní fází. Chceme tedy zjistit, kdy se fáze rovná nějaké konstantě $φ_{0}$ .

φ (t) = ω t - k z = φ_{0}

z (t) = \frac{ω}{k} t - \frac{φ_{0}}{k}

v = \frac{ω}{k}

Definice. Disperzní vztah udává přípustné kombinace

ω, k

, pro které může vlna existovat. Buď pro dané

k

určí

ω

, nebo naopak.

Příklad. Mějme rovnici pro strunu:

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial z^{2}}

Spočtením derivací a dosazením dostaneme disperzní vztah pro strunu

ω = v k

Definice. Nedisperzní prostředí je prostředí, ve kterém je

ω \propto k

, tedy fázová rychlost nezávisí na

k

nebo

ω

Definice. Transparentní prostředí je prostředí, ve kterém existuje přípustná kombinace

ω, k

Definice. Reaktivní prostředí je prostředí, ve kterém neexistuje přípustná kombinace

ω, k

Příklad. Mějme disperzní vztah

ω^{2} = ω_{min}^{2} + v^{2} k^{2}

. Pro

ω < ω_{min}

je reaktivní. Rovnice však má komplexní řešení, a sice

k = \pm \sqrt{\frac{ω_{min}^{2} - ω^{2}}{v^{2}}} i ≕ ϰ i

ψ = ℜ (A \exp (i (ω t \pm ϰ i z + φ))) = A \exp (\mp ϰ z) \cos (ω t + φ)

Tedy nevznikne postupná vlna, ale jakási tlumená stojatá vlna — evanescentní vlna.

Pro $ω \geq ω_{min}$ je prostředí transparentní, vlna bude postupná.

Příklad. Mějme disperzní vztah

ω = ω_{max} \sin (β k)

(ten se vyskytuje u závaží spojených pružinkami). Nějakými úpravami dostaneme

ω = ω_{max} \cosh (β ϰ)

, kde

i ϰ ≔ β k - \frac{π}{2}

. Dosazením do vztahu pro

ψ

dostaneme

{\hat{ψ}}_{l} (t) = {(- 1)}^{l} \exp (- ϰ l a) \exp (i ω t)

To je nějaká tlumená stojatá vlna s tím, že sousední závaží kmitají v protifázi. Odpovídá to tomu, že když s řetízkem budeme kmitat moc rychle, vlna se nebude šířit.

Fourierova transformace

Nechť $f (t)$ je periodická funkce s periodou $T$ (která nijak nesouvisí s napětím struny). Již víme:

f (t) = \sum_{m = 0}^{\infty} a_{m} \cos (\frac{2 m π t}{T}) + b_{m} \cos (\frac{2 m π t}{T})

a_{m} = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) \cos (\frac{2 m π t}{2}) d t

b_{m} = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) \sin (\frac{2 m π t}{2}) d t

To nám dává dva pohledy na stejnou funkci:

Časová reprezentace: $f (t)$
Frekvenční reprezentace: ${(a_{m}, b_{m})}_{m = 0}^{\infty}$

Tedy každou periodickou funkci dokážeme „namíchat“ ze sinů a cosinů, jejichž frekvence jsou celočíselnými násobky nějaké základní frekvence. $ω_{1} = \frac{2 π}{T}; ω_{m} = m ω_{1}$

Mějme nyní neperiodickou funkci. Pokud vezmeme její část od $- \frac{T}{2}$ do $\frac{T}{2}$ a periodicky ji rozšíříme, dostaneme (překvapivě) periodickou funkci, která má Fourierovu řadu. Pojďme teď „poslat $T$ do nekonečna“.

f (t) = \lim_{T \to \infty} \sum_{m = 0}^{\infty} (\frac{a_{m} (T)}{ω_{1} (T)} \cos (m ω_{1} t) + \frac{b_{m} (T)}{ω_{1} (T)} \sin (m ω_{1} t))

Zaveďme frekvenční spektra

A (ω) ≔ \lim_{T \to \infty} \frac{a_{m} (T)}{ω_{1} (T)} = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) \cos (ω t) d t

B (ω) ≔ \lim_{T \to \infty} \frac{b_{m} (T)}{ω_{1} (T)} = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) \sin (ω t) d t

f (t) = \int_{0}^{\infty} (A (ω) \cos (ω t) + B (ω) \sin (ω t)) d t

Komplexifikace

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{\infty} (A (ω) \frac{\exp (i ω t) + \exp (- i ω t)}{2} + B (ω) \frac{\exp (i ω t) + \exp (- i ω t)}{2 i}) d t \\ = \int_{0}^{\infty} (\exp (i ω t) \frac{A (ω) - i B (ω)}{2} + \exp (- i ω t) \frac{A (ω) + i B (ω)}{2}) d t \\ = \int_{0}^{\infty} (C (ω) \exp (i ω t) + C (- ω) \exp (- i ω t)) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} C (ω) \exp (i ω t) d t \end{aligned}

Vlnové balíky a relace neurčitosti

Definice. Monochromatické vlnění:

x (t) = A \cos (ω_{0} t + φ_{0})

Definice. Kvazimonochromatické vlnění:

x (t) = A (t) \cos (ω_{0} (t) t + φ_{0} (t))

, kde funkce

A (t), ω_{0} (t), φ (t)

se mění pomalu vzhledem k periodě

Příklad. Exponenciálně tlumená harmonická vlna s velmi slabým tlumením:

x (t) = A \exp (- α t) \cos (ω_{0} t), α ≪ ω_{0}

Definice. Vlnový balík je časově a prostorově ohraničené vlnění. To jest, vně nějakého omezeného intervalu je vlnění velmi malé.

Definice. Kvazimonochromatický vlnový balík:

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} C (ω) \exp (i ω t) d ω

Na cvičení je spočteno, že pokud jako frekvenční spektrum vezmeme určitý rozsah frekvencí se stejnou amplitudou (obdélníkové spektrum):

C (ω) ≔ {\begin{matrix} \frac{A}{2} & ω_{0} - \frac{Δ ω}{2} \leq ω \geq ω_{0} + \frac{Δ ω}{2} \\ 0 & jinak \end{matrix}

dostaneme součin dvou vln o různých frekvencích:

x (t) = \underset{m o d u l a \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{ı} v l n a A (t)}{\underset{⏟}{A Δ ω \frac{\sin (\frac{Δ ω}{2} t)}{\frac{Δ ω}{2} t}}} \cdot \underset{n o s n \overset{ˊ}{a} v l n a}{\underset{⏟}{\cos (ω_{0} t)}}

Modulační vlna potom vytváří jakési „buřtíky“ proložené nosnou vlnou.

Věta. Pro takovýto balík platí

Δ t \cdot Δ ω = 4 π

, kde

Δ t

je šířka největšího buřtu.

Věta (relace neurčitosti). Obecně platí

Δ t \cdot Δ ω \geq π

, kde ty věci jsou nějak rigorózně definované.

Příklad. Mějme starou Wi-Fi s

Δ f = 20 M H z

. Kódujeme binární signál tak, že každý interval

Δ t

buď pošleme, nebo nepošleme vlnový balík. Podle relace neurčitosti máme omezenou přenosovou rychlost:

N = \frac{1}{Δ t} \leq \frac{Δ ω}{π} = 2 Δ f = 40 \frac{M b}{s}

Věta. Mějme funkci

f (t)

a její Fourierovo spektrum

C (ω)

. Potom spektrum funkce

f (a t)

C_{a} (ω) ≔ \frac{1}{a} C (\frac{ω}{a})

Důkaz.

C (ω) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) \exp (- i ω t) d t

\begin{aligned} C_{a} (ω) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (a t) \exp (- i ω t) d t \\ \overset{\overset{}{t^{'} ≔ a t}}{=} \frac{1}{a} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (t^{'}) \exp (- i \frac{ω}{a} t^{'}) d t^{'} \\ = \frac{1}{a} C (\frac{ω}{a}) \end{aligned}

Grupová rychlost

Již známe fázovou rychlost: $A \cos (ω t - k z + φ) \to v_{φ} = \frac{ω}{k}$

Mějme superpozici dvou postupných harmonických vln:

ψ (z, t) ≔ ψ_{1} (z, t) + ψ_{2} (z, t) = A \cos (ω_{1} t - k_{1} z) + A \cos (ω_{2} t - k_{2} z)

Tyto vlny chceme vybudit v nějakém prostředí, takže máme disperzní vztah $ω = ω (k) \to ω_{1} = ω (k_{1}), ω_{2} = ω (k_{2})$

\begin{aligned} ψ (z, t) & = 2 A \cdot \cos (\frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} t - \frac{k_{1} - k_{2}}{2} z) \cdot \cos (\frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t - \frac{k_{1} + k_{2}}{2} z) \\ ≕ 2 A \cdot \underset{m o d u l a \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{ı} v l n a}{\underset{⏟}{\cos (ω_{mod} t - k_{mod} z)}} \cdot \underset{n o s n \overset{ˊ}{a} v l n a}{\underset{⏟}{\cos (ω_{0} t - k_{0} z)}} \end{aligned}

Předpokládejme, že $k_{1}, k_{2}$ jsou blízké. Ze spojitosti disperzního vztahu plyne, že $ω_{1}, ω_{2}$ jsou také blízké. Tedy $ω_{mod} ≪ ω_{0}, k_{mod} ≪ k_{0}$

Definice. Grupová rychlost

v_{g} ≔ \frac{ω_{mod}}{k_{mod}}

je rychlost postupu modulační vlny.

Máme tedy velkou pohybující se vlnu, uvnitř níž se nezávisle pohybuje malá vlna.

Věta.

v_{g} \approx \frac{d ω}{d k} (k_{0})

Důkaz.

v_{g} = \frac{ω_{mod}}{k_{mod}} = \frac{ω_{1} - ω_{2}}{k_{1} - k_{2}} = \frac{ω (k_{1}) - ω (k_{2})}{k_{1} - k_{2}} \overset{\overset{}{k_{1}, k_{2} \to k_{0}}}{\to} \frac{d ω}{d k} (k_{0})

Pro obecný vlnový balík:

f (t) = \int_{- \infty}^{\infty} C (ω) \exp (i ω t) d ω

\begin{aligned} ψ (z, t) & = \int_{- \infty}^{\infty} C (ω) \exp (i (ω t - k (ω) z)) d ω \\ \overset{\overset{}{\tilde{C} (k) ≔ C (ω (k)) \frac{d k}{d ω}}}{=} \int_{- \infty}^{\infty} \tilde{C} (k) \exp (i (ω (k) t - k z)) d k \end{aligned}

ω (k) \overset{\overset{}{Taylor}}{=} ω (k_{0}) + \frac{d ω}{d k} (k_{0}) \cdot (k - k_{0}) + 𝒪 ({(k - k_{0})}^{2})

\begin{aligned} \exp (i (ω (k) t - k z)) & = \exp (i k_{0} z) \cdot \exp (- i k_{0} z) \cdot \exp (i ω (k_{0}) t) \cdot \exp (i ω^{'} (k_{0}) (k - k_{0}) t) \cdot \exp (i 𝒪 ({(k - k_{0})}^{2}) t) \cdot \exp (- i k z) \\ = \exp (i (ω (k_{0}) t - k_{0} z)) \cdot \exp (i (ω^{'} (k_{0}) (k - k_{0}) t - (k - k_{0}) z)) \cdot \exp (i 𝒪 ({(k - k_{0})}^{2}) t) \end{aligned}

Pokud však nezanedbáme člen $\exp (i 𝒪 ({(k - k_{0})}^{2}) t)$ , vznikne nám závislost na čase, tedy tvar [amplitudové obálky] vlnového balíku se velmi pomalu mění v čase — rozplývání vlnového balíku

Zapišme balík jako superpozici dvou balíků $ψ ≕ ψ_{+} + ψ_{-}$ , tedy pro jejich spektra bude platit $\tilde{C} (k) = {\tilde{C}}_{+} (k) + {\tilde{C}}_{-} (k)$ , a to tak, že se kopec rozdělí kolem středu na dva užší kopce, tedy středy nových spekter budou $k_{\pm} ≔ k_{0} \pm \frac{Δ k}{4}$ . Jejich grupové rychlosti budou $v_{g \pm} = \frac{d ω}{d k} (k_{\pm})$ . Mezi nimi je malý rozdíl $Δ v_{g} ≔ v_{g +} - v_{g -} = \frac{ω^{'} (k_{+}) - ω^{'} (k_{-})}{k_{+} - k_{-}} (k_{+} - k_{-}) \approx ω^{''} (k_{0}) \frac{Δ k}{2}$

Tedy tyto podbalíky se budou rozjíždět rychlostí úměrnou druhé derivaci disperzního vztahu.

Definice. Prostředí se nazývá disperzní, pokud dochází k rozplývání balíků, tedy disperzní vztah není lineární.

Příklad. Mějme disperzní vztah

ω = α k^{2}

. Poté máme

v_{φ} = \frac{ω}{k} = α k, v_{g} = \frac{d ω}{d k} = 2 α k = 2 v_{φ}

. Tedy v tomto prostředí amplitudová obálka předjíždí nosnou vlnu.

Odrazy vln

Posíláme vlnu na nějaké rozhraní a zajímá nás, co se s ní stane. K tomu potřebujeme okrajové podmínky alias podmínky napojení.

Jako model použijeme struny a jejich napojení. Máme tedy jednu skalární funkci $ψ (z, t)$ . To je jednoduchý mechanický systém, který si umíme snadno představit. (Pozdéji budeme dělat elektromagnetickou vlnu, která má ale šest funkcí $\vec{E}, \vec{B}$ .)

Mějme strunu od $- \infty$ do $0$ , ze které nám někdo pošle vlnu. Chceme zjistit, jestli se nějak odrazí.

ψ (z, t) = F (z - v t) + G (z + v t)

Zřejmě $F$ reprezentuje dopadající vlnu, jejíž tvar chceme předepsat, a $G$ reprezentuje odraženou vlnu, jejíž tvar chceme zjistit. K tomu ještě potřebujeme okrajovou podmínku. Nechť $M$ je hmotnost konce, potom (jak už jsme odvodili)

M \frac{\partial^{2} ψ (0, t)}{\partial z^{2}} = F

F_{p r u \overset{ˇ}{z}} = - T \frac{\partial ψ (0, t)}{\partial z}

Uvažujme k tomu ještě sílu tření $F_{t \overset{ˇ}{r}} = - α \frac{\partial ψ (0, t)}{\partial t}$ , tedy $F = F_{p r u \overset{ˇ}{z}} + F_{t \overset{ˇ}{r}}$ . Pro jednoduchost uvažujme $M = 0$ , tedy

\begin{aligned} 0 & = T \frac{\partial ψ (0, t)}{\partial z} + α \frac{\partial ψ (0, t)}{\partial t} \\ = T (F^{'} (- v t) + G^{'} (v t) + α (- v \cdot F^{'} (- v t) + v \cdot G^{'} (v t))) \end{aligned}

G^{'} (x) = \frac{- T + α v}{T + α v} F^{'} (- x)

G (x) = \frac{T - α v}{T + α v} F (- x)

Tedy odražená vlna je stejná jako původní vlna, jen s amplitudou přenásobenou konstantou, která závisí na parametrech lana. Tato konstanta se nazývá koeficient odrazu:

R ≔ \frac{G}{F} = \frac{T - α v}{T + α v} = \frac{\frac{T}{v} - α}{\frac{T}{v} + α} = \frac{Z - α}{Z + α}

Všimněme si, že pokud $α = Z$ , nic se neodrazí. Tedy struna se při správně vyladěném tření chová, jako kdyby pokračovala. Tomu se říká korektní zakončení. V elektrické síti se takto pro odraz signálu dá použít rezistor (odpor je elektrická analogie tření). Pokud $α = 0$ , jde o volný konec a odrazí se všechno. Pokud $α = \infty$ , jde o pevný konec a vlna se odrazí obrácená. Obecně $R \in ⟨ - 1,1 ⟩$ .

Nehmotné napojení

Nyní uvažujme dvě struny napojené v bodě $0$ . Každá má vlastní vlnovou funkci $ψ_{1}, ψ_{2}$ , která se řídí vlastní vlnovou rovnicí s vlastními fyzikálními parametry $ρ_{1}, T_{1}, ρ_{2}, T_{2}$ , kterým jednoznačně odpovídají parametry $v_{1}, Z_{1}, v_{2}, Z_{2}$ . Stejně tak máme dvě d'Alembertova řešení s funkcemi $F_{1}, G_{1}, F_{2}, G_{2}$ . Jejich význam je: $F_{1}$ = dopadající vlna (předepsaná), $G_{1}$ = odražená vlna (chceme určit), $F_{2}$ = prošlá vlna (chceme určit), $G_{2} = 0$ (vlnu zprava nechceme). Máme také podmínku napojení:

ψ_{1} (0, t) = ψ_{2} (0, t)

a opět pohybovou rovnici zakončení:

M \frac{\partial^{2} ψ_{1,2} (0, t)}{\partial t^{2}} = - T_{1} \frac{\partial ψ_{1} (0, t)}{\partial z} + T_{2} \frac{\partial ψ_{2} (0, t)}{\partial z}

(U derivací podle času můžeme zaměnit indexy díku podmínce napojení, ale u derivací podle polohy nemůžeme, protože struny můžou mít obecně na konci jiný směr.) Opět zanedbáme hmotnost konce a tentokrát i tření.

1) F_{1} (\underset{≕ x}{\underset{⏟}{- v_{1} t}}) + G_{1} (\underset{- x}{\underset{⏟}{v_{1} t}}) = F_{2} (\underset{\frac{v_{2}}{v_{1}} x}{\underset{⏟}{- v_{2} t}}) + G_{2} (\underset{\frac{v_{2}}{v_{1}} x}{\underset{⏟}{v_{2} t}})

\frac{T_{2}}{T_{1}} \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{Z_{2}}{Z_{1}}

Vlna, která projde, je rovna původní vlně vynásobené koeficientem průchodu:

P = \frac{2 Z_{1}}{Z_{1} + Z_{2}}

Vlna, která se odrazí, je rovna původní vlně vynásobené koeficientem odrazu:

R = \frac{Z_{1} - Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}}

1 + R = P \in ⟨ 0,2 ⟩

Speciálně:

Pro $R = 0$ je $Z_{1} = Z_{2}, P = 1$ . Tedy pokud mají obě struny stejnou impedanci, všechno projde a nic se neodrazí (což dává smysl, protože to je vlastně jedna struna).
Pro $R = 1$ je $Z_{2} = 0, P = 2$ . Tedy pokud je druhá vlna nehmotná nebo nenatažená, celá vlna se odrazí a navíc projde její dvojnásobek. (To neodporuje zákonu zachování energie, protože vlna ve struně s nulovou impedancí nemá žádnou energii.)
Pro $R = - 1$ je $Z_{2} = \infty, P = 0$ . Tedy u pevného konce se odrazí celá vlna, ale vopáčně, což odpovídá předchozímu výsledku.

ψ_{1} (z, t) = F_{1} (z - v_{1} t) + R F_{1} (- z - v_{1} t)

ψ_{2} (z, t) = P F_{1} (\frac{v_{1}}{v_{2}} (z - v_{2} t))

Příklad (harmonická postupná vlna).

F_{1} (x) = \exp (i k_{1} x)

ψ_{d o p a d a j \overset{ˊ}{ı} c \overset{ˊ}{ı}} = \exp (- i (ω t - k_{1} z))

ψ_{p r o \overset{ˇ}{s} l \overset{ˊ}{e}} = P \exp (- i (ω t - k_{1} \frac{v_{1}}{v_{2}} z))

ψ_{o d r a \overset{ˇ}{z} e n \overset{ˊ}{e}} = R \exp (- i (ω t + k_{1} z))

λ_{2} = \frac{v_{2}}{v_{1}} λ_{1}

Definice. Reflexivita a transmisivita vyjadřují, jaká část energie se odrazila, resp. prošla.

ℛ ≔ \frac{| ⟨ S_{odr} ⟩ |}{⟨ S_{dop} ⟩}

𝒯 ≔ \frac{⟨ S_{pr} ⟩}{⟨ S_{dop} ⟩}

| ⟨ S ⟩ | = \frac{Z A^{2} ω^{2}}{2}

⟨ S_{dop} ⟩ = \frac{Z_{1} ω^{2}}{2}

| ⟨ S_{odr} ⟩ | = \frac{Z_{1} R^{2} ω^{2}}{2}

⟨ S_{pr} ⟩ = \frac{Z_{2} P^{2} ω^{2}}{2}

ℛ = R^{2}

𝒯 = \frac{Z_{2}}{Z_{1}} P^{2}

Věta. Při průchodu vlny platí zákon zachování energie.

Důkaz.

ℛ + 𝒯 = \dots = 1

Hmotné napojení

Nechť jsou vlny napojené s hmotností $M$ , ale $T_{1} = T_{2} ≕ T$ .

M \frac{\partial^{2} ψ_{1,2} (0, t)}{\partial t^{2}} = T (\frac{\partial ψ_{2} (0, t)}{\partial z} - \frac{\partial ψ_{1} (0, t)}{\partial z})

Proveďme „úkrok stranou“:

F_{1} (x) \overset{\overset{}{Fourier}}{=} \int_{- \infty}^{\infty} C (k) \exp (i k x) d k

Uvažujme pouze jednu harmonickou vlnu:

F_{1} (x) ≔ \exp (i k x)

ψ_{d o p a d a j \overset{ˊ}{ı} c \overset{ˊ}{ı}} = \exp (- i (ω t - k_{1} z))

ψ_{o d r a \overset{ˇ}{z} e n \overset{ˊ}{e}} = R \exp (- i (ω t + k_{1} z))

ψ_{p r o \overset{ˇ}{s} l \overset{ˊ}{e}} = P \exp (- i (ω t - k_{2} z))

Pro $z = 0$ :

$\exp (- i ω t) + R \exp (- i ω t) = P \exp (- i ω t)$ $1 + R = P$
$M {(- i ω)}^{2} P \exp (- i ω t) = T (i k_{2} P \exp (- i ω t) - i k_{1} \exp (- i ω t) + i k_{1} R \exp (- i ω t))$

Řešením této soustavy rovnic dostaneme

P = \frac{2}{1 + \frac{v_{1}}{v_{2}} - i \frac{M ω v_{1}}{T}} n e b o n \overset{ˇ}{e} c o t a k o v \overset{ˊ}{e} h o

Co znamená, že je $P$ komplexní?

P ≕ | P | \exp (i φ) \to ψ_{p 2} = | P | \exp (- i (ω t - k_{2} z - φ))

Zádrhel: $P$ závisí na $ω$ , tedy vlna se odráží různě podle toho, jakou má frekvenci. To je problém, když chceme z harmonických vln poskládat obecnou vlnu.

Díky disperznímu vztahu můžeme místo závislosti na $ω$ uvažovat závislost na $k$ .

ψ_{dop} = \int_{ℝ} C_{(k_{1})} \exp (i k_{1} x) d k_{1}

ψ_{odr} = \int_{ℝ} \underset{\tilde{C} (k_{1})}{\underset{⏟}{C_{(k_{1})} R (k_{1})}} \exp (- i k_{1} x) d k_{1}

ψ_{pr} = \int_{ℝ} \underset{\tilde{C} (k_{2})}{\underset{⏟}{C_{(k_{1})} P (k_{2})}} \exp (- i k_{2} x) d k_{2}

Tedy tvar odražené a prošlé vlny je různý od tvaru dopadající vlny!

Matice přenosu

Příklad. Mějme tři prostředí, mezi nimi dvě rozhraní. Neco projde z prvního do druhého, z toho něco projde do třetího, něco se odrazí zpět a z toho se něco odrazí zase dopředu, … Takže to, co projde z prvního do třetího prostředí, bude vlastně nějaká nekonečná suma.

Definice. Mějme přechod vypadající takto:

\begin{array}{cc} \to_{\underset{}{ψ_{1 R}}}^{\overset{}{A_{1 R}}} & \to_{\underset{}{ψ_{2 R}}}^{\overset{}{A_{2 R}}} \\ \leftarrow_{\underset{}{ψ_{1 L}}}^{\overset{}{A_{1 L}}} & \leftarrow_{\underset{}{ψ_{2 L}}}^{\overset{}{A_{2 L}}} \end{array}

Matice přenosu

𝐃 \in ℂ^{2 \times 2}

je matice, pro kterou platí

(\begin{array}{c} A_{1 R} \\ A_{1 L} \end{array}) = 𝐃 \cdot (\begin{array}{c} A_{2 R} \\ A_{2 L} \end{array})

Příklad. Pro obyčejný přenos máme:

\begin{array}{cc} \overset{\overset{}{1}}{\to} & \overset{\overset{}{P}}{\to} \\ \overset{\overset{}{R}}{\leftarrow} & \overset{\overset{}{0}}{\leftarrow} \end{array}

(\begin{array}{c} 1 \\ R \end{array}) = 𝐃 \cdot (\begin{array}{c} P \\ 0 \end{array})

Příklad. Pro tři prostředí:

\begin{array}{ccc} \overset{\overset{}{1}}{\to} & \overset{\overset{}{A_{\to}}}{\to} & \overset{\overset{}{P}}{\to} \\ \overset{\overset{}{R}}{\leftarrow} & \overset{\overset{}{A_{\leftarrow}}}{\leftarrow} & \overset{\overset{}{0}}{\leftarrow} \end{array}

(\begin{array}{c} 1 \\ R \end{array}) = 𝐃_{1} \cdot (\begin{array}{c} A_{\to} \\ A_{\leftarrow} \end{array})

(\begin{array}{c} A_{\to} \\ A_{\leftarrow} \end{array}) = 𝐃_{2} \cdot (\begin{array}{c} P \\ 0 \end{array})

(\begin{array}{c} 1 \\ R \end{array}) = 𝐃_{1} 𝐃_{2} \cdot (\begin{array}{c} P \\ 0 \end{array})

Matice přenosu nám výrazně zjednodušuje život, protože ji stačí najít pro každé rozhraní zvlášť. Ale jak?

Příklad (napojení strun).

Vlny v prostoru

V 1D:

ψ_{1} (z, t) = \exp (i (ω t - k z))

ψ_{2} (z, t) = \exp (i (ω t + k z))

Zaveďme obecně vlnový vektor $\vec{k} ≕ k \cdot \vec{n}$

ψ (\vec{r}, t) ≔ \exp (i (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r}))

(Už nepotřebujeme obě znaménka, je to zahrnuto do směru vektoru)

Například na pružné bláně je $\vec{r}$ dvourozměrný vektor, $ψ$ vyjadřuje svislou výchylku

Pokud vezmeme dvourozměrnou mřížku závaží spojených pružinkami, dostaneme dvourozměrnou vlnovou rovnici:

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = v^{2} (\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} ψ}{\partial y^{2}}) = v^{2} \nabla_{2D}^{2} ψ

Definice. Vlnoplocha je množina bodů konstantní fáze.

φ (\vec{r}, t) = ω t - \vec{k} \cdot \vec{r}

Najděme vlnoplochu, která má fázi $φ_{0}$ :

\frac{ω}{k} t - \frac{φ_{0}}{k} = \vec{n} \cdot \vec{r} ≕ r \cos (θ) ≕ d

Tedy vlna je jen roztáhlá sinusoida postupující do jednoho směru

d'Alembertovo řešení: $ψ (\vec{r}, t) = F (\vec{k} \cdot \vec{r} - v t)$ , obecně integrál

Sférické vlnoplochy

Co kdyby měla vlnoplocha jiný tvar? Zvolme vlnovou funkci se součinem velikostí místo skalárního součinu:

ψ (\vec{r}, t) ≔ \exp (i (ω t - k \cdot r))

φ (\vec{r}, t) = ω t - k \cdot r

Pro tvar vlnoplochyh máme:

\frac{ω}{k} t - \frac{φ_{0}}{k} = r

Vlny v tomto tvaru však nesplňují vlnovou rovnici, tedy nemůžou existovat! Dokážeme to nějak spravit?

Chceme, aby vlnová funkce závisela pouze na vzdálenosti od počátku (aby to byla koule) a času, nikoli na úhlech, tedy $ψ = ψ (r, t)$ . Potřebujeme tedy získat radiální část Laplaceova operátoru:

\nabla^{2} φ (r) =_{\underset{}{a s i t o n e m u s \overset{ˊ}{ı} m e u m \overset{ˇ}{e} t o d v o d i t}}^{\overset{}{n \overset{ˇ}{e} j a k \overset{ˊ}{a} m a g i e s i n d e x o v \overset{ˊ}{y} m z \overset{ˊ}{a} p i s e m}} \frac{\partial^{2} φ}{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial φ}{\partial r}

Dosadíme do vlnové rovnice:

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = v^{2} (\frac{\partial^{2} ψ}{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial ψ}{\partial r}) = v^{2} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2} (r ψ)}{\partial r^{2}}

Ψ ≔ r ψ

\frac{\partial^{2} Ψ}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial r^{2}}

ψ (r, t) = \frac{1}{r} \exp (i (ω t - k r))

Také existují válcové vlnoplochy, ale ty jsou složitější.

Poznámky [V]OAF — vlnová fyzika

Komplexní čísla

Harmonický oscilátor

Obyčejná lineární diferenciální rovnice s konstantními reálnými koeficienty

Tlumený harmonický oscilátor

Buzený harmonický oscilátor

Kmity soustav s více stupni volnosti

Aproximace malých kmitů

Tlumený oscilátor s více stupni volnosti (BONUS)

Buzený oscilátor s více stupni volnosti (BONUS)

Řetízek atomů (příčné kmity)

Spojitá limita

Rovnice pro strunu

Okrajové podmínky

Počáteční podmínky

Počáteční úloha

Fourierovy řady

Zvuk

Torzní kmity

d'Alembertovo řešení vlnové rovnice

Vyzařování postupných vln

Harmonické postupné vlny

Počáteční úloha

Jak to spolu souvisí?

Energie vlnění ve struně

Energie v postupné vlně

Postupné harmonické vlnění

Fourierova transformace

Komplexifikace

Vlnové balíky a relace neurčitosti

Grupová rychlost

Odrazy vln

Nehmotné napojení

Hmotné napojení

Matice přenosu

Vlny v prostoru

Sférické vlnoplochy