Poznámky VO[AF]

Fotoefekt

Máme materiál, svítíme na něj a zničehonic se z něj začnou uvolňovat elektrony.

Klasické vysvětlení je takové, že je tam nějaká rezonanční křivka. Pokud pošleme světlo na správné frekvenci, uvolní se hodně elektronů, pokud se úplně netrefíme, uvolní se jich méně. Tak to ale ve skutečnosti vůbec není!

Experimenty ukázaly, že pokud je frekvence nižší než nějaká hranice ( $f < f_{min}$ ), neuvolní se vůbec nic. A naopak pokud $f \geq f_{min}$ , elektrony se uvolňují i při velmi malém světle.

Tento efekt se vysvětluje tak, že světlo se skládá z diskrétních částic — fotonů.

Rovnice fotoefektu (z nějakého důvodu se frekvence značí $ν$ ):

h ν = W + E_{k} = W + \frac{m_{e} v^{2}}{2}

Ale počkat, jestliže světlo není vlna, tak všechna naše vysvětlení interference a podobných jevů vůbec nedávají smysl! Z toho můžeme usoudit jedině to, že světlo se chová zčásti jako vlna a zčásti jako částice. To vysvětluje kvantová fyzika.

Comptonův rozptyl

Opět máme blok látky a svítíme na něj světlem. Ale tentokrát velkým světlem! Nechť $E_{f} \approx 100 k e V$ . Záření se bude nějak rozptylovat.

Klasické vysvětlení, které nefunguje, je Thompsonův rozptyl. Vlnění urychlí nějaký náboj a ten potom zase něco vyzáří. To záření může mít různou intenzitu do různých stran, ale do všech bude mít stejnou frekvenci, ne? Akorát že vůbec.

Opět to vysvětlíme tím, že světlo má částicový charakter. Máme zákon zachování hybnosti a energie:

{\vec{p}}_{f} = {\vec{p}}_{f}^{'} + {\vec{p}}_{e}^{'}

E_{f} + E_{e} = E_{f}^{'} + E_{e}^{'}

Pokusíme se eliminovat údaje o elektronu po srážce, protože ty nejdou změřit. To uděláme tím, že si je vyjádříme a použijeme relativistický vztah $E^{2} - p^{2} c^{2} = {(m c^{2})}^{2}$ :

p_{e}^{' 2} = p_{f}^{2} + p_{f}^{' 2} - 2 {\vec{p}}_{f} {\vec{p}}_{f}^{'} = p_{f}^{2} + p_{f}^{' 2} - 2 p_{f} p_{f}^{'} \cos (θ)

E_{e}^{'} = E_{f} + E_{e} - E_{f}^{'} = E_{f} - E_{f}^{'} + m_{e} c^{2}

{(E_{f} - E_{f}^{'} + m_{e} c^{2})}^{2} - (p_{f}^{2} + p_{f}^{' 2} - 2 p_{f} p_{f}^{'} \cos (θ)) c^{2} = {(m_{e} c^{2})}^{2}

Pro foton platí $E_{f} = c p_{f}, E_{f}^{'} = c p_{f}^{'}$ , takže

{(E_{f} - E_{f}^{'} + m_{e} c^{2})}^{2} - E_{f}^{2} - E_{f}^{' 2} + 2 E_{f} E_{f}^{'} \cos (θ) - {(m_{e} c^{2})}^{2} = 0

2 E_{f} E_{f}^{'} (\cos (θ) - 1) + 2 (E_{f} - E_{f}^{'}) m_{e} c^{2} = 0

(h ν - h ν^{'}) m_{e} c^{2} - h^{2} ν ν^{'} (1 - \cos (θ)) = 0

ν^{'} (m_{e} c^{2} + h ν (1 - \cos (θ))) = ν m_{e} c^{2}

ν^{'} (θ) = \frac{ν}{1 + \frac{h ν}{m_{e} c^{2}} (1 - \cos (θ))}

Pokud $h ν ≪ m_{e} c^{2}$ , potom $ν^{'} \approx ν$ , což vysvětluje, proč k pozorování jevu potřebujeme vysokou frekvenci.

Použili jsme tři rovnice (zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti ve dvou směrech) a máme čtyři neznámé ( $φ, θ, ν^{'}, E_{e}^{'}$ ), takže jedna z nich musí zůstat jako nezávislá. V tomto případě je to $θ$ a ukazuje se, že ani nejde určit, protože má pravděpodobnostní charakter. Zabrouzdáváme tedy do pravděpodobnostní statistiky.

Stabilita atomů

Lidé si dříve mysleli, že atom je nějaký oblak, v němž jsou rovnoměrně rozprostřené elektrony, ale Rutherford provedl experiment se střílením héliových atomů na zlatou fólii, čímž vznikl planetární model atomu.

Ovšem ukázalo se, že představa elektronu obíhajícího kolem jádra má také svoje úskalí. Atom vyzařuje nějaké elektromagnetické vlny, takže díky zákonu zachování energie se tím musí snižovat jeho energie, což by znamenalo, že atom bude padat do jádra. Podívejme se na Coulombovu sílu, kterou jádro obsahující $Z$ protonů přitahuje elektron:

m_{e} a_{r} = \frac{k_{C} Z e^{2}}{r^{2}}, k_{C} ≔ \frac{1}{4 π ε_{0}}

Zároveň z mechaniky víme pro zrychlení:

a \approx a_{r} = - \ddot{r} + r {\dot{φ}}^{2} \approx \frac{v_{φ}^{2}}{r} \approx \frac{v^{2}}{r}

(Aproximace jsou dané tím, že atom klesá pomalu.)

a (r) \approx \frac{k_{C} Z e^{2}}{m_{e} r^{2}} ≕ \frac{r_{0} c^{2} Z}{r^{2}}

v (r) \approx \sqrt{\frac{k_{C} Z e^{2}}{m_{e} r}} = \sqrt{\frac{r_{0} c^{2} Z}{r}}

Konstanta $r_{0} ≔ \frac{k_{C} e^{2}}{m_{e} c^{2}}$ se nazývá klasický poloměr elektronu.

Zajímá nás energetická bilance:

\dot{E} = P = v y z a \overset{ˇ}{r} o v a n \overset{˚}{u} v \overset{ˊ}{y} k o n

Pro vyzařovaný výkon použijeme Larmorovu formuli:

P = - \frac{μ_{0} e^{2} a^{2}}{6 π c} = - \frac{e^{2} a^{2}}{6 π ε_{0} c^{3}} = - \frac{2 k_{C} e^{2} a^{2}}{3 c^{3}} = \frac{2 k_{C} e^{2} r_{0}^{2} Z^{2}}{3 c r^{4}} = - \frac{2 r_{0}^{3} m_{e} c^{3}}{3 r^{4}}

E = T + U = \frac{m_{e} v^{2}}{2} - \frac{k_{C} Z e^{2}}{r} = - \frac{k_{C} Z e^{2}}{2 r} = - \frac{m_{e} c^{2} Z r_{0}}{2 r}

\dot{E} = \frac{m_{e} c^{2} Z r_{0} \dot{r}}{2 r^{2}} \overset{\overset{}{m \overset{ˊ}{a} b \overset{ˊ}{y} t}}{=} - \frac{2 r_{0}^{3} m_{e} c^{3}}{3 r^{4}}

r^{2} \dot{r} = - \frac{4 c r_{0}^{2}}{3 Z}

Zintegrováním obou stran podle $t$ dostaneme

r^{3} = - \frac{4 r_{0}^{2} c}{Z} t + C

Pokud označíme počáteční poloměr $a_{0}$ (což je asi to nejhorší možné označení), máme z počáteční podmínky $C = a_{0}^{3}$ .

Nyní už nám nic nebrání určit dobu života elektronu, stačí řešit rovnici $r (t_{\overset{ˇ}{z} i v o t}) = 0$ a dostaneme

t_{\overset{ˇ}{z} i v o t} = \frac{Z a_{0}^{3}}{4 r_{0}^{2} c}

To znamená, že atom spadne do jádra za přibližně $1.6 \cdot 10^{- 11} s$ . To nezní úplně reálně. Co kdybychom to zkoušeli méně aproximovat? Ukazuje se, že tím to bude ještě horší.

Vysvětlilo se to tím, že poloměr „oběžné dráhy“ elektronu se nemůže měnit spojitě, ale může nabývat jen určitých diskrétních hodnot, konkrétně $L = n ℏ, ℏ ≔ \frac{h}{2 π}$ .

r_{n} = \frac{n^{2} ℏ^{2}}{k_{C} Z e^{2} m_{e}} ∵ L = m v r

E_{n} = - \frac{k_{C}^{2} Z^{2} e^{4} m_{e}}{2 ℏ^{2} n^{2}} ≕ - R_{E} \frac{Z^{2}}{n^{2}}, R_{E} = Rydbergova energie

Rydberg prostě jenom tak uhodl tento vzorec:

h ν_{m r} = R_{E} Z^{2} | \frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}} |

Tohle všechno je experimentálně ověřené, takže to asi bude pravda, ovšem chtělo by to vysvětlení, proč elektron nemůže být kdekoli. K tomu slouží kvantová mechanika a Schrödingerův model atomu.

Stav elektronu je popsán veličinami $n, l, m, s$ .

Hlavní kvantové číslo $n \in ℕ$: udává energii $E_{n}$
Vedlejší kvantové číslo $l \in {0, \dots, n - 1}$: udává moment hybnosti $L = ℏ \sqrt{l (l + 1)}$
Magnetické kvantové číslo $m \in {- l, \dots, l}$: udává indukčnost $L_{z} = m ℏ$
Spinové kvantové číslo $s \in {\pm \frac{1}{2}}$: udává jakýsi vnitřní moment hybnosti

Záření černého tělesa

Definice. Absolutně černé těleso je těleso, které pohlcuje veškeré záření.

Černé těleso, které není absolutně černé, má nějaké dva parametry: absorptivitu $α ≔ \frac{I_{p o h l c e n \overset{ˊ}{e}}}{I_{d o p a d l \overset{ˊ}{e}}}$ a emitivitu $ε ≔ \frac{I_{v y z \overset{ˊ}{a} \overset{ˇ}{r} e n \overset{ˊ}{e}}}{I_{BBR}}$ , kde $I_{BBR}$ je intenzita záření, které by vyzařovalo absolutně černé těleso. Dá se ukázat (Kirchhoffův zákon záření), že $α = ε$ .

Obecně mohou $α, ε$ záviset na $ν$ , tedy na $λ$ . Definuje se spektrální hustota $i (ν) ≔ \frac{d I}{d ν}$ .

Věta (Planckův vyzařovací zákon).

i (ν, T) = \frac{2 π h ν^{3}}{c^{2} (\exp (\frac{h ν}{k_{B} T}) - 1)}

Poznámka. Ve většině knih se v tomto vzorci neobjevuje

π

, což je tím, že se tam

i

definuje trochu jinak.

Toto je přesný výsledek, ale historicky vznikl z méně přesných výsledků v určitých speciálních případech.

Pro hodně malé $ν$ máme $\exp (\frac{h ν}{k_{B} T}) \approx 1 + \frac{h ν}{k_{B} T}$ , tedy $i (ν, T) \approx \frac{2 π k T ν^{2}}{c^{2}}$ . To se jmenuje Rayleigh-Jeansův zákon a vyjde to přesně, pokud vyjdeme z klasické fyziky a ne z kvantové teorie. To je další důkaz, že klasicka teorie je blbě, protože tato funkce je neomezená, ale spektrální hustota je ve skutečnosti omezená. Navíc by vyšlo $I (T) = \int_{0}^{\infty} i (ν, T) d ν = \infty$ , což je úplná kravina. Tomu se říká ultrafialová katastrofa.

Uvažujme elektromagnetické záření v krabici. Víme, že se chová jako soustava nekonečně mnoha harmonických oscilátorů o všech možných módech $(m_{1}, m_{2}, m_{3}) \in ℕ_{0}^{3} ∖ {(0,0,0)}$ . Dá se spočítat, že k frekvenčnímu rozsahu $⟨ ν, ν + d ν ⟩$ přispívá $N (ν) ≔ L^{3} \frac{2 π}{c^{3}} ν^{2} d ν$ módů. A ze statistické fyziky nějak plyne $⟨ E ⟩ = k T$ . Z toho lze dostat vztah pro energii $d E = L^{3} ρ d ν = N d ν ⟨ E ⟩$ . Z toho právě vyjde Rayleigh-Jeansův zákon.

Potom přišel Planck a řek: Nenene, ty harmonický oscilátory nemůžou mít spojitý energie, můžou mít jenom energie kvantovaný! —Josef Schmidt, 2022

Poznámky VO[AF] — limity klasické fyziky

Fotoefekt

Vlastnosti fotonu

Comptonův rozptyl

Stabilita atomů

Záření černého tělesa