Maxwellovo rozdělení

Definice. Maxwellovo rozdělení:

ρ_{1} (v_{i}) = \sqrt{\frac{m}{2 π k_{B} Θ}} \exp (- \frac{m v_{j}^{2}}{2 k_{B} Θ})

ρ (\vec{v}) = ρ_{1} (v_{1}) ρ_{1} (v_{2}) ρ_{1} (v_{3}) = {(\frac{m}{2 π k_{B} Θ})}^{\frac{3}{2}} \exp (- \frac{m {\vec{v}}^{2}}{2 k_{B} Θ})

Cvičení. Při Maxwellovo rozdělení:

\begin{aligned} ⟨ v ⟩ & = \int_{0}^{\infty} ρ (v) \cdot v d v \\ = 4 π {(\frac{m}{2 π k_{B} Θ})}^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} v^{3} \exp (- \frac{m v^{2}}{2 k_{B} Θ}) \\ = 4 π {(\frac{m}{2 π k_{B} Θ})}^{\frac{3}{2}} \frac{2 k_{B} T^{2}}{m^{2}} Γ (2) \\ = \sqrt{\frac{8 k_{B} Θ}{π m}} \end{aligned}

Věta (Ekvipartiční teorém).

⟨ v^{2} ⟩ = \frac{3 k Θ}{m}

Termodynamika mechanických systémů

Mějme paramagnetikum dané veličinami $\vec{M}, \vec{H}, Θ$ (magnetizace, intenzita magnetického pole, teplota)

Věta (První princip termodynamiky pro paramagnetikum).

δ Q = d U - \vec{H} d \vec{M}

Věta (Curieův zákon).

\vec{M} = \frac{C \vec{H}}{Θ}

Cvičení (13.1). Nechť

U (Θ) = k_{\vec{M}} Θ + U_{0}

. Chceme zjistit

S (Θ, \vec{M})

Θ d S = δ Q = k_{\vec{M}} d Θ - \vec{H} d \vec{M}

d S = \frac{k_{\vec{M}}}{Θ} d Θ - \frac{\vec{H}}{Θ} d \vec{M} = \frac{k_{\vec{M}}}{Θ} d Θ - \frac{\vec{M}}{C} d \vec{M}

S = \dots

Věta (Tříhvězdičkový vztah pro izotropní paramagnetikum).

{(\frac{\partial U}{\partial M})}_{Θ} = H - Θ {(\frac{\partial H}{\partial Θ})}_{M}

Důkaz.

d S = \frac{1}{Θ} {(\frac{\partial U}{\partial Θ})}_{M} d Θ + \frac{1}{Θ} ({(\frac{\partial U}{\partial M})}_{Θ} - H) d M

⋮

Věta (Mayerův vztah pro ideální izotropní paramagnetikum).

K_{H} - K_{M} = - Θ {(\frac{\partial H}{\partial Θ})}_{M} {(\frac{\partial M}{\partial Θ})}_{H}