Joule-Thompsonův pokus

Dva písty, mezi nimi přepážka, soustava je adiabaticky izolovaná, děj je izoentalpický

Zajímá nás změna teploty při posunutí pístů $Δ Θ = Θ_{2} - Θ_{1}$

Definice. Joule-Thompsonův koeficient:

μ_{J T} = {(\frac{\partial Θ}{\partial p})}_{H} = - \frac{1}{K_{p}} {(\frac{\partial H}{\partial p})}_{Θ}

Věta (něco jako tříhvězdičkový vztah).

{(\frac{\partial H}{\partial p})}_{Θ} = V - {(\frac{\partial V}{\partial Θ})}_{p}

Definice. Inverzní teplota je teplota

Θ_{i}

, při které je

{(\frac{\partial H}{\partial p})}_{Θ} = V - {(\frac{\partial V}{\partial Θ})}_{p} = 0 .

Věta.

Statistika

Definice. Množina diskrétních jevů

Ω = {x_{1}, \dots, x_{n}}

Definice. Pravděpodobnost

i

-tého jevu z množiny je

p_{i}

splňující vlastnosti:

Definice. Střední hodnota funkce

g : Ω \to ℝ

⟨ g ⟩ = \sum_{i} g (x_{i}) p_{i}

Definice. Množina spojitých jevů

Ω \subseteq ℝ

Definice. Hustota pravděpodobnosti je funkce

w : Ω \to ℝ_{0}^{+}

splňující vlastnost:

\int_{Ω} w (x) d x = 1

Definice. Střední hodnota funkce

g : Ω \to ℝ

⟨ g ⟩ = \int_{Ω} g (x) \cdot w (x) d x

Definice.

V a r i a n c e

var (X) = ⟨ x^{2} ⟩ - {⟨ x ⟩}^{2}

Definice. Gaussovo normální rozdělení s parametry

σ, μ

Ω = ℝ

w (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp (- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})

Věta. Gaussovo rozdělení je hustota pravděpodobnosti.

Důkaz.

I_{0} (a) ≔ \int_{ℝ} \exp (- a x^{2}) d x

\begin{aligned} I_{0} {(a)}^{2} & = \int_{ℝ} \exp (- a x^{2}) d x \int_{ℝ} \exp (- a y^{2}) d y \\ = \int_{ℝ^{2}} \exp (- a (x^{2} + y^{2})) d x d y \\ = \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{\infty} d r \exp (- a r^{2}) \cdot r \\ = \frac{2 π}{2 a} \int_{0}^{\infty} \exp (- t) d t \\ = \frac{π}{a} {[- \exp (- t)]}_{0}^{\infty} \\ = \frac{π}{a} \end{aligned}

I_{0} (a) = \sqrt{\frac{π}{a}}

Věta. Pro Gaussovo rozdělení platí

⟨ X ⟩ = μ

var (X) = σ

Definice. Eulerova gama funkce:

Γ (p) = \int_{0}^{\infty} t^{p - 1} \exp (- t) d t

Věta.

Γ (p + 1) = p \cdot Γ (p)

Věta.

(\forall n \in ℕ) (Γ (n + 1) = n!)

Věta.

Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}