Diferenciální formy 1. řádu

Definice. Nechť

ω_{1}, \dots, ω_{n}

jsou funkce z nějakých podmnožin

ℝ^{n}

ℝ

. Diferenciální forma 1. řádu je funkce:

ω : ℝ^{n} \to {(ℝ^{n})}^{#}

ω (\vec{x}) = \sum_{i} ω_{i} (\vec{x}) d x_{i}

D_{ω} = ⋂_{i} D_{ω_{i}}

Definice. Diferenciální forma je exaktní, pokud platí

(\exists F : ℝ^{n} \to ℝ) (ω = d F)

Definice. Diferenciální forma je uzavřená, pokud platí

(j, k \in \hat{n}) (\frac{\partial ω_{j}}{\partial x_{k}} = \frac{\partial ω_{k}}{\partial x_{j}})

Věta. Je-li diferenciální forma exaktní, potom je uzavřená.

Definice.

M \subseteq ℝ^{n}

je souvislá množina, pokud libovolné dva body z

M

lze spojit křivkou v

M

Definice.

M \subseteq ℝ^{n}

je jednoduše souvislá množina, pokud každou uzavřenou křivku v

M

lze spojitě deformovat do bodu.

Věta. Je-li diferenciální forma uzavřená a její definiční obor je jednoduše souvislá množina, potom je exaktní.

Křivkový integrál

Definice. Nechť

φ : ⟨ a, b ⟩ \subseteq ℝ \to ℝ^{n}

. Potom

\int_{φ} ω = \int_{a}^{b} ω (φ (t)) (φ^{'} (t)) d t = \int_{a}^{b} \sum_{j} ω_{j} (φ (t)) φ_{j} (t) d t

Věta. Pro exaktní diferenciální formu platí:

\int_{φ} ω = \int_{a}^{b} d F (φ (t)) d t = F (φ (b)) - F (φ (a))