[REKLAMA]

DB 🚬

k_{DB} = 0 x_{DB} = 51

Co to je?

Na každé přednášce s Dr. Břeněm jsem počítal, kolikrát zakašlal (

k_{DB}

) a zachrchlal (

x_{DB}

), abych poukázal na škodlivost kouření.

Značení

$ω_{0}$ = vlastní frekvence
$Ω$ = frekvence, kterou do toho strkáme

Amplitudová rezonance

Největší amplituda

A = \frac{B}{\sqrt{{(ω_{0}^{2} - Ω^{2})}^{2} + 4 δ^{2} Ω^{2}}}

Výkonová rezonance

Nejvíce přenesené energie

⟨ P ⟩ = 2 δ m Ω^{2} A^{2} ⟨ \cos (Ω t + φ_{0}) ⟩ = \frac{δ m B^{2} Ω^{2}}{{(ω_{0}^{2} - Ω^{2})}^{2} + 4 δ^{2} Ω^{2}}

\begin{aligned} \frac{d ⟨ P ⟩}{d (Ω^{2})} & = δ m B^{2} ({(ω_{0}^{2} - Ω^{2})}^{2} + 4 δ^{2} Ω^{2}) - δ m B^{2} Ω^{2} (- 2 (ω_{0}^{2} - Ω^{2}) + 4 δ^{2}) \\ = {(ω_{0}^{2} - Ω^{2})}^{2} + 4 δ^{2} Ω^{2} + 2 Ω^{2} (ω_{0}^{2} - Ω^{2}) - 4 Ω^{2} δ^{2} \end{aligned}

Ω^{2} = ω_{0}^{2}

Matematické kyvadlo

Konstantní délka $l$ a hmotnost $m$

m a_{r} = m (\ddot{r} - r {\dot{φ}}^{2}) = m g \cos (φ) - F_{n}

m a_{φ} = m (r \ddot{φ} - 2 \dot{r} \dot{φ}) = - m g \sin (φ)

\ddot{φ} + \frac{g}{l} \sin (φ) = 0

\begin{matrix} \ddot{φ} + \frac{g}{l} φ \approx 0 & (p r o m a l \overset{ˊ}{e} v \overset{ˊ}{y} c h y l k y) \end{matrix}

φ = C_{1} \exp (i \sqrt{\frac{g}{l}} t) + C_{2} \exp (- i \sqrt{\frac{g}{l}} t)

\begin{matrix} φ = φ_{0} \cos (\sqrt{\frac{g}{l}} t) & (p \overset{ˇ}{r} i v y c h \overset{ˊ}{y} l e n \overset{ˊ}{ı} a p u \overset{ˇ}{s} t \overset{ˇ}{e} n \overset{ˊ}{ı}) \end{matrix}

\begin{aligned} E & = T + U \\ = \frac{m v^{2}}{2} - m g l \cos (φ) \\ = \frac{m l^{2} {\dot{φ}}^{2}}{2} - m g l \cos (φ) \\ = - m g l \cos (φ_{0}) \end{aligned}

\begin{aligned} t & = \pm \int \frac{d φ}{\sqrt{\frac{2 g}{l} (\cos (φ) - \cos (φ_{0}))}} \\ \approx \pm \int \frac{d φ}{\sqrt{\frac{g}{l} (φ_{0}^{2} - φ)}} \\ = \pm \frac{1}{\sqrt{\frac{g}{l}}} \int \frac{d \frac{φ}{φ_{0}}}{\sqrt{(1 - {(\frac{φ}{φ_{0}})}^{2})}} \\ = \pm \frac{1}{\sqrt{\frac{g}{l}}} \arcsin (\frac{φ}{φ_{0}}) + C \end{aligned}

Cykloidální kyvadlo

Cykloida = křivka, kterou opíše bud na kružnici valící se po přímce

Pokud do ní v libovolném místě pustíme kuličku, bude se pohybovat ze strany na stranu vždy se stejnou periodou

Pohyb v centrálním silovém poli

Centrální silové pole je silové pole, které přitahuje do nějakého středu, např. gravitace

F = α (r) \dot{r}

\begin{aligned} 0 = \vec{r} \times \vec{F} & = \vec{r} \times \dot{\vec{p}} \\ = \frac{d}{d t} (\vec{r} \times \vec{p}) - \dot{\vec{r}} \times \vec{p} \\ = \frac{d}{d t} (\vec{r} \times \vec{p}) - \vec{v} \times m \vec{v} \\ = \frac{d}{d t} (\vec{r} \times \vec{p}) \\ ⟹ (\vec{r} \times \vec{p}) = konst. = \vec{l} = moment hybnosti \end{aligned}

Z toho plyne, že $\vec{r}$ a $\vec{p}$ leží stále ve stejné rovině ⇒ pohyb je rovinný

\vec{w} = \dot{\vec{s}} = \frac{\vec{r} \times \dot{\vec{r}}}{2} = p l o \overset{ˇ}{s} n \overset{ˊ}{a} r y c h l o s t

\begin{aligned} \dot{\vec{w}} & = \frac{d}{d t} (\frac{\vec{r} \times \vec{v}}{2}) \\ = \frac{\dot{\vec{r}} \times \vec{v}}{2} \\ = \frac{\vec{v} \times \vec{v}}{2} \\ = 0 \end{aligned}

Z toho plyne zachování plošné rychlosti — projevuje se v Keplerově zákoně

\vec{F} = (F_{r}, 0,0)