Stejnoměrná spojitost

Definice. Funkce ff je spojitá na intervalu II, pokud (∀x0∈I)(∀ε∈R+)(∃δ∈R+)(∀x∈Df∩I)(∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(x0)∣<ε){\left(\forall x_0 \in I\right)}{\left(\forall \varepsilon \in \R^+\right)}{\left(\exists \delta \in \R^+\right)}{\left(\forall x \in D_f \cap I\right)}{\left({\left\lvert x - x_0\right\rvert} < \delta \implies {\left\lvert f{\left(x\right)} - f{\left(x_0\right)}\right\rvert} < \varepsilon\right)}
Definice. Funkce ff je stejnoměrně spojitá na intervalu II, pokud (∀ε∈R+)(∃δ∈R+)(∀x∈Df∩I)(∀x0∈I)(∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(x0)∣<ε){\left(\forall \varepsilon \in \R^+\right)}{\left(\exists \delta \in \R^+\right)}{\left(\forall x \in D_f \cap I\right)}{\left(\forall x_0 \in I\right)}{\left({\left\lvert x - x_0\right\rvert} < \delta \implies {\left\lvert f{\left(x\right)} - f{\left(x_0\right)}\right\rvert} < \varepsilon\right)}
Příklad. Funkce x↦xx \mapsto x je stejnoměrně spojitá na R\R.
Příklad. Funkce x↦1xx \mapsto \frac{1}{x} je stejnoměrně spojitá na (1,∞)(1, \infty), ale ne na (0,1)(0,1).
Věta (Cantorova). Je-li funkce spojitá na uzavřeném intervalu, potom je na něm spojitá stejnoměrně.
Věta. Funkce ff je stejnoměrně spojitá na intervalu (a,b),  a,b∈R(a,b),\; a,b \in \R právě tehdy, pokud je spojitá a lim⁡a+f∈R∧lim⁡b−f∈R\lim_{a^+} f \in \R \land \lim_{b^-} f \in \R.
Příklad. Funkce sin⁡\sin je stejnoměrně spojitá na R\R.
Důkaz. Podle Lagrangeovy věty (∃c∈/x,x0/)(∣sin⁡x−sin⁡x0∣=∣cos⁡c(x−x0)∣<∣x−x0∣<δ){\left(\exists c \in \left/x, x_0\right/\right)} {\left({\left\lvert \sin x - \sin x_0\right\rvert} = {\left\lvert \cos c {\left(x - x_0\right)}\right\rvert} < {\left\lvert x - x_0\right\rvert} < \delta\right)} Stačí tedy vzít δ=ε\delta = \varepsilon.
Věta. Má-li funkce ff na intervalu II omezenou derivaci, pak je na něm stejnoměrně spojitá.
Důkaz. Nechť (∃K∈R+)(∀x∈I)(∣f(x)∣<K){\left(\exists K \in \R^+\right)} {\left(\forall x \in I\right)}{\left({\left\lvert f(x)\right\rvert} < K\right)}. Ke každému ε∈R+\varepsilon \in \R^+ zvolíme δ=εK\delta = \frac{\varepsilon}{K}. Potom podle Lagrangeovy věty (∀x,x0∈Df∩I)(∃c∈/x,x0/)(∣f(x)−f(x0)∣=∣f′(c)(x−x0)∣<K∣x−x0∣<Kδ=ε){\left(\forall x, x_0 \in D_f \cap I\right)} {\left(\exists c \in \left/x, x_0\right/\right)} {\left({\left\lvert f{\left(x\right)} - f{\left(x_0\right)}\right\rvert} = {\left\lvert f'{\left(c\right)} {\left(x - x_0\right)}\right\rvert} < K {\left\lvert x - x_0\right\rvert} < K \delta = \varepsilon\right)}, což mělo být dokázáno.

Taylorův polynom

Definice. Taylorův polynom nn-tého řádu funkce ff v bodě aa je Tf,a,n(x)=∑k=0nf(n)(a)⋅(x−a)kk!T_{f,a,n}(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(n)}(a) \cdot {\left(x-a\right)}^k}{k!}
Věta. Nechť funkce ff má na intervalu ⟨a,b⟩{\left\langle a,b\right\rangle} konečné derivace až do řádu n−1n-1, má nn-tou derivaci v bodě aa a nechť f(x)=Tf,a,n(x)+Rn(x)f(x) = T_{f,a,n}(x) + R_n(x). Potom lim⁡x→aRn(x)(x−a)n=0\lim_{x\to a} \frac{R_n(x)}{(x-a)^n} = 0.
Věta. Nechť funkce ff má na intervalu ⟨a,b⟩{\left\langle a,b\right\rangle} konečné derivace až do řádu n−1n-1 a má nn-tou derivaci v bodě aa. Je-li PnP_n polynom stupně nejvýše nn a f(x)=Pn(x)+Rn(x)f(x) = P_n(x) + R_n(x), kde lim⁡x→aRn(x)(x−a)n=0\lim_{x\to a} \frac{R_n(x)}{(x-a)^n} = 0, potom Pn=Tf,a,nP_n = T_{f,a,n}.
Příklad (Referenční Taylorovy polynomy). Texp⁡,0,n=∑k=0nxkk!T_{\exp,0,n} = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} Tx↦ln⁡(1+x),0,n=∑k=1n(−1)k+1⋅xkkT_{x \mapsto \ln(1+x), 0,n} = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1} \cdot x^k}{k} Tsin⁡,0,2n+1=∑k=0n(−1)k⋅x2k+1(2k+1)!T_{\sin,0,2n+1} = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k \cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!} Tcos⁡,0,2n=∑k=0n(−1)k⋅x2k(2k)!T_{\cos,0,2n} = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k \cdot x^{2k}}{(2k)!} Tx↦(1+x)α,0,n=∑k=0n(αk)⋅xkT_{x \mapsto (1+x)^\alpha, 0,n} = \sum_{k=0}^n \binom{\alpha}{k} \cdot x^k