Legenderovy polynomy
P
n
(
x
)
=
1
2
n
⋅
n
!
d
n
d
x
n
(
x
2
−
1
)
n
P_n(x) = \frac{1}{2^n \cdot n!}\frac{\mathrm d^{n}}{\mathrm dx^{n}}{\left(x^2 - 1\right)}^n
P
n
(
x
)
=
2
n
⋅
n
!
1
d
x
n
d
n
(
x
2
−
1
)
n
P
0
(
x
)
=
1
P_0(x) = 1
P
0
(
x
)
=
1
P
1
(
x
)
=
x
P_1(x) = x
P
1
(
x
)
=
x
P
2
(
x
)
=
3
2
x
2
−
1
2
P_2(x) = \frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{2}
P
2
(
x
)
=
2
3
x
2
−
2
1
Všechny kořeny jsou jednoduché, reálné a leží v intervalu
(
−
1
,
1
)
(-1, 1)
(
−
1
,
1
)
.
Věta.
Nechť polynom
p
(
x
)
p(x)
p
(
x
)
má všechny kořeny reálné. Potom:
Jeho derivace
p
′
(
x
)
p'(x)
p
′
(
x
)
má všechny kořeny reálné.
Pro každý
n
n
n
-násobný kořen
λ
\lambda
λ
polynomu
p
p
p
platí, že je zároveň
n
−
1
n - 1
n
−
1
-násobný kořen polynomu
p
′
p'
p
′
.
Legenderovy polynomy znovu?
L
n
(
x
)
=
e
x
d
n
d
x
n
(
x
n
e
−
x
)
L_n(x) = e^x \frac{\mathrm d^{n}}{\mathrm dx^{n}}{\left(x^n e^{-x}\right)}
L
n
(
x
)
=
e
x
d
x
n
d
n
(
x
n
e
−
x
)
Věta (Leibnitzův vzorec).
(
f
⋅
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
⋅
f
(
k
)
⋅
g
(
n
−
k
)
{\left(f \cdot g\right)}^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot f^{(k)} \cdot g^{(n-k)}
(
f
⋅
g
)
(
n
)
=
k
=
0
∑
n
(
k
n
)
⋅
f
(
k
)
⋅
g
(
n
−
k
)