Cvičení.
Je dána funkce
f
:
C
∖
{
1
}
→
C
,
y
=
x
+
1
x
−
1
f: \mathbb C \setminus \{1\} \rightarrow \mathbb C, y = \frac{x+1}{x-1}
f
:
C
∖
{
1
}
→
C
,
y
=
x
−
1
x
+
1
. Zjistěte obor hodnot, dokažte, že je prostá, a najděte inverzi.
Řešení.
y
(
x
+
1
)
=
x
−
1
y(x+1) = x-1
y
(
x
+
1
)
=
x
−
1
x
=
x
y
−
y
−
1
x = xy - y - 1
x
=
x
y
−
y
−
1
x
−
x
y
=
−
y
−
1
x - xy = -y - 1
x
−
x
y
=
−
y
−
1
x
(
1
−
y
)
=
−
y
−
1
x(1-y) = -y - 1
x
(
1
−
y
)
=
−
y
−
1
y
=
1
→
nem
a
ˊ
r
ˇ
e
s
ˇ
en
ı
ˊ
y = 1 \rightarrow \text{nemá řešení}
y
=
1
→
nem
a
ˊ
r
ˇ
e
s
ˇ
en
ı
ˊ
y
≠
1
→
x
=
y
+
1
y
−
1
y \ne 1 \rightarrow x = \frac{y+1}{y-1}
y
=
1
→
x
=
y
−
1
y
+
1
f
f
f
má obor hodnot
C
∖
{
1
}
\mathbb C \setminus \{1\}
C
∖
{
1
}
, je prostá a inverzí sama sebe.
Cvičení.
Najděte obor hodnot funkce
f
:
R
→
R
,
y
=
x
x
2
+
1
f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, y = \frac{x}{x^2 + 1}
f
:
R
→
R
,
y
=
x
2
+
1
x
.
Řešení.
y
(
x
2
+
1
)
=
x
y(x^2 + 1) = x
y
(
x
2
+
1
)
=
x
y
x
2
+
x
=
y
yx^2 + x = y
y
x
2
+
x
=
y
y
x
2
−
x
+
y
=
0
yx^2 - x + y = 0
y
x
2
−
x
+
y
=
0
x
=
1
±
1
−
4
y
2
2
y
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4y^2}}{2y}
x
=
2
y
1
±
1
−
4
y
2
1
−
4
y
2
≥
0
1 - 4y^2 \ge 0
1
−
4
y
2
≥
0
4
y
2
≤
1
4y^2 \le 1
4
y
2
≤
1
∣
2
y
∣
≤
1
\left|2y\right| \le 1
∣
2
y
∣
≤
1
y
∈
⟨
−
1
2
,
1
2
⟩
y \in \left\langle -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right\rangle
y
∈
⟨
−
2
1
,
2
1
⟩