DB 🚬

kDB=3xDB=46\displaystyle k_\text{DB} = 3 \qquad \displaystyle x_\text{DB} = 46
Co to je? Na každé přednášce s Dr. Břeněm jsem počítal, kolikrát zakašlal (kDBk_\text{DB}) a zachrchlal (xDBx_\text{DB}), abych poukázal na škodlivost kouření.

?????

Pro F⃗(x,y,z)\vec F(x,y,z) chceme zjistit, zda je úplný diferenciál, zda ∃U:F=−∇⃗U\exists U: F = - \vec\nabla U, zda ∮F⃗dt=0\oint \vec F {\mathrm dt} = 0

F⃗=−∇⃗U  ⟺  ∇⃗×(∇⃗U)=0=∇⃗×F⃗=0\vec F = - \vec\nabla U \iff \vec\nabla \times (\vec\nabla U) = 0 = \vec\nabla \times \vec F = 0

Ekvivalentní tvrzení:

Věta (Gaussova).

Chceme spočítat tok vektorového pole nějakým prostorem.

Prostor si rozdělíme na malé kostičky.

Tok v jedné kostičce ve směru xx: Tx=Vx(x+dx,y,z)dydz−Vx(x,y,z)dydz=∂Vx∂xdxdydz=∂Vx∂xdVT_x = V_x(x+dx,y,z){\mathrm dy}{\mathrm dz} - V_x(x,y,z){\mathrm dy}{\mathrm dz} = \frac{\partial V_x}{\partial x}{\mathrm dx}{\mathrm dy}{\mathrm dz} = \frac{\partial V_x}{\partial x}{\mathrm dV}

Tok v jedné kostičce celkem: A⃗dS⃗=∇⃗A⃗dV\vec A {\mathrm d\vec S} = \vec\nabla \vec A {\mathrm dV}

∮∂VA⃗(r⃗)dS⃗=∫V∇⃗A⃗dV\oint_{\partial V} \vec A(\vec r) {\mathrm d\vec S} = \int_V \vec\nabla \vec A {\mathrm dV}

Rovnice kuželoseček v polárních souřadnicích

Kuželosečka má velkou a malou poloosu

aa = délka velké poloosy, bb = délka malé poloosy, ee = excentricita, ε=ea\varepsilon = \frac{e}{a} = numerická excentricita, pp = parametr (svislá vzdálenost ohniska od kuželosečky)

Počátek dáme do ohniska, nikoli do středu!

Pro daný bod na kuželosečce označme rr a ρ\rho vzdálenosti od ohnisek, φ\varphi úhel spojnice s ohniskem od velké poloosy

Elipsa

ρ=2a−r\rho = 2a - r ρ2=r2+(2e)2−2(2e)rcos⁡(π−φ)(podle kosinoveˊ veˇty)\rho^2 = r^2 + (2e)^2 - 2(2e)r\cos(\pi-\varphi) \tag{podle kosinové věty} r(1+εcos⁡(φ))=b2a(po dosazenıˊ a uˊpraveˇ)r(1+\varepsilon\cos(\varphi)) = \frac{b^2}{a} \tag{po dosazení a úpravě} r=p1+εcos⁡(φ)r = \frac{p}{1 + \varepsilon\cos(\varphi)}

Hyberbola

r=p±1+εcos⁡(φ)r = \frac{p}{\pm 1 + \varepsilon\cos(\varphi)}

Kuželosečka je množina bodů, které mají konstantní poměr vzdáleností od daného bodu a dané přímky

re=ε=pe′=pe+rcos⁡(φ)\frac{r}{e} = \varepsilon = \frac{p}{e'} = \frac{p}{e + r\cos(\varphi)}