Řešení. $$\frac{\mathrm du}{\mathrm dt} = \alpha u$$ $$\frac{\mathrm du}{u} = \alpha {\mathrm dt} \tag{separace proměnných}$$ $$\ln(u) = \alpha t + C_1 \tag{zintegrování obou stran}$$ $$\ln(u) = \alpha (t + t_0)$$ $$u = \exp(\alpha (t + t_0))$$

Řešení. $$x = C \exp(\lambda t), \dot x = \lambda C \exp(\lambda t), \ddot x = \lambda^2 C \exp(\lambda t)$$ $$\lambda^2 C \exp(\lambda t) + \frac{k}{m} C \exp(\lambda t) = 0$$ $$\lambda^2 + \frac{k}{m} = 0 \tag{charakteristická rovnice}$$ $$\lambda_{1,2} = \pm i \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $$x_{1,2} = C_{1,2} \exp\left(\pm i \sqrt{\frac{k}{m}} t \right) \tag{partikulární řešení}$$ $$x = C_1 \exp\left(i \sqrt{\frac{k}{m}} t \right) + C_2 \exp\left(- i \sqrt{\frac{k}{m}} t \right) \tag{obecné řešení}$$

Po nalezení obecného řešení chceme najít takové, aby platily počáteční podmínky; k tomu stačí si do vztahů pro $x, \dot x, \ddot x$ dosadit konkrétní hodnoty a vyřešit vzniklou rovnici. Chceme-li $x(t=0) = x_0, \dot x(t=0) = 0$, vyjde $C_1 = C_2 = \frac{x_0}{2}$.

$$x = \frac{x_0}{2} \left(\exp\left(i \sqrt{\frac{k}{m}} t \right) + \exp\left(- i \sqrt{\frac{k}{m}} t \right)\right)$$ $$x = x_0 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t \right)$$