1

Podle vlastnosti projektoru je $A_P\left(V\right)=P$. Tedy aby mohlo platit $A_P\left(\overrightarrow{x}\right)=\lambda \overrightarrow{x}$, musí být $\overrightarrow{x}\in P$ nebo $\lambda =0$. Jelikož také pro všechny $\overrightarrow{x}\in P$ platí $A_P\left(x\right)=x$ a pro všechny $\overrightarrow{y}\in Q$ je $A_P\left(\overrightarrow{y}\right)=\overrightarrow{0}$, máme $\sigma \left(A_P\right)=\left\{\mathrm{1,0}\right\}$. Odpovídající vlastní prostory budou $P$ a $Q$, tudíž geometrické násobnosti se budou rovnat dimenzím těchto prostorů. V případě $\dim V=n$ bude součet geometrických násobností roven $n$, takže aritmetické násobnosti musí být stejné a matice bude diagonalizovatelná.