[REKLAMA]

Lineární kombinace

{[{\vec{x}}_{1}, \dots, {\vec{x}}_{n}]}_{λ} = {\sum_{i} α_{i} {\vec{x}}_{i} | α_{i} \in T}

({\vec{x}}_{1}, \dots, {\vec{x}}_{n}) LN \overset{\overset{}{def}}{\Leftrightarrow} \forall α_{i} : (\sum_{i} α_{i} {\vec{x}}_{i} = \vec{0} ⟹ \forall i : α_{i} = 0)

({\vec{x}}_{1}, \dots, {\vec{x}}_{n}) LZ \overset{\overset{}{def}}{\Leftrightarrow} \exists α_{i} : (\sum_{i} α_{i} {\vec{x}}_{i} = \vec{0} \land \exists i : α_{i} \neq 0)

Cvičení. Je trojice vektorů

((\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}), (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}), (\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}))

lineárně závislá?

Řešení

Je.

Cvičení. Je trojice vektorů

((\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array}), (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}), (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}))

lineárně závislá?

Řešení

Není.

Cvičení. Pro jaká

α

je trojice vektorů

((\begin{array}{c} α \\ 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{c} 1 \\ α \\ 1 \end{array}), (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ α \end{array}))

lineárně závislá?

Řešení

Pro

α \in {0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}}

.

Cvičení. Určete, zda vektory

(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ - 2 \end{array})

a

(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array})

patří do

{[(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}), (\begin{array}{c} 7 \\ - 8 \\ 7 \end{array}), (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array})]}_{λ}

.

Řešení

x

patří,

y

nepatří.