Cvičení (Divný dvousložkový vektor). $$T=ℝ$$ $$V={ℝ}^2$$ $$\overrightarrow{x}\oplus ︎\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ x_2+y_2\end{array}\right)$$ $$\alpha \odot \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\alpha \cdot x_1\\ 0\end{array}\right)$$

Zjistěte, zda $(T,V,\oplus ︎,\odot )$ je vektorový prostor.

Řešení

Není, neexistuje identita pro násobení.

Cvičení (Jiný divný dvousložkový vektor). $$T=ℝ$$ $$V={ℝ}^2$$ $$\overrightarrow{x}\oplus ︎\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ 0\end{array}\right)$$ $$\alpha \odot \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\alpha \cdot x_1\\ \alpha \cdot x_2\end{array}\right)$$

Zjistěte, zda $(T,V,\oplus ︎,\odot )$ je vektorový prostor.

Řešení

Není, neexistuje identita pro sčítání.

Cvičení (Pozvednutá reálná čísla). $$T=ℝ$$ $$V={ℝ}^{+}$$ $$\overrightarrow{x}\oplus ︎\overrightarrow{y}=x\cdot y$$ $$\alpha \odot \overrightarrow{x}=x^{\alpha }$$

Zjistěte, zda $(T,V,\oplus ︎,\odot )$ je vektorový prostor.

Řešení

Je.

Cvičení (Symetrické matice). $$T=ℂ$$ $$V=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\right|a,b,c\in ℝ\}$$

$\oplus ︎$ a $\odot$ po složkách

Zjistěte, zda $(T,V,\oplus ︎,\odot )$ je vektorový prostor.

Řešení

Není, při násobení nereálným číslem nevznikne reálná matice.

Cvičení (Polynomy). $$T=ℂ$$ $$V=\text{polynomy nad }ℂ$$ $$(\overrightarrow{x}\oplus ︎\overrightarrow{y})(t)=x(t)+y(t)$$ $$(\alpha \odot \overrightarrow{x})(t)=\alpha \cdot x(t)$$

Zjistěte, zda $(T,V,\oplus ︎,\odot )$ je vektorový prostor.

Řešení

Je.