Rotace

rot⁡:(R3→R3)→(R3→R3)\operatorname{rot}: {\left(\R^3 \rightarrow \R^3\right)} \rightarrow {\left(\R^3 \rightarrow \R^3\right)} rot⁡F⃗=∇⃗×F⃗=(x,y,z)↦(∂F⃗3∂y(x,y,z)−∂F⃗2∂z(x,y,z),∂F⃗1∂z(x,y,z)−∂F⃗3∂x(x,y,z),∂F⃗2∂x(x,y,z)−∂F⃗1∂y(x,y,z))\operatorname{rot} \vec F = \vec\nabla \times \vec F = (x,y,z) \mapsto {\left(\frac{\partial \vec F_3}{\partial y}(x,y,z) - \frac{\partial \vec F_2}{\partial z}(x,y,z), \frac{\partial \vec F_1}{\partial z}(x,y,z) - \frac{\partial \vec F_3}{\partial x}(x,y,z), \frac{\partial \vec F_2}{\partial x}(x,y,z) - \frac{\partial \vec F_1}{\partial y}(x,y,z)\right)}

Potenciál

Definice. Vektorové pole F⃗\vec F nazveme potenciální, pokud existuje takové skalární pole ff, že F⃗=∇⃗f\vec F = \vec\nabla f.
Věta. Vektorové pole F⃗\vec F je potenciální právě tehdy, pokud ∇⃗×F⃗=0⃗\vec\nabla \times \vec F = \vec 0.

Solenoid

Definice. Vektorové pole F⃗\vec F nazveme solenoidální, pokud existuje takové vektorové pole G⃗\vec G, že F⃗=∇⃗×G⃗\vec F = \vec\nabla \times \vec G.
Věta. Vektorové pole F⃗\vec F je solenoidální právě tehdy, pokud ∇⃗⋅F⃗=0\vec\nabla \cdot \vec F = 0.

Diferenciální operátory druhého řádu

∇⃗⋅(∇⃗×F⃗)=0\vec\nabla \cdot {\left(\vec\nabla \times \vec F\right)} = 0 ∇⃗×(∇⃗f)=0⃗\vec\nabla \times {\left(\vec\nabla f\right)} = \vec 0 ∇⃗⋅(∇⃗f)=∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2\vec\nabla \cdot {\left(\vec\nabla f\right)} = \nabla^2 f = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}