Řešení 36. teoretické úlohy

Adam Blažek

Dokažte, že číslo ${(6 + \sqrt{37})}^{999}$ má na prvních 999 místech za desetinnou čárkou samé nuly.

Uvažujme posloupnost $a_{n} = {(6 + \sqrt{37})}^{n} + {(6 - \sqrt{37})}^{n}$ . Zkusme k této posloupnosti najít rekurentní vztah.

Zřejmě půjde o rekurenci druhého řádu, jejíž charakteristický polynom bude mít tvar $λ^{2} + b λ + c$ . Podle vzorce pro řešení kvadratické rovnice máme

6 \pm \sqrt{37} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 c}}{2}

\frac{- b}{2} = 6 ⟹ b = - 12

\frac{\sqrt{b^{2} - 4 c}}{2} = \sqrt{37} ⟹ c = - 1

Máme tedy rekurenci $a_{n + 2} - 12 a_{n + 1} - 1 = 0$ . Z původního vztahu spočteme počáteční podmínky $a_{0} = 2, a_{1} = 12$ . Nyní je vidět, že všechny členy posloupnosti jsou přirozená čísla.

Chceme dokázal ${(6 + \sqrt{37})}^{999} - ⌊ {(6 + \sqrt{37})}^{999} ⌋ < 0 . 1^{999}$ . Jelikož $- 1 < {(6 - \sqrt{37})}^{999} < 0$ , máme $⌊ {(6 + \sqrt{37})}^{999} ⌋ = a_{999}$ . Stačí tedy dokázat:

\begin{aligned} - {(6 - \sqrt{37})}^{999} & < 0 . 1^{999} \\ {(\sqrt{37} - 6)}^{999} & < 0 . 1^{999} \\ \sqrt{37} - 6 & < 0.1 \\ \sqrt{37} & < 6.1 \\ 37 & < 6 . 1^{2} \\ 37 & < 37.21 ■ \end{aligned}